¡Descarga Cálculo diferencial e integral: conceptos básicos y teoremas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Tema 0: Funcións reais de variable real, continuidade e
derivabilidade.
1 Funcións
Definición 1 Unha función real dunha variable real é calquera aplicación
f : IR −→ IR ֒x → f (x) Tamén se pode escribir y = f (x). Entón x chámase variable independente e y variable dependente. Unha función pode estar definida nun subconxunto A de IR. Nese caso escribiremos f : A ⊂ IR −→ IR.
Definición 2 Chámase dominio da función f ó conxunto Dom(f) = {x ∈ IR/∃ f (x)}.
Chámase imaxe da función f ó conxunto Im(f ) = {y ∈ IR/∃x ∈ Dom(f), y = f (x)}.
Exemplo 3 f : IR −→ IR ֒x → f (x) = ex
Exemplo 4 f : IR −→ IR ֒x → f (x) = sin x
1.1 Operacións con funcións
Suma de funcións Dadas dúas funcións f, g : A ⊂ IR −→ IR, defínese a función suma como:
f + g : A ⊂ IR −→ IR ֒x → (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Produto por un escalar Dada unha función f : A ⊂ IR −→ IR e un escalar λ ∈ IR, defínese a función
λf : A ⊂ IR −→ IR ֒x → (λf )(x) = λf (x)
O conxunto {f / f : A ⊂ IR −→ IR} coas operacións suma e produto por un escalar ten estrutura de espazo vectorial. Produto de funcións Dadas dúas funcións f, g : A ⊂ IR −→ IR, a función produto defínese como:
fg : A ⊂ IR −→ IR ֒x → (fg)(x) = f (x) g(x)
Composición de funcións Dadas dúas funcións f : A ⊂ IR −→ IR e g : B ⊂ IR −→ IR con f (A) ⊂ B, existe a función composta g ◦ f : A ⊂ IR −→ IR ֒x → (g ◦ f)(x) = g[f (x)] Inversa dunha función Dada f : A ⊂ IR −→ IR, a súa inversa é a función f −^1 : f(A) ⊂ IR −→ IR tal que:
f −^1 ◦ f = idA e f ◦ f −^1 = idf (A).
A inversa existe se e só se f é bixectiva.
2 Límite dunha función nun punto
No que segue denotaremos por A o dominio de definición dunha función f e por a un punto de acumulación de A (a ∈ A′).
Definición 5 Dise que l ∈ IR é o límite dunha función f : A ⊂ IR −→ IR no punto a e denótase por lim x→a f (x) = l, se
∀ǫ > 0 , ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ (a − δ, a + δ) ∩ A, x = a, verifícase que f (x) ∈ (l − ǫ, l + ǫ)
ou, o que é o mesmo
∀ǫ > 0 , ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ A, 0 < |x − a| < δ =⇒ |f(x) − l| < ǫ.
A continuación vexamos a definición para algúns casos nos que a ou l son ∞. As demais combinacións posibles pódense facer da mesma maneira.
- lim x→a f(x) = +∞ se ∀K ∈ IR, ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ A, 0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) > K.
Exemplo 9 A función definida por f (x) =
x^3 + 1 se x ≤ 1 x^2 + 2 se x > 1 , non ten límite en x = 1.
lim x→ 1 −
x^3 + 1 = 2 e lim x→ 1 +
x^2 + 2 = 3. Por ser distintos os límites laterais non existe límite nese punto.
Exemplo 10 A función f(x) = e^1 /x^ non ten límite para x = 0. Tamén neste caso vemos que a función non está definida en x = 0, pero é un punto de acumulación do dominio de definición A = (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
Calculando os límites laterais obtemos:
lim x→ 0 −
e^1 /x^ = e−∞^ = 0.
lim x→ 0 +
e^1 /x^ = e+∞^ = +∞.
Teorema 11 Se existe o límite dunha función nun punto é único.
