¡Descarga mates problemas soluciones y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Exercicis de Matem`atiques CC. i Tec. Aliments. 2018/
Llista 1 (Solucions)
- • f (x) = ln
x− 1 4 −x^2
Domini: x− 1 4 −x^2
0 ⇒ x − 1 > 0; 4 − x^2 > 0 ⇒ x − 1 > 0; x^2 − 4 < 0 Dom(f ) = (−∞, −2) ∪ (1, 2) Punts de tall amb els eixos: si x = 0 ⇒ y = ln
0 − 1 4 − 02
= ln( − 1 4 ) no existeix punt de tall per eix^ y
si y = 0 ⇒ ln
x− 1 4 −x^2
= 0 (inversa de ln)⇒ x− 1 4 −x^2 = 1^ ⇒^ x^ −^ 1 = 4^ −^ x
2 ⇒ x 2
x = − 1 ±
√ 21 2 per tant
− 1 −
√ 21 2 ,^0
−1+
√ 21 2 ,^0
Asimptotes:
Verticales: lim x→a
f (x) = lim x→ 1
ln
x − 1
4 − x^2
= lim x→− 2
ln
x − 1
4 − x^2
= lim x→ 1
ln
x − 1
4 − x^2
x = − 2 , 1 , 2 s`on as´ımptotes verticals.
Horizontals: lim x→∞
f (x) = lim x→∞
ln
x − 1
4 − x^2
= ln(0) no existeix.
Obliq¨ues: lim x→∞
f (x)
x
ln
x− 1 4 −x^2
x
= 0.no existeix
√ 25 −x^2 x
√ x^3 − 1 Domini: hem d’estudiar el domini del numerador i denominador 25 − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 − 25 ≤ 0 ⇒ (x − 5)(x + 5) ≤ 0 i x
x^3 − 1 6 = 0 ⇒ x 6 = 0 x 3 − 1 > 0 Dom(f ) = (1, 5] Punts de tall amb els eixos: si x = 0 ⇒ y =
√ 25 − 02 0
√ 03 − 1 no existeix punt de tall per eix y
si y = 0 ⇒
√ 25 −x^2 x
√ x^3 − 1
25 − x^2 = 0 ⇒ x = ±5 per tant (5, 0) ; − 5 ∈/ Dom(f ).
Asimptotes:
Verticales: lim x→a
f (x) = lim x→ 1
25 − x^2
x
x^3 − 1
x = 1 as´ımptote vertical.
Horizontals: lim x→∞
f (x) = lim x→∞
25 − x^2
x
x^3 − 1
no existeix.
Obliq¨ues: lim x→∞
f (x)
x
√ 25 −x^2 x
√ x^3 − 1 x
.no existeix
- b.
f ′ (x) =
3 x + 8
2 x + 5
3(2x + 5) − (3x + 8)(2)
(2x + 5)^2
3 x + 8
2 x + 5
6 x + 15 − 6 x − 16
(2x + 5)^2
2(2x + 5)^2
3 x + 8
2 x + 5
3 x + 8 (2x + 5)
3 / 2
c.
f
′ (x) =
2 x − e −x
x^2 + e−x
- Per f (P ) = e −aP tenim f ′ (P ) = −ae −aP i g(p) =
aP k
)−k tenim g ′ (p) = −ak
aP k
)−k− 1
com a, k > 0 la probabilitat d’escapar decreix amb la densitat de parasitiodes (`es a dir la funci´o es decreixent).
- a. v = ak k+k
ak 2 k
a 2 b. ax 10 k+x 10 = 0. 1 a ⇒ x 10 = 0.1(k + x 10 ) ⇒ 0. 9 x 10 = 0. 1 k; i ax 90 k+x 90 = 0. 9 a ⇒ x 90 = 0.9(k + x 90 ) ⇒ 0. 1 x 90 = 0. 9 k;
k = k ⇒ x 90 x 10 =^
9
11 = 81.
V (t) = 4 3 π(
t)^3 = 36πt^3 /^2 ⇒ V ′(t) = 27πt^1 /^2 ⇒ V ′(8) = 54
2 π,
r(t) = 3
t ⇒ r′(t) = 3 2
√ t
⇒ r′(8) = 3
√ 2 8
S(t) = 4π(
t) 2 ⇒ 36 πt ⇒ S ′ (t) = 36π = S ′ (8).
- Domini: x^2 + x + 1 6 = 0 ⇒ Dom(f ) = R.
Intervals: f ′ (x) =
1(x^2 +x+1)−(x+1)(2x+1) (x^2 +x+1)^2 =^
−x^2 − 2 x (x^2 +x+1)^2 llavors,^ f^
′ (x) = 0 ⇒ x = 0, −2 i (−∞, −2); (− 2 , 0); (0, ∞).
(−∞, −2); f ′ (−3) < 0 decreix, (− 2 , 0); f ′ (−1) > 0 creix (0, ∞); f ′ (1) < 0 decreix. Aixo indica que (-2,1/3) es un m´ınim i (0,1) es un maxim.
- a. y ′ = 4680 x^2 e
− 10 /x
0; lim x→∞
468 e
− 10 /x = 468.
b. y′′^ = 4680e−^10 /x^
− 2 x^3
10 x^4
⇒ 4680 e−^10 /x^
− 2 x^3
10 x^4
= 0 ⇒ x = 5 es convexa en (0, 5) y concava en (5, ∞).
- a.
r(x) =
ln(b(x)e−mx)
x
ln(b(x)) + ln(e−mx
x
ln(b(x)) − mxln(e)
x
ln(b(x)) − mx
x
b. b(x) = x ⇒ r(x) =
ln(x) x −^ m^ i^ r
′ (x) =
1 −ln(x) x^2 ⇒^ r
′ (x) = 0 ⇒ x = e llavors, (−∞, e), creix i (e, ∞) decreix (e, 1 e −^ m) es un m´axim.
- f ′(N ) = ak^2 −aN 2 (k^2 +N 2 )^2 i N = k
- S = 4πr 2 i V = 4 3 πr
3 s VT = 4 3 πr
3 s + πr 2 l = 10 es vol minimitzar l’area, llavors A = 2πrl + 4πr 2 i
l =
10 − 43 πr^3 πr^2 A(r) = 20 r +^
4 3 πr
2 ⇒ A ′ (r) = − 20 r^2 +^
8 3 πr^ ⇒^ A
′ (r) = 0 ⇒ r 3 = 60 8 π ⇒^ r^ = 1.33( es un m´ınim) i^ l^ = 0. Es a dir, el tanc ha de ser una esfera de radi^ ` r = 1. 33
