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Derivada y Diferencial de funciones reales de un variable real.
Def.- Sea f : D R R y xo un punto interior de D, se llama derivada de f en el
punto x o , si existe, al número real 0
´( (^) o ) lim o^ o h
f x h f x f x h
. Si tal número existe,
se dice que f es derivable en el punto xo. También suele notarse
´( (^) o ) o
df x f x dx
Observación.- A partir del concepto de límites laterales, se obtiene directamente el concepto de derivadas laterales de una función en un punto como:
0
´( (^) o ) lim o^ o h
f x h f x f x h
0
´( (^) o ) lim o^ o h
f x h f x f x h
, obviamente se
verifica que una función es derivable en un punto si, y sólo si, existen ambas derivadas laterales y coinciden.
Teorema.- Si una función es derivable en un punto, es continua en él.
Def.- Se dice que una función es derivable en un conjunto D, si es derivable en todo punto de D.
Def.- Si una función f es derivable en todos los puntos de un conjunto D , a la función que a cada punto de D le asocia la derivada de f en él se le llama función derivada de f y se nota f '. Es decir,
' : '( )
f D R R x f x
Derivadas de las funciones elementales
1
2
2
2
2
0 cos
cos
ln
cos
log log
ln
n n
a a
x x
x x
f x f x f x f x
k sen x x
x nx x sen x
x tg x
x x
x e arc sen x
x x
e e arc cos x
x
a a a arc tg x
x
Propiedades de las funciones derivables.
Teorema.- Si f y g son funciones derivables en un punto x , entonces: a) f+g es derivable en x y (f+g)´(x)=f´(x)+g´(x) b) rf es derivable en x y (rf)´(x)=rf´(x), para cualquier nº real r. c) fg es derivable en x y (fg)´(x)=f´(x)g(x)+f(x)g´(x)
d) Si g(x)≠ 0 , f/g es derivable en x y (f/g)'(x)= (^2)
f x g x f x g x g x
Teorema.- (Regla de la Cadena) Si f es derivable en x y g es derivable en f(x) , entonces g f es derivable en x y ( g f )'( x ) g '( f ( x )) f '( x ).
En notación de Leibniz:
dz dz dy dx dy dx
, llamando z=g(y) e y=f(x).
Derivada de una función implícita.
Una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define implícitamente a la variable y como función de x ( y = f (x ) ) en un cierto intervalo I si se verifica que para todo x en I es F(x,f(x))= Si f(x) es derivable y también lo es F(x,f(x)), entonces la derivada f'(x) se puede calcular derivando F(x,f(x)) como una función compuesta, e igualando a cero lo que resulte de derivar.
Ejemplo.- Calcular la pendiente de la tangente en un punto de la circunferencia de centro en (0,0) y radio r.
Como consecuencia de la regla de la cadena se obtiene el siguiente resultado para la derivada de la función inversa :
Sea f : I R R , f continua e inyectiva en I , derivable en x I y f ' x 0 ,
entonces f ^1 es derivable en y f ( ) x y se verifica: (^)
1 1
f y f f y
Otra aplicación útil de la regla de la cadena es la llamada derivación logarítmica , que
se emplea para hallar la derivada de una función potencio-exponencial ^
g x y f x , se
procede así:
- Se toman logaritmos eliminando la potencia: ln y = g(x) ln f(x).
2. Se deriva implícitamente:
' ln y f^ x g x f x g x y f x
3. Se despeja la derivada:
y ' g ' x ln f x g x f^ ' x f ( ) x g^^ ( ) x f x
Derivadas de orden superior
Def.- Si la función derivada f 'de una función f admite a su vez derivada en un punto
xo interior al dominio de definición de f ', a dicha derivada se le denomina derivada
segunda de f en el punto xo , y se nota f ''. Es decir,
Corolario 3 .- Sea f continua en [ a,b ] y derivable en ( a,b ). Se tiene que:
a) f creciente en a b , f´(x) 0 x (a,b)
b) f decreciente en a b , f´(x) 0 x (a,b)
c) f´(x)>0, x (a,b) f estrictamente creciente en [a,b] d) f´(x)<0, x (a,b) f estrictamente decreciente en [a,b]
Observación.- El reciproco de c y d no son ciertos, basta pensar en la función f(x)=x 3 que es estrictamente creciente en todo R y sin embargo f´(0)=0.
