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Ejercicios Resueltos del Tema 4
- Traduce al lenguaje algebraico utilizando, para ello, una o m´as inc´og- nitas:
a) La suma de tres n´umeros consecutivos b) Un n´umero m´as la mitad de otro c) El cuadrado de la suma de dos n´umeros d ) La diferencia de los cuadrados de dos n´umeros e) La semisuma de dos n´umeros
a) x + (x + 1) + (x + 2) b) x + y 2 c) (x + y)^2 d ) x^2 − y^2 e) x+ 2 y
- Dados los polinomios P (x) = 2x^3 − 4 x^2 + x − 1,Q(x) = x + 1 y R(x) = x^2 − 3 x + 2, halla los polinomios P (x) + Q(x), P (x).Q(x) y P (x).R(x).
Sumamos los t´erminos de igual grado en P (x) y Q(x), obteniendo:
P (x) + Q(x) = 2x^3 − 4 x^2 + x + x + 1 − 1 = 2x^3 − 4 x^2 + 2x
Con respecto al producto P (x).Q(x), podemos hacer- lo por dos m´etodos:
2 x^3 − 4 x^2 +x − 1 x + 2 x^3 − 4 x^2 +x − 1 2 x^4 − 4 x^3 +x^2 −x 2 x^4 − 2 x^3 − 3 x^2 − 1
o bien con la tabla: 2 -4 1 - 2 -4 1 -1 1 2 -4 1 -1 1 2 -2 -3 0 -
Lo mismo ocurre con el producto P (x).R(x)
2 x^3 − 4 x^2 +x − 1 x^2 − 3 x + 4 x^3 − 8 x^2 +2x − 2 − 6 x^4 +12x^3 − 3 x^2 +3x 2 x^5 − 4 x^4 +x^3 −x^2 2 x^5 − 10 x^4 +17x^3 − 12 x^2 +5x − 2
Si lo hacemos con la tabla, quedar´ıa: 2 -4 1 - 2 -4 1 -1 1 -6 12 -3 3 - 4 -8 2 -2 2 2 -10 17 -12 5 -
- Efectua las divisiones:
a) (3x^4 + 5x^3 − 2 x + 3) : (x^2 − 3 x + 2) b) (2x^3 − x + 3) : (x − 3) c) (− 5 x^4 + 2x^2 − 7) : (x + 1)
¿Podr´ıas hallar el resto de las dos ´ultimas divisiones sin efectuar ex- presamente la divisi´on?
a) Hagamos la primera divisi´on:
3 x^4 + 5x^3 − 2 x + 3 x^2 − 3 x + 2 − 3 x^4 + 9x^3 − 6 x^2 − 2 x + 3 3 x^2 + 14x + 36 14 x^3 − 6 x^2 − 14 x^3 + 42x^2 − 28 x 36 x^2 − 30 x + 3 − 36 x^2 + 108x − 72 78 x − 69
b) Esta divisi´on y la siguiente las haremos aplicando el m´etodo de Ruffini:
2 0 − 1 3 3 6 18 51 2 6 17 54 El resto de la divisi´on es 54 y el cociente 2 x^2 + 6 x + 17.
c) Si la divisi´on, es exacta, el polinomio x^4 − 5 x^3 + 3 x^2 + ax + b es divisible por x^2 − 5 x + 1, es decir, existen c y d tales que x^4 − 5 x^3 + 3x^2 + ax + b = (x^2 − 5 x + 1)(x^2 + cx + d) = x^4 + (c − 5)x^3 + (d − 5 c + 1)x^2 + (c − 5 d)x + d con lo que, igualando coeficientes, se obtiene que: c − 5 = − 5 , d − 5 c + 1 = 3, c − 5 d = a y d = b. Finalmente, se tiene que c = 0, d = 2, a = − 10 y b = 2.
- Descomp´on en factores irreducibles los polinomios:
a) x^4 − 4 x^3 + 7x^2 − 12 x + 12 b) x^4 − 10 x^2 + 9 c) x^4 − 5 x^3 + 2x^2 + 8x
a) Sabemos que si x − a divide a P (x) = x^4 − 4 x^3 + 7 x^2 − 12 x+12, entonces a es un divisor de 12 , es de- cir a=± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 12. Dividiendo P (x) en- tre x − 2 , nos queda: 1 − 4 7 − 12 12 2 2 − 4 6 − 12 1 − 2 3 − 6 0 con lo que
P (x) = (x − 2)(x^3 − 2 x^2 + 3x − 6).
Dividiendo de nuevo por x − 2 , resulta:
1 − 2 3 − 6 2 2 0 6 1 0 3 0
Resumiendo, la descomposici´on de P (x) es
P (x) = (x − 2)(x^3 − 2 x^2 + 3x − 6) = (x − 2)^2 (x^2 + 3),
ya que x^2 + 3 es irreducible por tener discrimi- nante negativo (es decir, sin ra´ıces reales). b) Sea ahora P (x) = x^4 − 10 x^2 +9. Si llamamos z = x^2 , nos queda P (z) = z^2 − 10 z + 9 = (z − 1)(z − 9). Teniendo en cuenta que a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), resulta que P (x) = (x − 1)(x + 1)(x − 3)(x + 3).
c) x^4 − 5 x^3 + 2x^2 + 8x = x(x^3 − 5 x^2 + 2x + 8). Buscamos ahora x − a con a divisor de 8 y encontramos que, al dividir entre x − 2 , se obtiene que:
1 − 5 2 8 2 2 − 6 − 8 1 − 3 − 4 0
As´ı pu´es: P (x) = x(x − 2)(x^2 − 3 x − 4) = x(x − 2)(x + 1)(x − 4)
- ¿Cu´al es el polinomio m´onico de segundo grado P (x) que verifica que P (5) = 6 y que tiene a 3 como ra´ız?
