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Tema 1 MATRICES
1. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN
Las siguientes tablas numéricas son matrices:
§ Son cajas rectangulares formadas por filas y columnas.
§ La primera es una matriz de tres filas y cuatro columnas. Su dimensión es 3 × 4.
§ La segunda es una matriz de dimensión es 1 × 5 : vector fila de dimensión 5.
§ La tercera es una matriz de dimensión es 4 × 1 : vector columna de dimensión 4.
a) Definición
Una matriz de m filas y n columnas es una tabla de m × n números ordenados.
A =
a 11
a 12
a 13
... a 1 n
a 21
a 22
a 23
... a 2 n
a 31
a 32
a 33
... a 3 n
a m 1
a m 2
a m 3
... a mn
- La dimensión es m × n.
- Los elementos, a ij
, son números reales ( a ij
∈ R ), donde el primer subíndice i indica la fila y el
segundo, j , la columna.
- Para simplificar, la matriz anterior se puede designar así: A = ( a ij
m × n
Ejemplo: La tabla muestra los deportes que practica un grupo de amigos.
Natación Tenis Baloncesto
Chicas 3 4 2
Chicos 2 1 5
Escribe e interpreta la información de la tabla en forma de matriz.
Es una matriz de dimensión 2 × 3.
N T B
A =
← Chicas
← Chicos
a 12
= 4 → Hay cuatro chicas que practican tenis.
a 21
= 2 → Hay dos chicos que practican natación.
a 11
= Número total de chicas que hay en el grupo.
a 13
= (^) Número de amigos que practican baloncesto.
Ejercicios: 1, 2
b) Clasificación de matrices
§ Matrices iguales : Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y coinciden
término a término.
Si A = ( a ij
m × n
y B = ( b ij
m × n
, A = B ⇔ ( a ij
) = ( b ij
§ Matriz cuadrada : si m = n.
A =
a 11
a 12
... a 1 n
a 21
a 22
... a 2 n
a n 1
a n 2
... a nn
. (Si no es cuadrada es rectangular ).
§ Matriz fila : o (vector fila): Su dimensión es 1 × n. A = a 11
a 12
... a ( 1 n )
§ Matriz columna : o (vector columna): Su dimensión es n × 1. A =
a 11
a 21
a n 1
§ Matriz nula : Todos sus elementos son ceros.
§ Matriz traspuesta de una matriz A: se obtiene intercambiando las filas por las columnas:
Si A = ( a ij
m × n
, A
t = ( a ji
n × m
§ Matriz simétrica : Una matriz A es simétrica si es igual a su traspuesta, A = A
t .
§ Matriz diagonal : Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos fuera de la diagonal
principal son 0.
A =
a 11
0 a 22
0 0 ... a nn
a 1
a 2
... a
( n )
b 1
b 2
b n
= a 1
b 1
b 2
+... + a n
b n
( 1 × n )⋅ ( n × 1 ) = ( 1 × 1 )
Ejemplo:
Ejercicios: 8, 9, 10, 16
d) Producto de dos matrices
Para que dos matrices A y B puedan multiplicarse, el nº de columnas de la 1ª matriz debe coincidir
con el nº de filas de la 2ª.
A ⋅ B = ( a ik
m × n
⋅ ( b kj
n × p
= ( c ij
m × p
donde cada elemento c ij
es el resultado de multiplicar la fila i - ésima de la 1ª matriz por la columna
j - ésima de la 2ª matriz:
c ij
= a i 1
⋅ b 1 j
⋅ b 2 j
+... + a in
⋅ b nj
Ejemplo:
2 × 3
3 × 2
& =^
2 × 2
En resumen:
- Se multiplica cada fila por cada columna.
- El producto de una matriz de orden m × n y otra de orden n^ ×^ p^ es una matriz de orden m^ ×^ p^.
A
m × n
⋅ B
n × p
= C
m × p
Ejemplo: Las dos siguientes matrices expresan:
A : Consumos anuales de tres familias α , β y γ , de pan, carne y mantequilla.
B : Precios del pan, carne y mantequilla en los años 2013, 2014, 2015 y 2016.
P C M 13 14 15 16
A =
α
β
γ
B =
P
C
M
Calcula A ⋅ B e interpreta la matriz resultado.
A ⋅ B =
α
β
γ
La matriz nos da el gasto anual de cada familia en el total de los últimos cuatro años.
Ejercicios: 18, 19
3. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES
a) Propiedades de la suma de matrices
Si A , B , C ∈ M
m × n
, (es decir, todas son del mismo orden), se cumplen las siguientes propiedades:
- Asociativa: A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
- Conmutativa: A^ +^ B^ =^ B^ +^ A
- Elemento neutro: es la matriz nula 0 , A + 0 = 0 + A = A
- Elemento opuesto: la matriz opuesta es − A = (− a ij
m × n
, A + (− A ) = 0
Estas cuatro propiedades se resumen diciendo que el conjunto M
m × n
de las matrices de dimensión
m × n es un grupo abeliano.