2.1 Operacións con límites
No que segue supoñeremos que as funcións f e g cumpren os requisitos necesarios para que se poidan realizar as operacións que se indican. Ademais, denotaremos por a un punto de acumulación do seu dominio de definición e supoñeremos que existen lim x→a
f (x) e lim x→a
g(x). Entón, verifícase:
- lim x→a [f(x) ± g(x)] = lim x→a f (x) ± lim x→a g(x).
- ∀λ ∈ IR, lim x→a [λf (x)] = λlim x→a f (x).
- lim x→a [f(x) g(x)] = lim x→a f (x)lim x→a g(x).
- lim x→a
f(x) g(x)
lim x→a
f (x)
lim x→a g(x)
, sempre que g(x) = 0, ∀x, e que lim x→a
g(x) = 0.
- lim x→a [f(x)]g(x)^ =
lim x→a f(x)
(^) lim x→ag(x).
- lim x→a ln[f(x)] = ln
lim x→a f(x)
3 Cálculo de límites
Para calculalos, en xeral, basta con substituír o punto na variable. Así, lim x→ 2 x^2 − 1 = 2^2 − 1 = 3.
Non obstante, en moitos casos, ao facer a substitución obtense unha indeterminación. Para resolvela empréganse técnicas similares as das sucesións. Ás veces para calcular un límite pódese substituír un infinitésimo (función que nun certo punto a ten límite 0) por outro equivalente. Diremos que dous infinitésimos f e g son equivalentes cando x → a se verifican:
lim x→a
f (x) g(x)
Son infinitésimos equivalentes os seguintes:
sin(x) ≈ x en a = 0.
1 − cos(x) ≈
x^2 2
en a = 0.
tan(x) ≈ x en a = 0. arcsin(x) ≈ x en a = 0. ln(1 + x) ≈ x en a = 0. ln(x) ≈ x − 1 en a = 1. ex^ − 1 ≈ x en a = 0.
No caso dunha función que cambia de definición nun punto, para calcular o límite nese punto utilizaremos os límites laterais.
Exemplo 13 Dada a función definida por f(x) =
x^2 − 1 se x ≤ 1 x − 1 se x > 1
para calcular lim x→ 1
f (x) é
preciso utilizar os límites laterais posto que a función non está definida da mesma maneira pola dereita e pola esquerda de 1. Graficamente:
lim x→ 1 −
f (x) = lim x→ 1 −
x^2 − 1 = 0, lim x→ 1 +
f (x) = lim x→ 1 +
x − 1 = 0.
Xa que os límites laterais coinciden, ∃lim x→ 1 f (x) = 0.
4 Continuidade dunha función
Definición 14 Unha función f : A ⊂ IR −→ IR é continua nun punto a ∈ A se e só se lim x→a f(x) = f (a). É dicir, se ∀ǫ > 0 , ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ A, x = a e |x − a| < δ =⇒
|f(x) − f (a)| < ǫ. Unha función é continua nun conxunto contido no seu dominio se é continua en todos os puntos dese conxunto.
Teorema 15 Se f e g son dúas funcións continuas nun punto a, Entón as funcións
f ± g, f g, f /g (sendo g(a) = 0)
tamén son continuas en a sempre que estean definidas.
Teorema 16 Se f e g son dúas funcións que se poden compoñer, f é continua nun punto a e g é continua en f(a), entón g ◦ f é continua en a.
Nota 17 As funcións elementais
f(x) = k, ln(x), xn, ax^ (a > 0), sin(x), cos(x), tan(x)
son continuas en todos os puntos do seu dominio de definición. As funcións lineais e os polinomios tamén son funcións continuas.
4.1 Teoremas relativos ás funcións dunha variable real continuas nun
intervalo
Nos teoremas que seguen f será unha función real dunha variable real f : [a, b] −→ IR.
Teorema 18 (de Bolzano) Se f é continua en [a, b] e f (a) f (b) < 0 , entón existe polo menos un punto x 0 ∈ (a, b) tal que f (x 0 ) = 0.