Como P (x) es un polinomio m´onico de grado dos que tiene a x − 3 como factor, sabemos que P (x) = (x − 3)(x + a). Puesto que, adem´as P (5) = 6, se sigue que 2(5 + a) = 6 y a = − 2 , as´ı que P (x) = (x − 2)(x − 3)
- Halla el m´aximo com´un divisor y el m´ınimo com´un m´ultiplo de los polinomios:
a) x^2 − 2 x + 1 y 2x − 2 b) x^4 − 4 x^2 y x^3 − 4 x^2 + 4x c) x^2 − 3 x, x^2 − 9 y x^2 − 6 x + 9
a) Puesto que
x^2 − 2 x + 1 = (x − 1)^2 2 x − 2 = 2(x − 1)
se sigue que:
mcd(x^2 − 2 x + 1, 2 x − 2) = (x − 1) mcm(x^2 − 2 x + 1, 2 x − 2) = 2(x − 1)^2
b) En este caso:
x^4 − 4 x^2 = x^2 (x^2 − 4) = x^2 (x − 2)(x + 2) x^3 − 4 x^2 + 4x = x(x^2 − 4 x + 4) = x(x − 2)^2
de donde se deduce que:
mcd(x^4 − 4 x^2 , x^3 − 4 x^2 + 4x) = x(x − 2) mcm(x^4 − 4 x^2 , x^3 − 4 x^2 + 4x) = x^2 (x − 2)^2 (x + 2)
d )
2 a − b 2 a + b
2 a + b 2 a − b
a b
b 4 a
a) ( 4 x (x − 1)^2
x − 1
x x^2 − 1
4 x − 4(x − 1) (x − 1)^2
x x^2 − 1
4(x^2 − 1) x(x − 1)^2
4(x + 1) x(x − 1)
b) ( 3 x
x 3
x
9 − x^2 3 x
3 + x 3 x
(3 − x)(3 + x)3x 3 x(x + 3)
= 3 − x.
c) [( x +
x
x −
x
)]
· (x − 1) =
[
x^2 + 1 x
x^2 − 1 x
]
· (x − 1)
=
(x^2 + 1)x x(x^2 − 1) · (x − 1)
= x^2 + 1 x + 1
d ) ( 2 a − b 2 a + b
2 a + b 2 a − b
a b
b 4 a
(2a − b)^2 − (2a + b)^2 (2a + b)(2a − b)
4 a^2 − b^2 4 ab
(4a^2 − 4 ab + b^2 − 4 a^2 − 4 ab − b^2 )(4a^2 − b^2 ) (4a^2 − b^2 )4ab = − 2.
- Resuelve las ecuaciones:
a)
x + 1 x − 1
x + 1
x − 2 x^2 − 1
b) 1 − x x + 3
2 x x − 2
x^2 + 5(x − 2) x^2 + x − 6
a) x + 1 x − 1
x + 1
x − 2 x^2 − 1
(x + 1)^2 + 3(x − 1) − x + 2 x^2 − 1
x^2 + 2x + 1 + 3x − 3 − x + 2 x^2 − 1
x^2 + 4x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = − 4
b) 1 − x x + 3
2 x x − 2
x^2 + 5(x − 2) x^2 + x − 6
(1 − x)(x − 2) + 2x(x + 3) (x + 3)(x − 2)
x^2 + 5(x − 2) (x + 3)(x − 2)
−x^2 + 3x − 2 + 2x^2 + 6x = x^2 + 5x − 10 ⇔ 4 x = − 8 ⇔ x = − 2
- Sea a ∈ R un n´umero real tal que a^3 + 2a^2 + 10a = 20. Demuestra que a y a^2 son irracionales.
Sea a ∈ R una ra´ız de P (x) = x^3 + 2x^2 + 10x − 20. Si a = c/d es racional, sabemos que c | 20 , es decir, c = ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 5 , ± 10 , ± 20.
Pero, se tiene que P (−1) = − 29 , P (1) = − 7 , P (−2) = − 40 , P (2) = 16 , P (−4) = − 92 , P (4) = 116, P (−5) = − 145 , P (5) = 205, P (−10) = − 920 , P (10) = 1280, P (−20) = − 7420 , P (20) = 8980. Por lo tanto, a es irracional.
Si ahora suponemos que a^2 es racional, entonces a^2 = c/d, para ciertos enteros c y d, con lo que substituyendo en a^3 + 2a^2 + 10a = 20, nos quedar´ıa:
a · c/d + 2 c/d + 10a = 20,
es decir:
a ( c/d + 10) = 20 − 2 c/d
o
a = 20 − 2 c/d ( c/d + 10)
∈ Q.
Por lo tanto, tanto a como a^2 son irracionales.
