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Cap´ıtulo 4
Matrices
4.1 Introducci´on
En numerosas ocasiones un solo n´umero basta para describir el estado de cierto objeto o situaci´on del mundo real. Por ejemplo, si estamos estudiando la rentabilidad de una empresa en distintos a˜nos, en principio bastar´a con indicar los ingresos que obtiene en cada momento y esos ingresos quedan expresados mediante un ´unico n´umero. As´ı diremos:
- El primer a˜no los beneficios fueron de 3 millones de euros.
- El segundo a˜no los beneficios fueron 3.5 millones de euros.
- El tercer a˜nos los beneficios fuero 3.9 millones de euros.
En cada caso, la rentabilidad queda descrita dando un solo n´umero (primero 3, luego 3.5 y finalmente 3.9).
Sin embargo, un estudio m´as detallado de la rentabilidad de la empresa exigir´ıa tener en cuenta no solo los beneficios finales sino tambi´en el volumen de ingresos y gastos. Por ejemplo, una empresa con unos ingresos de 4 millones y unos gastos de de 1 mill´on tendr´a unos beneficios de 3 millones y una alta rentabilidad. Por contra, una empresa que ingresa 103 millones con unos gastos de 100 tendr´a los mismos 3 millones de beneficios pero deberemos deducir que su rentabilidad es muy inferior ya que para obtener cantidades iguales los gastos son muy superiores. De esta forma, si tenemos en cuenta ingresos y gastos, trabajaremos con datos del tipo:
- El primer a˜no, los ingresos fueron de 13 millones y los gastos de 10 millones.
- El segundo a˜no, los ingresos fueron de 14 millones y los gastos de 10.5 millones.
- El tercer a˜nos, los ingresos fueron de 14.3 millones y los gastos de 10.4.
Para abreviar, podr´ıamos convenir en presentar los datos de cada a˜no ordenadamente en la forma
(ingresos,gastos).
De esta manera para indicar los datos de rentabilidad en cierto per´ıodo bastar´a con escribir algo del tipo (15,11) y sabremos entonces que nos referimos a unos ingresos de 15 millones de euros y unos gastos de 11. Por ejemplo, los mismos datos de antes se podr´an escribir como:
- El primer a˜no los datos de rentabilidad son (13,10).
- El segundo a˜no los datos de rentabilidad son (14,10.5).
- El tercer a˜no los datos de rentabilidad son (14.3,10.4).
Es evidente que si vamos a escribir la informaci´on siguiendo este formato, el orden de los datos es fundamental; as´ı, los pares (15,11) y (11,15) representan datos de rentabilidad diferentes (v´ease que el ultimo par corresponde a una empresas con mayores gastos que ingresos y por tanto con p´´ erdidas). Ello justifica que empleemos un orden a la hora de dar los datos, es decir que utilicemos un par ordenado.
Vemos pues que podemos representar mediante un par ordenado de n´umeros reales las distintas posibili- dades de ingresos y gastos que pueden darse. Ahora bien, sabemos que un par de n´umeros reales no es m´as que una 2-upla o elemento de R^2. Por lo tanto, en todo lo anterior, lo que hacemos es utilizar elementos de R^2 para representar nuestra informaci´on. Esquem´aticamente la idea es la siguiente:
Informaci´on del problema Representaci´on Dos datos: ingresos y gastos de una empresa ⇒ Dos n´umeros reales en cierto momento ordenados ⇓ elemento de R^2 2-upla
La necesidad de plantear modelos matem´aticos para fen´omenos en los que intervienen simult´aneamente varios datos es la que motiva la utilizaci´on de elementos de R^2 (cuando tenemos dos datos), de R^3 (cuando tenemos tres) y en general de Rn^ (para n datos).
Incluso es posible que dispongamos de datos que requieran estructuras m´as complejas. Por ejemplo, siguiendo con el ejemplo anterior de ingresos y gastos de empresas, pudiera ser que dispusi´eramos de la informaci´on de tres empresas diferentes para un a˜no concreto:
- Datos de la primera empresa: (13,10).
- Datos de la segunda empresa: (19,15).
- Datos de la tercera empresa: (17,12).
Podemos representar en forma conjunta todos estos datos disponi´endolos ordenadamente por filas en forma de cuadro, 48 15
ingresosgastos 1 a^ empresa 2 a^ empresa 3 a^ empresa
o tambi´en podr´ıamos haberlos escrito en columna como
13 19 17
a 1 empresa a 2 empresa a 3 empresa
Ingresos Gastos
Tanto en un caso como en otro lo importante es fijar un criterio para ordenar los datos. En ambos casos, los datos ordenados en forma de cuadro constituyen lo que se denomina matriz. Concretamente,
Ejemplos 2.