Graficamente:
Teorema 19 (do valor intermedio ou de Darboux) Se f é continua en [a, b] e x 1 < x 2 son dous puntos calquera de [a, b] tales que f (x 1 ) = f(x 2 ), entón para todo k comprendido entre f (x 1 ) e f (x 2 ) existe polo menos un punto x 0 ∈ (x 1 , x 2 ) tal que f (x 0 ) = k.
Definición 20 Unha función f : A ⊂ IR −→ IR alcanza un máximo absoluto no punto xM ∈ A se f (xM ) ≥ f (x), ∀x ∈ A. O número real f (xM ) é o máximo absoluto da función en A. Unha función f : A ⊂ IR −→ IR alcanza un mínimo absoluto no punto xm ∈ A se f(xm) ≤ f (x), ∀x ∈ A. O número real f (xm) é o mínimo absoluto da función en A.
Teorema 21 (de Weierstrass) Se f é continua en [a, b], entón alcanza nese intervalo o máximo e o mínimo absolutos.
Dende o punto de vista gráfico
A velocidade media en [2, 3] coincide coa pendente da recta secante que pasa por (2, f (2)) , (3, f (3)).
O límite da pendente das rectas secantes (velocidades medias) e a pendente da recta tanxente que coincide con V (2). Deste xeito, a derivada dunha función nun punto coincidirá coa pendente da recta tanxente á función nese punto.
Definición 22 Dada unha función f : A ⊂ IR −→ IR dise que é derivable no punto x 0 ∈ A se existe e é finito o seguinte límite:
lim x→x 0
f(x) − f (x 0 ) x − x 0
= lim h→ 0
f (x 0 + h) − f(x 0 ) h
No caso de que ese límite exista denótase f ′(x 0 ). Se f é derivable en todo x 0 ∈ A, diremos que f é derivable en A.
A derivada dunha función en x 0 estanos dando a velocidade puntual de variación de f (x) con respecto a x no punto x 0.
Dito doutro xeito, dado que o cociente
f (x 0 + h) − f(x 0 ) h
representa a taxa media de variación
de f no intervalo [x 0 , x 0 + h], a derivada será a taxa instantánea de variación de f en x 0. Xeometricamente, a derivada é a pendente da recta tanxente a f no punto x 0. Da definición de derivada podemos deducir que para h moi pequeno:
f(x 0 + h) − f (x 0 ) ≃ f ′(x 0 )h
f (x 0 + h) ≃ f (x 0 ) + f ′(x 0 )h
Obsérvese que estamos a aproximar o valor da función no punto x 0 + h pola recta tanxente a f en x 0 , da cal a ecuación vén dada por y = f (x 0 ) + f ′(x 0 )x; é dicir, estamos a utilizar a mellor aproximación lineal da función f na proximidade do punto x 0.
Exemplo 23 Toda función de IR en IR constante é derivable no seu dominio. Sexa f a función definida por f : IR −→ IR x −→ f (x) = k
Entón para todo x 0 ∈ IR, f ′^ (x 0 ) = lim h→ 0
f(x 0 + h) − f (x 0 ) h
= lim h→ 0
k − k h
= 0. Polo tanto, f é derivable
en x 0 e a súa derivada en x 0 vale 0.
Exemplo 24 Consideramos a función f de IR en IR definida por f (x) = x^2 con representación gráfica:
-2 -1 0 1 2
1
2
3
4
x
y
Sexa x 0 ∈ IR, e vexamos se f é derivable en x 0.
lim h→ 0
f (x 0 + h) − f(x 0 ) h
= lim h→ 0
(x 0 + h)^2 − x^20 h
= lim h→ 0
2 x 0 h + h^2 h
= lim h→ 0 2 x 0 + h = 2x 0.
Entón f é derivable en calquera x 0 e ademais f ′^ (x 0 ) = 2x 0.
Teorema 25 Sexa f : A ⊂ IR −→ IR. Se f é derivable en x 0 , entón f é continua en x 0.
