Tarea 4 Espacios Vectoriales, Ejercicios de Álgebra Lineal

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Tarea 4 Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal

Escuela de ciencias básicas, Tecnología e ingeniería

Ingeniería de Sistemas

Introducción

El trabajo presentado se basa en el estudio de los conceptos como son los métodos de

reducción de matrices y determinantes las axiomas y relaciones de igualdad y dependencia por

medio de sus determinantes y matrices, esto es el resultado del estudio de las tres unidades

implementando los métodos ya aprendidos con anterioridad.

Las actividades realizadas cuentan con su respectiva comprobación en un programa como

GeoGebra el cual me sirvió verificar los resultados de cada uno de los ejercicios, el trabajo

realizado cuenta una variedad de operaciones que nos ayuda a la creación de ecuaciones y

recorrer matrices hallando su determinante y rango todo esto con el fin de poner en practica

todos los conceptos aprendidos.

Ejercicio 2 literal A

Dados los vectores 𝒖 = (−𝟐, −𝟑 − 𝟒) 𝒗 = (𝟗, −𝟑, 𝟏) 𝒘 = (𝟑, −𝟔, 𝟐) verifique si se cumple los

axiomas:

I) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢

II) 𝑢 + (− 𝑢 ) = (− 𝑢 ) + 𝑢 = 0

III) 𝑢 + ( 𝑣 + 𝑤 ) = ( 𝑢 + 𝑣 ) + 𝑤

Solución

Vectores

𝒖 = (−𝟐, −𝟑 − 𝟒)

𝒗 = (𝟗, −𝟑, 𝟏)

𝒘 = (𝟑, −𝟔, 𝟐)

I) 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖

(− 2 , − 3 − 4 ) + ( 9 , − 3 , 1 ) = ( 9 , − 3 , 1 ) + (− 2 , − 3 − 4 )

( − 2 + 9 , − 3 − 3 , − 4 + 1

)

( 9 − 2 , − 3 − 3 , 1 − 4

)

( 7 , − 6 , − 3

)

( 7 , − 6 , − 3

) ∴ 𝑺𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒆𝒍 𝒂𝒙𝒊𝒐𝒎𝒂

II) 𝐮 + (−𝐮) = (−𝐮) + 𝐮 = 𝟎

(− 2 , − 3 − 4 ) + ( 2 , 3 , 4 ) = ( 2 , 3 , 4 ) + (− 2 , − 3 − 4 ) = 0

(− 2 + 2 , − 3 + 3 , − 4 + 4 ) = ( 2 − 2 , 3 − 3 , 4 − 4 ) = 0

( 0 , 0 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 ) = 0 ∴ 𝑺𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒆𝒍 𝒂𝒙𝒊𝒐𝒎𝒂

III) 𝐮 + (𝐯 + 𝐰) = (𝐮 + 𝐯) + 𝐰

(− 2 , − 3 − 4 ) + (( 9 , − 3 , 1 ) + ( 3 , − 6 , 2 )) = ((− 2 , − 3 − 4 ) + ( 9 , − 3 , 1 )) + ( 3 , − 6 , 2 )

(− 2 , − 3 − 4 ) + ( 9 + 3 − 6 , − 3 , 1 + 2 ) = (− 2 + 9 , − 3 − 3 , − 4 + 1 ) + ( 3 , − 6 , 2 )

(− 2 , − 3 − 4 ) + ( 12 , − 9 , 3 ) = ( 7 , − 6 , − 3 ) + ( 3 , − 6 , 2 )

( − 2 + 11 , − 9 − 3 , − 4 + 3

)

( 7 + 3 , − 6 − 6 , − 3 + 2

)

( 10 , − 12 , − 1 ) = ( 10 − 12 , − 1 ) ∴ 𝑺𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒆𝒍 𝒂𝒙𝒊𝒐𝒎𝒂

Comprobación en GeoGebra de los tres axiomas

Ejercicio 3: Conjuntos Generadores, dependencia lineal e independencia lineal.

• Determine si el conjunto 𝑆 de vectores correspondiente es linealmente independiente. Si,

para alguno de ellos la respuesta puede determinarse por inspección (esto es, sin cálculo),

establezca. por qué. Para cualquier conjunto que sea linealmente dependiente, encuentre una

relación de dependencia entre los vectores.