Corolario 4 .- Sea f continua en [ a,b ] y derivable en ( a,b ) y c ( , a b ). Se tiene que:
'( ) 0 x ( , ) tiene un máximo local en '( ) 0 x ( , ) '( ) 0 x ( , ) tiene un mínimo local en '( ) 0 x ( , )
f x a c f c f x c b f x a c f c f x c b
Teorema.- ( Regla de L´Hôpital ) Sean f y g funciones derivables en un entorno reducido de a , B*^ (a,r) , verificando:
- lim ( ) 0 lim ( ) x a x a f x g x (o si lim ( ) lim ( ) x a x a f x g x
g´(x) ≠0, para todo punto x de B*^ (a,r).
lim x a '( )
f x g x
Entonces
lim x a ( )
f x g x y además
lim lim x a (^) ( ) x a '( )
f x f x (^) g x g x
También es válido cuando x a ^ , x a , x , x .
Aproximación de una función. La diferencial
Si f es derivable en a, entonces: 0
´( ) lim h
f a h f a f a h
y, por tanto:
f ( a h ) f a ( ) f ´( ) a h cuando h^ ^0 de donde, llamando x a a+h , se obtiene la
fórmula para obtener valores aproximados: f ( ) x f a ( ) f '( )( a x a ) cuando x a.
Se llama diferencial de la función f en a a la función lineal:
df R R h df h f a h
cuya representación gráfica es la recta d que pasa por el origen y es paralela a la tangente t a la gráfica de f en a.
La ecuación de la recta tangente t es: L(x)=f (a)+ f´(a)(x −a) y es la " linealización" de f en a.
Definición .- Sea f : D R R , a D , tal que existe f '( ), a f ''( ),..., a f ( n ( ) a se
llama polinomio de Taylor de grado n relativo a f en a y se nota Pn a (^) , ( ) x al polinomio:
2 ( ,
n n Pn a x f a f a x a f a x a (^) n f a x a
Proposición.- f : I R R , a I. Si f es (n-1) -veces derivable en I y f (^ n ( ) a ,
entonces:
lim ( )^ ,( ) 0 ( )
n a x a n
f x P x x a
Teorema.- (Condición suficiente para la existencia de extremo local) Sea
f : ( , c d ) R R , a ( , c d ) y f (^ n ( ) a si f '( ) a f ''( ) a ... f (^ n ^1 ( ) a 0 y f (^ n ( ) a 0. Entonces:
a) Si n es par y
( (
( ) 0 es un mínimo local de ( ) 0 es un máximo local de
n n
f a a f f a a f
b) Si n es impar entonces f no tiene extremo en a.
Teorema.- (de Taylor) Sea f Cn ([ , ])y supongamos que existe f (^ n ^1 en ( , ),
sean a x , ( , ), a x. Entonces existe y ( , a x )tal que:
( ) ( ) 1 '( )( ) ... 1 (^ ( )( ) 1 (^1 ( )( )^1
f x f a f a x a f n^ a x a n^ f n^ y x an n n
^
Al término: (^1
f n^ y x an n
se le llama resto n-ésimo de Lagrange.
Observaciones .- a) Si n=0 el teorema de Taylor es del valor medio. b) Si a=0, la fórmula de Taylor recibe el nombre de fórmula de McLaurin.
0 0 0 0
tg( ) lim '( )
h
f x h f x
f x
h
xo
f(x o)
x o+h
f(x o+h)
f(x o+h)-f(x o)
h
a
b
f xo h f xo
tg
h