Demostración: Por ser f derivable en x 0 , existe lim x→x 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
= f ′(x 0 ) ∈ IR. Entón
lim x→x 0
f(x) − f (x 0 ) = lim x→x 0
f(x) − f (x 0 ) x − x 0
(x − x 0 ) = f′(x 0 ) lim x→x 0
(x − x 0 ) = 0
é dicir, lim x→x 0 f(x) = f (x 0 ). Que f sexa continua nun punto non implica que sexa derivable nese punto, como se comproba no seguinte exemplo.
Exemplo 26 Sexa f a función valor absoluto de IR en IR definida por
f (x) =
x se x ≥ 0 −x se x ≤ 0
7 Concepto de diferencial dunha función nun punto
Sexa f : A ⊂ IR −→ IR, f é derivable en x 0 ∈ A se e só se existe o límite
lim x→x 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
= f′^ (x 0 )
ou equivalentemente
lim x→x 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
− f ′^ (x 0 ) = 0
lim x→x 0
|f (x) − f (x 0 ) − f ′^ (x 0 ) (x − x 0 )| |x − x 0 |
Definición 27 Se f é derivable en x 0 chamamos diferencial de f en x 0 á aplicación lineal
Df (x 0 ) : IR −→ IR h −→ Df (x 0 ) (h) = f′^ (x 0 ) h
Unha definición equivalente de función diferenciable nun punto sería:
Definición 28 Sexa f : A ⊂ IR −→ IR. f é diferenciable en x 0 ∈ A se existe Df (x 0 ) ∈ L (IR, IR) tal que
lim x→x 0
|f (x) − f (x 0 ) − Df (x 0 ) (x − x 0 )| |x − x 0 |
ou equivalentemente
lim h→ 0
|f (x 0 + h) − f (x 0 ) − Df (x 0 ) (h)| |h|
No exemplo do inicio f ′^ (2) = 1. 2 , entón a aplicación diferencial en t = 2 é
Df (2) : IR −→ IR h −→ Df (2) (h) = 1. 2 h
e a recta tanxente á curva en t = 2 é y = f (2) + 1.2 (t − 2)
0 2 4 6 8
0
2
4
6
8
10
12
x
y
Entón a diferencial dunha función nun punto é a aplicación lineal que, trasladada ó punto, mellor aproxima a función na veciñanza dese punto.
8 Teoremas relativos ás funcións derivables
Teorema 29 (de Rolle) Sexa f : [a, b] ⊂ IR −→ IR unha función continua en [a, b] e derivable en (a, b). Se f (a) = f (b) , existe polo menos un c ∈ (a, b) tal que f ′^ (c) = 0.
Exemplo 30 A función f (x) = sin (x) + 3 no intervalo [−π, π] verifica as hipóteses do teorema e, como se observa na seguinte gráfica, existen dous puntos que pertencen ó intervalo (−π, π) nos que a derivada vale 0 (recta tanxente horizontal).
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x
y
Teorema 31 (do Valor Medio) Sexa f : [a, b] −→ IR unha función continua en [a, b] e derivable en (a, b). Entón existe polo menos un c ∈ (a, b) tal que
f ′^ (c) =
f (b) − f (a) b − a
Exemplo 32 Consideremos a función f (x) = x^3 no intervalo [− 1 , 2]. É continua en [− 1 , 2] e derivable en (− 1 , 2) , entón existe polo menos un c ∈ (− 1 , 2) tal que
f′^ (c) = 3c^2 =
f (2) − f (−1) 2 − (−1)
polo que c = 1, como se ve na seguinte gráfica:
-2 -1 1 2 3
2
4
6
8
x
y
9 Derivadas sucesivas. Funcións de clase n. Fórmula de
Taylor
Definición 36 Dada unha función f definida en [a, b] e derivable en (a, b) , defínese a función derivada primeira f ′^ como: f ′^ : (a, b) −→ IR x −→ f′^ (x)
Se esta nova función f ′^ é derivable en (a, b), a función derivada segunda de f en (a, b) será:
f ′′^ : (a, b) −→ IR x −→ f ′′^ (x) = (f′)′^ (x)
Do mesmo xeito se definen as funcións derivada terceira f ′′′, cuarta f(4, quinta f (5, ......,enésima f(n.