- Tomemos la matriz
A =
Es una matriz de orden 2 × 3 ya que tiene dos filas y tres columnas. Adem´as,
- el elemento (2, 1) de A es 0,
- el elemento (2, 3) de A es 4,
- el elemento (3, 1) de A no existe,
- etc.
As´ı mismo, tenemos que A es un elemento del conjunto de todas las matrices de tipo 2×3, es decir, A ∈ M 2 × 3.
- Consideremos una matriz B ∈ M 3 × 2. Dado que B es un elemento de M 3 × 2 ser´a una matriz con 3 filas y 2 columnas. Si no tenemos m´as informaci´on sobre B no podemos saber cu´ales son los valores de sus elementos. En tal caso, debemos denotarlos de forma gen´erica tal y como se indica en la Definici´on 1 mediante la min´uscula correspondiente a B (esto es, b) y sub´ındices. As´ı pues,
- el elemento (1, 1) de B ser´a b 1 , 1 , - el elemento (1, 2) de B ser´a b 1 , 2 ,
- el elemento (2, 1) de B ser´a b 2 , 1 , - el elemento (2, 2) de B ser´a b 2 , 2 ,
- el elemento (3, 1) de B ser´a b 3 , 1 , - el elemento (3, 2) de B ser´a b 3 , 2.
De esta forma, colocando cada elemento en su lugar, la matriz B es
B =
b 1 , 1 b 1 , 2 b 2 , 1 b 2 , 2 b 3 , 1 b 3 , 2
En el ejemplo 1), puesto que conocemos con exactitud qui´en es la matriz A, pod´ıamos indicar exactamente el valor de cada uno de sus elementos. Sin embargo en este ejemplo desconocemos qu´e n´umero real aparece en cada posici´on de B y por ello nos vemos obligados a asignarle un nombre gen´erico (b 2 , 1 , b 3 , 1 , etc.) que represente su valor el cual ignoramos.
Puesto que escribir repetidamente la expresi´on para B que aparecen en (4.1) es tedioso, en lugar de ello podemos abreviar poniendo (bi,j )i=1,..., 3 j=1, 2
o a´un m´as brevemente (bi,j ) 3 × 2.
- Sea A ∈ M 3 × 4. La matriz A tendr´a 3 filas y 4 columnas y si desconocemos cu´ales son los elementos de A debemos escribirlos de forma gen´erica en la forma,
A =
a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 1 , 4 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 a 2 , 4 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 a 3 , 4
Para abreviar en la escritura tenemos que, ⎛ ⎝
a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 1 , 4 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 a 2 , 4 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 a 3 , 4
⎠ (^) = (ai,j )i=1,..., 3 j=1,..., 4 ︸ ︷︷ ︸ lo mismo m´as brevemente
= (ai,j ) 3 × 4 ︸ ︷︷ ︸ a´un m´as breve
Tambi´en podemos indicar que A es una matriz con tres filas y cuatro columnas escribiendo A 3 × 4.
- El conjunto M 2 × 2 contiene a todas las matrices con dos filas y dos columnas. Todas las matrices de M 2 × 2 son de la forma
A =
a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 1 a 2 , 2
mientras que los coeficientes a 1 , 1 , a 1 , 2 , a 2 , 1 , a 2 , 2 pueden tomas cualquier valor de R. Es decir,
M 2 × 2 = {
a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 1 a 2 , 2
Matrices con dos filas y dos columnas
: a 1 , 1 , a 1 , 2 , a 2 , 1 , a 2 , 2 ∈ R ︸ ︷︷ ︸ los coeficientes toman cualquier valor de R
Todas estas matrices reunidas forman M 2 × 2
- Las matrices
A =
y B =
tienen los mismos elementos (en ellas aparecen los mismos n´umeros reales 3, 2, -1, 0, 6 y 2) pero vemos que no est´an situados en las mismas posiciones (en el sitio (1, 1), A tiene un 3 mientras que en el mismo sitio B tiene un 2). Por ello ambas matrices son diferentes, as´ı que A = B. Si consideramos ahora la matriz
C =
nuevamente A y C tienen los mismos elementos y en esta ocasi´on incluso aparecen situados en los mismos sitios. Sin embargo, ambas matrices son de tipos diferentes ya que A es de tipo 2 × 3 y C es 3 × 4. En tal caso tampoco podemos decir que A y C sean la misma matriz y en consecuencia A = C.