Ejemplo: Halla la matriz opuesta de A y comprueba que es su opuesto respecto de la suma.
A =
− A =
'.^ A^ +^ (− A )^ =^
b) Propiedades del producto de números por una matrices
Si k , l ∈ R y A , B ∈ M
m × n
, se cumplen las siguientes propiedades:
- k ⋅ ( l ⋅ A ) = ( k ⋅ l )⋅ A
- k ⋅ ( A + B ) = k ⋅ A + k ⋅ B
- ( k + l )⋅ A = k ⋅ A + l ⋅ A
4. 1 ⋅^ A^ =^ A
Ejemplo: Comprueba las propiedades distributivas (2 y 3) para k = 2 , l = − 1 y:
A =
& , B =
Ejercicios: 15, 17, 20, 21
4. MATRIZ INVERSA
Puesto que el producto de dos matrices cuadradas de orden n es otra matriz cuadrada de orden n y,
además, existe la matriz identidad I de orden n , podemos hacernos la siguiente pregunta:
¿Toda matriz cuadrada tiene inversa? Es decir, ¿dada la matriz cuadrada A, existe una matriz A
− 1 ,
tal que A^ ⋅^ A
− 1 = A
− 1 ⋅ A = I (^)?
Por ejemplo:
Si A =
, A
− 1
entonces A ⋅ A
− 1 = A
− 1 ⋅ A =
La respuesta es no. Algunas matrices cuadradas tienen inversa, pero otras no.
a) Cálculo la matriz inversa con la calculadora gráfica
Sigue las instrucciones de la calculadora gráfica.
Ejemplo 1 : Halla la inversa de la matriz A =
&. Sol: A
− 1
Ejemplo 2 : Halla la inversa de la matriz M =
. Sol: M
− 1
Ejemplo 3 : Halla la inversa de la matriz B =
. Sol: B no tiene inversa.
b) Propiedades de la inversa y la traspuesta
( A ⋅ B )
− 1 = B
− 1 ⋅ A
− 1 ( A ⋅ B )
t = B
t ⋅ A
t
( A
− 1 )
− 1 = A ( A
t )
t = A
( A
t )
− 1 = ( A
− 1 )
t
Demostración:
1ª) Demostremos que B
− 1 ⋅ A
− 1 es la matriz inversa de A ⋅ B :
( A ⋅ B )( B
− 1 ⋅ A
− 1 ) = A ⋅ B ⋅ B
− 1 ⋅ A
− 1 = A ⋅ I ⋅ A
− 1 = A ⋅ A
− 1 = I
( B
− 1 ⋅ A
− 1 )( A ⋅ B ) = B
− 1 ⋅ A
− 1 ⋅ A ⋅ B = B
− 1 ⋅ I ⋅ B = B
− 1 ⋅ B = I
Ejercicios: 25, 26, 27
5. RANGO DE UNA MATRIZ
a) Combinaciones lineales de filas
Una fila no nula F i
de una matriz depende linealmente de otras F j 1
, F
j 2
,…, F
j n
, si se puede escribir
como una combinación lineal de esas filas, es decir:
F
i
= k 1
F
j 1
F
j 2
+... + k n
F
j n
con k 1
, k 2
,..., k n
∈ R
Una fila de una matriz es linealmente independiente cuando no depende linealmente de otras filas
de la matriz.
Ejemplo: En la matriz A =
la fila F 3
es una combinación lineal de las otras, ya que F 3
= 7 F
1
+ 2 F
2
. Por tanto, depende
linealmente de ellas. Las filas F 1
y F 2
son linealmente independientes (l.i.).
Ejemplo: En la matriz B =
la fila F 2
es una combinación lineal de la otra, ya que F 2
= − 1 ⋅ F
1
. De hecho, es un múltiplo de la
otra. Por tanto, las filas F 1
y F 2
son linealmente dependientes (l.d.).
Observación:
Dos filas son l.d. si una de ellas es un múltiplo de la otra.
Ejercicios: 22, 28, 29
b) Rango de una matriz
El rango de una matriz A es el número de filas (o columnas) no nulas linealmente independientes
que tiene la matriz. Se escribe rg ( A ).
En los ejemplos anteriores rg ( A ) = 2 y rg ( B ) = 1.
c) Método de Gauss para hallar el rango de una matriz
Consiste en convertir la matriz inicial en una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal
inferior sean ceros, utilizando las siguientes transformaciones:
- Intercambiar dos filas: F i
↔ F
j
- Multiplicar o dividir una fila por un número: k ⋅ F i
- Sumarle a una fila una combinación lineal de otras: F i
= aF i
El rango de la matriz es el número de filas no nulas de la matriz triangular obtenida. = Número de
escalones de la matriz “escalonada”.
