¡Descarga Funciones: Continuidad, Derivabilidad y Extremas - Prof. anónimo y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!
Funcions
AcadËmia PerellÛ
1. Funcions contÌnues
Una funciÛ f Ès contÌnua en un punt díabscissa x = a si compleix les tres condicions seg¸ents:
- Existeix la imatge del punt a, f (a), o de forma equivalent, a Ès un punt del domini de f.
- Existeix el lÌmit de la funciÛ en el punt a, lm x!a f (x), o de forma equivalent, existeixen els lÌmits laterals per líesquerra, lm x!a ^
f (x), i per la dreta, lm x!a+^
f (x), i sÛn iguals; el valor com˙ Ès el valor del lÌmit lm x!a f (x).
- El valor del lÌmit coincideix amb el de la funciÛ en el punt: lm x!a f (x) = f (a).
Una funciÛ Ès contÌnua en un conjunt quan ho Ès en cadascun dels seus punts. Una funciÛ f tÈ un punt de discontinuÔtat quan en aquest punt no compleix alguna de les condicions anteriors.
1.1. Tipus de discontinuÔtat
- Evitable: quan es compleix (2) i no es compleix (1) o (3)
- Salt o de primera espËcie: quan els lÌmits laterals existeixen perÚ sÛn diferents; es diu de salt Önit quan els lÌmits sÛn Önits, i es diu de salt inÖnit o asimptÚtica quan un Ès inÖnit o els dos.
- Essencial o de segona espËcie: quan existeix un lÌmit lateral i no líaltre, o no existeixen cap dels dos.
1.2. Propietats de les funcions contÌnues
- Si f i g sÛn contÌnues en a, llavors f g, f g sÛn contÌnues en a.
- Si f i g sÛn contÌnues en a i g(a) 6 = 0, llavors
f g
Ès contÌnua en a.
- Si f i g sÛn contÌnues en a, llavors g f Ès contÌnua en a.
Per exemple, les funcions polinÚmiques sÛn contÌnues, i les funcions racionals (quocients de polinomis) sÛn contÌnues en el seu domini.
2. Teorema de Bolzano
Si una funciÛ f : [a; b]! R Ès contÌnua i f (a) i f (b) tenen signes oposats, llavors el teorema assegura líexistËncia díun punt intermedi c 2 (a; b) on la funciÛ síanulla, Ès a dir, on es compleix f (c) = 0. Dit díuna altra manera, si tenim líequaciÛ f (x) = 0, i es compleix la hipÚtesi del teorema, llavors trobem una arrel o soluciÛ c de líequaciÛ compresa entre a i b.
- Funcions derivables
Una funciÛ f Ès derivable en x = a si el lÌmit
lm x!a
f (x) f (a) x a
o lm h! 0
f (a + h) f (a) h
existeix i el seu valor Ès la derivada f 0 (a).
3.1. Propietats de les funcions derivables
- Si una funciÛ f Ès derivable en x = a, llavors f Ès contÌnua en x = a. El recÌproc Ès fals; per exemple, la funciÛ f (x) = jxj Ès contÌnua en x = 0 perÚ no Ès derivable. Els punts de no derivabilitat de la gr‡Öca díuna funciÛ contÌnua es diuen punts angulosos.
- Si tenim una funciÛ contÌnua f de la qual no sabem la seva derivabilitat en x = a perÚ si sabem que Ès derivable en tots els punts propers a x = a, en aquestes condicions es compleix: si les derivades laterals existeixen f 0 (a ) = lm x!a ^
f 0 (x) o f 0 (a+) = lm x!a+^
f 0 (x)
i sÛn iguals, llavors f tambÈ Ès derivable en x = a i la seva derivada Ès el valor com˙ díaquestes derivades laterals.
- EquaciÛ de la recta tangent
La derivada díuna funciÛ f en el punt díabscissa x = a síinterpreta geomËtricament com el pendent de la recta tangent a la gr‡Öca de la funciÛ en el punt de coordenades (a; f (a)). LíequaciÛ de la recta tangent Ès y f (a) = f 0 (a) (x a)
Quan diem que la recta y = mx + n Ès tangent a la gr‡Öca de f en el punt x = a signiÖca que f 0 (a) = m i f (a) = ma + n.
- Monotonia i extrems relatius
Una funciÛ derivable Ès creixent en x = a si f 0 (a) > 0 , i decreixent si f 0 (a) < 0. Els extrems relatius (m‡xims o mÌnims) díuna funciÛ derivable, si existeixen, compleixen la condiciÛ f 0 (x) = 0. Si en x = a se compleix f 0 (a) = 0 i f 0 canvia de signe negatiu (f decreixent) a positiu (f creixent), llavors la funciÛ tÈ un mÌnim relatiu en x = a. Si en x = a se compleix f 0 (a) = 0 i f 0 canvia de signe positiu (f creixent) a negatiu (f decreixent), llavors la funciÛ tÈ un m‡xim relatiu en x = a. Criteri de la segona derivada per als extrems relatius díuna funciÛ: si x = a compleix f 0 (a) = 0 i f 00 (a) > 0 , llavors la funciÛ tÈ un mÌnim relatiu en x = a. Si x = a compleix f 0 (a) = 0 i f 00 (a) < 0 , llavors la funciÛ tÈ un m‡xim relatiu en x = a. Quan es diu que una funciÛ f tÈ un extrem relatiu en (a; b) signiÖca que f 0 (a) = 0 i f (a) = b.