Nota. Es frecuente utilizar la notaci´on matem´atica para abreviar en la escritura. As´ı, en lugar de escribir
’tomemos una matriz, A, con tres fila y cuatro columnas’
podemos poner
‘tomemos A ∈ M 3 × 4 ’
o bien
’tomemos A 3 × 4 ’.
Veamos ahora, en la siguiente definici´on, una lista de conceptos b´asicos dentro de la teor´ıa de matrices.
Definici´on 3.
- Dada A = (aij )m×n llamamos submatriz de A a cualquier matriz obtenida suprimiendo en A filas y/o columnas.
Ejemplos 4.
- Dada A =
⎠ (^) tenemos que:
Supongamos que por alg´un motivo deseamos eliminar la segunda empresa del estudio. La matriz correspondiente a la nueva situaci´on ser´a,
48 12
ingresosgastos 1 a^ empresa 3 a^ empresa
Es evidente que la nueva matriz es submatriz de la matriz inicial ya que se obtiene eliminando su segunda fila. Supongamos que adem´as decidimos restringir a´un m´as nuestro estudio y tener en cuenta solamente los gastos de las empresas. En ese caso la matriz de datos ser´a,
4000
gastos 1 a^ empresa 3 a^ empresa
Otra vez hemos obtenido una submatriz de la matriz inicial ya que hemos eliminado filas y columnas completas: ⎛ ⎝
eliminamos fila 2
eliminamos fila 2 y columna 1
a 1 a 2... an
1 ×n, de tipo^1 ×^ n, que tienen una ´unica fila se denomina matriz fila.
Ejemplo 5. Las matrices
1 × 4 ,^
1 × 3 ´o^
1 × 2 son matrices fila.
a 1 a 2 .. . an
n× 1
, de tipo n × 1 , que tiene una ´unica columna se denomina matriz
columna.
Ejemplo 6. Las matrices
4 × 1
y
2 × 1
son matrices columna.
- Una matriz con n filas y n columnas (de tipo n × n) se dice que es una matriz cuadrada de orden n. El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n se designa mediante Mn.
Ejemplo 7. La matriz A =
tiene dos filas y dos columnas. Por tanto es una matriz cuadrada de orden 2. Sabemos que el conjunto de matrices de tipo 2 × 2 con dos filas y dos columnas se denota M 2 × 2. Sin embargo, para abreviar, escribimos M 2 en lugar de M 2 × 2. En consecuencia,
A ∈ M 2 = M 2 × 2.
De la misma manera, la matriz
B =
tiene tres filas y tres columnas y es por tanto una matriz cuadrada de orden 3 as´ı que B ∈ M 3 = M 3 × 3.
- Dada A ∈ Mm×n llamamos matriz transpuesta de A y la notamos At, a la matriz cuya primera fila es la primera columna de A, cuya segunda fila es la segunda columna de A,... , cuya n-´esima fila es la n-´esima columna de A. Son evidentes los siguientes hechos: - A ∈ Mm×n ⇒ At^ ∈ Mn×m. - (At)t^ = A. - A = (aij )m×n ⇒ At^ = (aji)n×m. Es decir el elemento situado en A en la posici´on (i, j) al hacer la traspuesta pasa a la posici´on (j, i).
Ejemplos 8.
- Es f´acil calcular la traspuesta de cualquier matriz. Por ejemplo, la traspuesta de
se
denota
)t y se calcula cambiando filas por columnas seg´un el esquema,
columna 1columna 2columna 3
( 2 3 7 1 6 4
)t
fila 1 fila 2 fila 3
V´ease que la matriz inicial es de tipo 2 × 3 y al hacer la traspuesta obtenemos una de tipo 3 × 2. Es evidente adem´as que si volvemos a hacer la traspuesta a la la ´ultima matriz obtendremos nuevamente la primera: ( 2 3 7 1 6 4
)tt
t
Es decir, hacer dos veces la traspuesta es equivalente a no hacer nada.
- En la p´agina 120 vimos como pod´ıamos organizar en una matriz los datos correspondientes a la rentabilidad de distintas empresas. A la hora de escribir los datos de cada una de ellas pod´ıamos
Definici´on 10.