Exemplo 37 Calcular as derivadas ata orde catro de f (x) = cos (x) + 3x^5.
f′^ (x) = − sin x + 15x^4. f ′′^ (x) = − cos x + 60x^3. f ′′′^ (x) = sin x + 180x^2. f (4^ (x) = cos x + 360x.
Definición 38 Sexa f : A ⊂ IR −→ IR. Diremos que f é de clase n en A e denotarémolo f ∈ Cn^ (A), se f admite derivadas continuas ata orde n en A. Se f admite derivadas continuas de tódolos ordes en A dise que f é de clase infinito en A e denótase f ∈ C∞^ (A).
As funcións polinómicas son funcións de clase infinito en IR. Enunciamos agora o teorema de Taylor que nos permitirá dar aproximacións polinómicas para unha función na veciñanza dun punto.
Teorema 39 (de Taylor) Sexan f : (a, b) ⊂ IR −→ IR tal que f ∈ Cn+1^ ((a, b)) e x 0 ∈ (a, b). Entón para todo x ∈ (a, b) existe un c no segmento que une x 0 e x tal que
f (x) = f (x 0 ) + f ′^ (x 0 ) (x − x 0 ) +
f ′′^ (x 0 ) (x − x 0 )^2 + ... +
n!
f (n^ (x 0 ) (x − x 0 )n^ +
(n + 1)!
f (n+1^ (c) (x − x 0 )n+
= f (x 0 ) +
^ n
i=
i!
f(i^ (x 0 ) (x − x 0 )i^ +
(n + 1)!
f (n+1^ (c) (x − x 0 )n+^.
O polinomio de Taylor de grao n dunha función f en torno a un punto x 0 , dános o polinomio de grao n que mellor aproxima a función f en torno a x 0. O polinomio de grao 1 coincide coa recta tanxente a f en x 0.
Exemplo 40 Sexa a función de IR en IR definida por f (x) = ex^ e sexa x 0 = 1, temos que
f (1) = e f′^ (x) = ex^ f′^ (1) = e f ′′^ (x) = ex^ f ′′^ (1) = e ... ... f (n^ (x) = ex^ f (n^ (1) = e
P 1 (x) = e + e (x − 1).
P 2 (x) = e + e (x − 1) +
e (x − 1)^2.
P 3 (x) = e + e (x − 1) +
e (x − 1)^2 +
e (x − 1)^3.
P 4 (x) = e + e (x − 1) +
e (x − 1)^2 +
e (x − 1)^3 +
e (x − 1)^4.
Graficamente:
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.
1
2
3
4
5
x
y
Exemplo 41 Sexa a función definida en [0, π] por f (x) = cos (x) e sexa x 0 =
π 2
. Temos que
f
(^) π 2
f ′^ (x) = − sin x f ′^
π 2
f ′′^ (x) = − cos x f ′′^
π 2
f ′′′^ (x) = sin x f ′′′^
(^) π 2
f (4^ (x) = cos x f (^
(^) π 2
f (5^ (x) = − sin x f (^
(^) π 2
P 0 (x) = 0. P 1 (x) = − x −
π 2
P 2 (x) = − x −
π 2
P 3 (x) = − x −
π 2
x −
π 2
3 .
P 4 (x) = − x −
π 2
x −
π 2
3 .
P 5 (x) = − x −
π 2
x −
π 2
3 −
x −
π 2
5 .
As dúas últimas condicións son suficientes non necesarias como pon de manifesto a función f (x) = x^3 no intervalo (− 2 , 2). Tendo en conta que f ′^ (x) = 3x^2 , f ′^ (x) ≥ 0 ∀x ∈ (− 2 , 2) , o teorema só nos garante que a función é crecente en (− 2 , 2) e a función é estritamente crecente en (− 2 , 2).