- Extrems relatius i absoluts
La gr‡Öca permet localitzar els extrems relatius i absoluts díuna funciÛ. Si una funciÛ Ès contÌnua en [a; b] i derivable en (a; b), llavors aconsegueix m‡xim i mÌnim absoluts en [a; b]. Per trobar-los procedim de la manera seg¸ent:
- Busquem els extrems relatius de la funciÛ en líinterior de líinterval, Ès a dir, resolem líequaciÛ f 0 (x) = 0 en (a; b).
- Comparem les ordenades dels punts trobats en líapartat anterior amb les imatges f (a) i f (b) dels extrems de líinterval. El valor mÈs grand (mÈs petit) Ès el m‡xim (mÌnim) absolut de la funciÛ.
- AsÌmptotes:
a) AsÌmptotes verticals (A.V.): la recta x = a Ès A.V. de la gr‡Öca de la funciÛ f si es compleix
lm x!a ^
f (x) = 1 o lm x!a+^
f (x) =
Els possibles punts de A.V. sÛn els extrems oberts dels intervals del domini. b) AsÌntotas oblicuas (A.O.): la recta y = mx + n Ès A.O. si
lm x!
f (x) x
= m i lm x! (f (x) mx) = n
Si m = 0, la recta y = n Ès asÌmptota horitzontal (A.H.). En aquest ˙ltim cas es compleix
lm x! f (x) = n
- Monotonia i extrems relatius: Es calcula la primera derivada f 0 (x) i síiguala a zero, f 0 (x) = 0. Resolent aquesta equaciÛ síobtenen els possibles extrems relatius de la funciÛ. Per saber si hi ha m‡xim o mÌnim, es busquen els intervals de monotonia. Es determina aquests intervals a partir dels punts obtinguts i de les discontinuÔtats de la funciÛ derivada. Es prenen punts intermedis i si f 0 (x) > 0 , la funciÛ Ès creixent en aquest interval, i si f 0 (x) < 0 , la funciÛ Ès decreixent. Si la funciÛ passa de creixent a decreixent, hi ha un m‡xim, i si passa de decreixent a creixent, hi ha un mÌnim.
- Curvatura i punts díináexiÛ: Es calcula la segona derivada f 00 (x) i síiguala a zero, f 00 (x) = 0. Resolent aquesta equaciÛ síobtenen els possibles punts díináexiÛ de la funciÛ. Per saber si hi ha punt díináexiÛ, es busquen els intervals de curvatura. Es determina aquests intervals a partir dels punts obtinguts i de les discontinuÔtats de la funciÛ segona derivada. Es prenen punts intermedis i si f 00 (x) > 0 , la funciÛ Ès convexa en aquest interval, i si f 00 (x) < 0 , la funciÛ Ès cÚncava. Si la funciÛ passa de convexa (cÚncava) a cÚncava (convexa), hi ha un punt díináexiÛ.
- Gr‡Öca de la funciÛ: amb la informaciÛ obtinguda en els apartats 1 al 6 Ès possible dibuixar aproximadament la gr‡Öca de la funciÛ. Si fa falta pot completar-se la representaciÛ amb líajuda díuna taula de valors.
Taula de derivades
Regles aritmËtiques
f (x) = g(x) + h(x) f 0 (x) = g^0 (x) + h^0 (x)
f (x) = k g(x) f 0 (x) = k g^0 (x)
f (x) = g(x) h(x) f 0 (x) = g^0 (x) h(x) + g(x) h^0 (x)
f (x) =
g(x) h(x)
f 0 (x) =
g^0 (x) h(x) g(x) h^0 (x) [h(x)]^2
Funcions simples Funcions compostes
f (x) = k f 0 (x) = 0
f (x) = x f 0 (x) = 1 f (x) = h (g (x)) f 0 (x) = h^0 (g (x)) g^0 (x)
f (x) = xk^ f 0 (x) = kxk ^1 f (x) = [g(x)]k^ f 0 (x) = k [g(x)]k ^1 g^0 (x)
f (x) =
p x f 0 (x) =
p x
f (x) =
p g(x) f 0 (x) =
p g(x)
g^0 (x)
f (x) = n
p x f 0 (x) =
n n
p xn ^1
f (x) = n
p g(x) f 0 (x) =
n n
q [g(x)]n ^1
g^0 (x)
f (x) = ex^ f 0 (x) = ex^ f (x) = eg(x)^ f 0 (x) = eg(x)^ g^0 (x)
f (x) = ax^ f 0 (x) = ax^ ln a f (x) = ag(x)^ f 0 (x) = ag(x)^ g^0 (x)
f (x) = ln x f 0 (x) =
x
f (x) = ln [g(x)] f 0 (x) =
g(x)
g^0 (x)
f (x) = loga x f 0 (x) =
x ln a
f (x) = loga [g(x)] f 0 (x) =
g(x) ln a
g^0 (x)
f (x) = sin x f 0 (x) = cos x f (x) = sin [g(x)] f 0 (x) = cos [g(x)] g^0 (x)
f (x) = cos x f 0 (x) = sin x f (x) = cos [g(x)] f 0 (x) = sin [g(x)] g^0 (x)
f (x) = tan x f 0 (x) =
cos^2 x
f (x) = tan [g(x)] f 0 (x) =
cos^2 [g(x)]
g^0 (x)
f (x) = arcsin x f 0 (x) =
p 1 x^2
f (x) = arcsin [g(x)] f 0 (x) =
q 1 [g(x)]^2
g^0 (x)
f (x) = arctan x f 0 (x) =
1 + x^2
f (x) = arctan [g(x)] f 0 (x) =
1 + [g(x)]^2
g^0 (x)