- Llamamos diagonal principal de la matriz An×n = (aij )n×n ∈ Mn a la matriz fila
a 11 a 22... ann
La diagonal principal es por tanto la matriz fila formada por los elementos de A que est´an recuadrados en la representaci´on siguiente:
A =
a 11 a 12 a 13... a 1 n a 21 a 22 a 23... a 2 n a 31 a 32 a 33... a 3 n .. .
an 1 an 2 an 3... ann
- Llamamos traza de A = (aij )n×n ∈ Mn y la notamos tr(A) ´o traza(A) a la suma de los elementos de la diagonal principal: tr(A) = a 11 + a 22 + · · · + ann.
Ejemplo 11. Sea A =
⎠ (^) entonces tenemos que
- la diagonal principal de A es
- la traza de A es tr(A) = 1 + 2 + 9 = 12.
- Decimos que (aij )n×n ∈ Mn es:
- triangular superior si todos los elementos inferiores a la diagonal principal son nulos.
- triangular inferior si todos los elementos superiores a la diagonal principal son nulos.
- diagonal si todos los elementos fuera de la diagonal principal son nulos.
Ejemplos 12.
y
son matrices triangulares superiores.
⎠ y
son matrices triangulares inferiores.
y
son matrices diagonales.
- Llamamos matriz identidad de orden n y la notamos In a la matriz cuadrada de orden n que es diagonal y tal que todos los elementos de su diagonal principal son iguales a 1. Es decir,
In =
∈ Mn.
Ejemplo 13.
- La matriz identidad de orden 1 es I 1 = (1),
- la matriz identidad de orden 2 es I 2 =
- la matriz identidad de orden 3 es I 3 =
- etc.
- Decimos que (aij )n×n es sim´etrica si A = At^ o, lo que es lo mismo:
aij = aji, ∀i, j = 1,... , n.
- Decimos que (aij )n×n es antisim´etrica si se verifica que:
aij = −aji, ∀i, j = 1,... , n.
Obs´ervese que, si una matriz es antisim´etrica, tomando i = j obtenemos que
aii = −aii ⇒ 2 aii = 0 ⇒ aii = 0, ∀i = 1,... , n
con lo que una matriz antisim´etrica tendr´a nulos todos los elementos de su diagonal principal.
Ejemplos 14.
- Dada A =
⎠ (^) tenemos que
At^ =
⎠ = A
y por lo tanto A es una matriz sim´etrica. V´ease en el siguiente esquema que los elementos (i, j) y (j, i) de la matriz coinciden: (^) ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
^ ^
^ ^
Para que la matriz sea sim´etrica los elementos situados en los extremos de una misma flecha han de coincidir. Obs´ervese que los elementos de la diagonal principal (rodeados por un c´ırculo) no est´an se˜nalados por ninguna flecha y por lo tanto su valor no influye de ninguna manera en que la matriz sea sim´etrica.
- La matrix B =
⎠ (^) es antisim´etrica ya que, si notamos B = (bij ) 3 × 3 , tenemos que
Es evidente que si la entidad 1 debe a la entidad 2, 0.5 millones de euros, podemos admitir que la entidad 2 debe a la entidad 1, − 0 .5 millones. As´ı, cuando indicamos que la entidad 2 debe a la entidad 3, − 0 .2 millones de euros, nos referimos a que el estado de cuentas entre ambas es favorable a la entidad 2 de modo que la entidad 3 le debe 0.2 millones. Por otro lado, es claro tambi´en que cada entidad no se debe a s´ı misma nada. Toda esta informaci´on podemos resumirla en la siguiente matriz:
debe a la ︷ ︸︸ ︷ 48 4000
entidad 1entidad 2entidad 3
La
entidad 1 entidad 2 entidad 3
Puede verse que hemos situado en el cruce de las filas y columnas correspondientes a los distintas entidades la cantidad adeudada teniendo en cuenta a la hora de poner el signo de cada dato que las filas indican la entidad deudora y las columnas la acreedora. Como antes dijimos, si una entidad adeuda cierta cantidad a otra, podemos tambi´en decir que esa ´ultima adeuda a la primera la misma cantidad pero con signo opuesto; por ello en la matriz encontramos siempre en la posici´on (i, j) el n´umero opuesto al que aparece en la (j, i). Adem´as, como ninguna entidad se debe nada a s´ı misma, en la diagonal principal hemos escrito solamente ceros. En definitiva, la matriz de datos es antisim´etrica.