-1.0 -0.5 0.5 1.
-1.
-0.
x
y
Do teorema anterior dedúcese que se f ′^ e continua en x 0 , entón
f ′^ (x 0 ) > 0 =⇒ f estritamente crecente en x 0. f ′^ (x 0 ) < 0 =⇒ f estritamente decrecente en x 0.
Exemplo 45 Para a función de IR en IR definida por f (x) = x^2 temos que f ′^ (x) = 2x. Polo tanto
f ′^ (x) < 0 ∀x ∈ (−∞, 0) f ′^ (x) > 0 ∀x ∈ (0, ∞)
e a función é estritamente decrecente en (−∞, 0] e estritamente crecente en [0, ∞).
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
x
y
Definición 46 Sexa f : A ⊂ IR −→ IR e x 0 ∈ A. Dise que f ten un máximo local en x 0 se ∃r > 0 tal que f (x) ≤ f (x 0 ) ∀x ∈ (x 0 − r, x 0 + r) ∩ A. Dise que f ten un mínimo local en x 0 se ∃r > 0 tal que f (x) ≥ f (x 0 ) ∀x ∈ (x 0 − r, x 0 + r) ∩ A. O óptimo, máximo ou mínimo, chámase global se a correspondente desigualdade é certa ∀x ∈ A. O óptimo, local ou global, é estrito se a desigualdade é estrita.
0 1 2 3 4 5 6 7
0
5
10
15
20
25
x
y
Teorema 47 Sexa f : A ⊂ IR −→ IR, con A un conxunto aberto e x 0 ∈ A. Se f é derivable en x 0 e ten un óptimo local en x 0 , entón f ′(x 0 ) = 0.
Demostración: Supoñamos que f ten un mínimo local en x 0 , entón f (x) ≥ f (x 0 ) na veciñanza de x 0. Dado que f é derivable en x 0 existe
f ′^ (x 0 ) = lim x→x 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
Se x < x 0 , entón f ′(x 0 )−^ = lim x→x− 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
≤ 0 e se x > x 0 , f ′(x 0 )+^ = lim x→x+ 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
Como f é derivable en x 0 , os límites laterais deben coincidir e polo tanto f ′(x 0 ) = 0. Da mesma maneira faise a demostración para o caso dun máximo local.
Teorema 48 Sexa f : A ⊂ IR −→ IR, con A un conxunto aberto, x 0 ∈ A e f de clase n en A. Se f ′(x 0 ) = f ′′(x 0 ) = · · · = f (n−^1 (x 0 ) = 0 e f (n(x 0 ) = 0 tense: f (n(x 0 ) > 0 e n par =⇒ x 0 é mínimo local estrito de f. f (n(x 0 ) < 0 e n par =⇒ x 0 é máximo local estrito de f.
Á vista destes resultados temos que buscar os extremos relativos para a función f nun intervalo I entre os puntos seguintes:
- Puntos interiores de I onde f ′^ (x) = 0.
- Os extremos de I.
- Puntos de I para os que non exista f ′.
Exemplo 49 Encontrar os extremos relativos da función definida por f (x) =
x^4 4
x^3 + 7x^2 − 8 x
no intervalo [0, 5]. A función é derivable en (0, 5). Calculamos entón os puntos críticos (puntos que anulan a derivada primeira)
f ′^ (x) = x^3 − 7 x^2 + 14x − 8 x^3 − 7 x^2 + 14x − 8 = 0 ⇒ x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4
Estudamos agora o signo de f′′^ en cada un dos puntos críticos
f′′^ (x) = 3 x^2 − 14 x + 14. f ′′^ (1) = 3 > 0 ⇒ x 1 = 1 é un mínimo local para f. f ′′^ (2) = − 2 < 0 ⇒ x 2 = 2 é un máximo local para f. f ′′^ (4) = 6 > 0 ⇒ x 3 = 4 é un mínimo local para f.