1. Conjunto 𝑺 a evaluar:

a) S = {(1, 1,1), (1,2,3), (1,−1,2)}

𝟑

a) S = {(1, 1,1), (1,2,3), (1,−1,2)}

Solución.

a( 1 , 1 , 1 ) + b( 1 , 2 , 3 ) + c( 1 , − 1 , 2 ) = (𝟎, 𝟎, 𝟎)

Sistemas de ecuaciones resultantes

) se aplica el meto de reducción de guaus jordán

−x + z

−x + y

−x + z

−x + y

x − 2y + z

−3x + y + 2z

x − 2y + z

4x + 2y − z

−3x + y + 2z

x − 2y + z

(

5 0 0

0 5 0

0 0 5

|

7x + y − 3z

−3x + y + 2z

x − 2y + z

) =

𝑓 1 / 5

𝑓 2 / 5

𝑓 3 / 5

=

(

1 0 0

0 1 0

0 0 1

|

|

7x+y−3z

5

−3x+y+2z

5

x−2y+z

5

)

respuesta genera R el conjunto S

1 3 2 z

• 1 - 1 - 1 - x

0 2 1 - x+z

1 2 - 1 y

• 1 - 1 - 1 (-x)

0 1 - 2 - x+y

0 2 1 - x+z

0 - 2 4 2x-2y

0 0 5 x-2y+z

0 5 - 10 - 5x+5y

0 0 10 2x-4y+2z

0 5 0 - 3x+y+2z

5 5 5 5x

0 0 - 5 - x+2y-z

5 5 0 4x+2y-z

5 5 0 4x+2y-z

0 - 5 0 3x-y-2z

5 0 0 7x+y-3z

Comprobación en GeoGebra

Ejercicio 4:

Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal.

a) Dada la siguiente matriz:

1. Calcular el rango de la matriz A por el método de Gauss Jordán.
2. Calcular el rango de la matriz A por el método determinantes.
3. Determine si el conjunto formado por las columnas de la matriz A es linealmente

independiente.

• Método por determinante para calcular rango

Utilizamos la columna o fila que tenga más ceros para determinar las matrices a utilizar

41

42

43

44

Utilizamos los números de la fila que no den cero

Probamos con la primera matriz

42

4 + 2

42

4 + 2

42

4 + 2

42

Probamos con la segunda matriz por que la primera da cero

44

4 + 4

44

44

44

44

44

|𝐴| = − 128 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚í𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒

Rango = 4

• Determine si el conjunto formado por las columnas de la matriz A es linealmente

independiente.

La matriz A su |𝐴| ≠ 0 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧

Por qué el Determinante tanto por el método de guaus o por el método de determinantes de sarus

es igual en la matriz de cuatro por cuatro.

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

Comprobación

Ejercicio 6

Retroalimentación literal C

Ejercicio 2

Dados los vectores 𝑢 = (− 5 , 8 , 3 ) 𝑦 𝑣 = ( 9 , − 3 , 8 ) y los escalares 𝜆 = − 8 𝑦 𝛽 = 2.

Todas las igualdades planteadas son reales el ejercicio correcto por lo tanto los axiomas se

cumplen

I) 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖

Si cumple el axioma.

II) 𝝀(𝒖 − 𝒗) = 𝝀𝒖 − 𝝀𝒗

Si cumple el axioma.

III) (𝝀 + 𝜷)𝒗 = 𝝀𝒗 + 𝜷𝒗

Comprobación en GeoGebra

Ejercicio 3

Ejercicio correcto

c) 𝑺 = {(𝟏, 𝟎, 𝟎), (𝟎, 𝟏, 𝟏), (𝟏, 𝟏, 𝟏)}

3

3

2

Hasta este punto se puede llegar, la última matriz tiene una fila de 0 en todas las posiciones, lo

cual indica que el sistema tiene infinitas soluciones, es decir, no solo existe la solución trivial

para el sistema homogéneo, con lo cual que se comprueba que el sistema no es linealmente

independiente, por el contrario, es linealmente dependiente. Resulta el sistema.

Como el determinante es distinto de 0, el rango de la matriz es 3.

R=

Comprobación en GeoGebra

Ejercicio 5

El ejercicio está correcto

Sean 𝒖 , 𝒗 y 𝒘 vectores en ℝ, Demuestre que,

c) 𝒖⃑⃑ 𝒙 (𝒗⃑⃑ 𝒙 𝒘⃑⃑⃑ ) = (𝒖⃑⃑ ∙ 𝒘⃑⃑⃑ ) ∙ 𝒗⃑⃑ − (𝒖⃑⃑ ∙ 𝒗⃑⃑ ) ∙ 𝒘⃑⃑⃑

Ambos vectores después de realizar las operaciones producto cruz y producto punto quedan de la

siente manera demostrando que son iguales.

Comprobación en GeoGebra