Nota. Las matrices diagonales se suelen notar, con objeto de abreviar la escritura, indicando ´unicamente los elementos de su diagonal principal. As´ı por ejemplo:
La matrix
⎠ (^) se puede escribir como
En forma gen´erica, a la matriz diagonal A ∈ Mn cuya diagonal principal es
a 1 a 2 · · · an
la denotare- mos mediante
A =
a 1 a 2
.. . an
n×n
4.2.1 Elementos de Rn^ y matrices fila o columna
En cierta zona industrial se utilizan como materias primas el acero, el aluminio y materiales pl´asticos. En un a˜no concreto el consumo de tales materiales ha sido de 1123 toneladas de acero, 820 toneladas de aluminio y 530 toneladas de materiales pl´asticos. Sabemos que podemos representar esta informaci´on mediante un elemento de R^3 (tenemos tres datos ⇒ tres n´umeros ⇒ elemento de R^3 ) en la forma
(1123, 820 , 530),
situando en primer lugar el consumo de acero, el de aluminio en segundo y en tercero el de pl´asticos. Sin embargo, tambi´en podr´ıamos haber dispuesto los datos en forma de matriz fila o de matriz columna siguiendo el mismo criterio:
Contamos entonces con tres formatos para representar la informaci´on correspondiente al consumo de materias primas:
(1123, 820 , 530) ︸ ︷︷ ︸ como elemento de R^3
como matriz fila
como matriz columna
En realidad, es indiferente cu´al de los tres utilicemos pues la informaci´on que todos ellos contienen es siempre la misma. Tanto da ponerlos en forma de fila o columna, ser´an siempre los mismos tres datos (1123 toneladas de acero, 820 de aluminio, 530 de pl´asticos). Emplearemos una representaci´on o la otra en funci´on de que sea m´as indicada para el tipo de c´alculos que vamos a realizar.
Siguiendo esa misma idea, a lo largo de este libro adoptaremos el convenio de identificar elementos de Rn, matrices fila de M 1 ×n y matrices columna de Mn× 1 :
Rn^ ∼= M 1 ×n ∼= Mn× 1
(a 1 , a 2 ,... , an) ↔
a 1 a 2... an
a 1 a 2 .. . an
De esta manera, si por ejemplo tenemos la 4-upla (1, 2 , 0 , −3) ∈ R^4 podemos representarlo tambi´en como fila o columna en la forma,
( 1 2 0 − 3
∈ M 1 × 4 ´o
⎠ ∈ M^4 ×^1.
O, de la misma manera, si estamos trabajando con la matriz columna
⎠, cuando los c´alculos que
estamos efectuando lo hagan necesario, podremos escribirla en cualquiera de las dos formas
(− 5 , 3 , 6) ∈ R^3 ´o
∈ M 1 × 3.
Nota. En algunos textos se identifican los elementos de Rn^ con matrices filas de M 1 ×n en la forma
Rn^ ∼= M 1 ×n (a 1 , a 2 ,... , an) ↔
a 1 a 2... an
y para indicar la representaci´on como columna se utiliza el s´ımbolo de trasposici´on t.
Por supuesto, todos los conceptos que definamos para matrices pueden ser trasladados a elementos de Rn siempre que los tipos de matriz en juego sean adecuados. Por ejemplo, hemos definido lo que es la matriz cero de tipo 1 × n o de tipo n × 1 en la forma
(^01) ×n =
n) · · · 0
∈ M 1 ×n, (^0) n× 1 =
. n) 0
∈ Mn× 1.
En consecuencia debemos definir el elemento cero de Rn^ como
(^0) n = (0, 0 ,.. .,n) 0) ∈ Rn.
Por ejemplo,
- La matriz obtenida al agrupar por columnas v 1 , v 2 ,... , vn se denota ( v 1 v 2 · · · vn
y tendr´a m filas y n columnas. Ser´a por tanto una matriz de Mm×n.
- La matriz obtenida al agrupar por filas v 1 , v 2 ,... , vn se denota ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
v 1 v 2 .. . vn
que tendr´a n filas y n columnas. Es decir, es de tipo n × m.
Ejemplo 16. Tomemos v 1 = (2, 3 , − 1 , 0), v 2 = (6, 2 , 3 , 3), v 3 = (6, 4 , − 9 , −1). La matriz por bloques obtenida al agrupar por columnas v 1 , v 2 y v 3 es
v 1 v 2 v 3
⎠ ∈ M^4 ×^3.
La matriz por bloques que obtenemos agrupando v 1 , v 2 y v 3 es
⎛ ⎝
v 1 v 2 v 3
⎠ ∈ M 3 × 4.
Matrices por bloques con la matriz cero y la matriz identidad
Hemos visto que podemos combinar diferentes matrices para formar una matriz por bloques. Es de particular importancia el caso en que estos bloques son la matriz cero y la matriz identidad y aparecen combinados en la forma (^) ( In 0 n×n 1 (^0) m×n 0 m×n 1
In 0 n×n 1
´o
In (^0) m×n
Veremos en el siguiente ejemplo que en todos los casos la matriz que obtenemos combinando de esta manera la matriz identidad In con matrices cero es siempre una matriz en la que todos los elementos son cero excepto n unos situados en diagonal.
Ejemplo 17.
I 3 03 × 2
02 × 3 02 × 2
Tenemos n = 3 y por tanto en la matriz resultante son todos los elementos cero excepto n = 3 unos en diagonal.
I 2 02 × 2
01 × 2 01 × 2
Tenemos n = 2 y por tanto en la matriz resultante son todos los elementos cero excepto n = 2 unos en diagonal.
I 4 04 × 2
Tenemos n = 4 y por tanto en la matriz resultante son todos los elementos cero excepto n = 4 unos en diagonal.
I 2
02 × 2
Tenemos n = 2 y por tanto en la matriz resultante son todos los elementos cero excepto n = 2 unos en diagonal.
En general, de forma abreviada, diremos que una matriz es de la forma ( In 0 0 0
si se ajusta a alguno de los tres tipo de matrices por bloque que hemos indicado antes (y por tanto tendr´a todos los elementos nulos excepto n unos situados en diagonal).
4.3 Operaciones con matrices
Sabemos que es posible realizar distintas operaciones entre n´umeros reales. As´ı, podemos calcular la suma, la diferencia, el producto, la divisi´on, etc. de dos n´umeros. Veremos en esta secci´on que es posible extender estas operaciones al c´alculo con matrices. Comprobaremos incluso que muchas de las propiedades usuales de la aritm´etica de n´umeros siguen siendo v´alidas para matrices.
4.3.1 Suma de matrices
Definici´on 18. Dadas dos matrices del mismo tipo A = (aij )m×n, B = (bij )m×n ∈ Mm×n definimos la suma de A y B como la matriz A + B ∈ Mm×n determinada mediante:
A + B = (aij + bij )m×n.
Es decir:
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n .. .
am 1 am 2... amn
b 11 b 12... b 1 n b 21 b 22... b 2 n .. .
bm 1 bm 2... bmn
a 11 + b 11 a 12 + b 12... a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22... a 2 n + b 2 n .. .
am 1 + bm 1 am 2 + bm 2... amn + bmn
Ejemplo 21.
2. − 02 × 2 = −
= 0 2 × 2.
- Si A =
entonces At^ =
= −A, por tanto A es una matriz anti- sim´etrica.
4.3.2 Producto de matrices por un n´umero real
Definici´on 22. Dada una matriz A = (aij )m×n ∈ Mm×n y un n´umero real r ∈ R, definimos el producto de r por A y lo notamos r · A ´o A · r como:
r · A = A · r = (r · aij )m×n ∈ Mm×n.
Es decir:
r ·
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n .. .
am 1 am 2... amn
r · a 11 r · a 12... r · a 1 n r · a 21 r · a 22... r · a 2 n .. .
r · am 1 r · am 2... r · amn
Obs´ervese que si multiplicamos una matriz de tipo m × n por un n´umero real obtenemos como resultado una matriz de tipo m × n.
Ejemplos 23.
⎠ = 0 3 × 2.
Nuevamente resumimos las propiedades m´as importantes del producto de un n´umero por una matriz. En todos los casos la demostraci´on es evidente y puede comprobarse de forma directa.
Propiedades 24. ∀r, s ∈ R, ∀A, B ∈ Mm×n:
- Propiedad distributiva: r · (A + B) = r · A + r · B.
- Propiedad distributiva: (r + s) · A = r · A + s · A.
- 1 · A = A.
- (−1) · A = −A.
- (r · s) · A = r · (s · A).
- r · 0 = 0, 0 · A = 0.
- (r · A)t^ = r · At.
Filas y columnas de proporciones
Hemos visto que cuando en cierto fen´omeno intervienen varios datos a 1 , a 2 ,... , an, podemos representar esta informaci´on mediante un elemento de Rn^ en la forma,
(a 1 , a 2 ,... , an).
Es frecuenta que sea de inter´es determinar qu´e porcentaje representa cada cantidad respecto al total. Ello puede hacerse empleando tantos por ciento (porcentajes) o tantos por uno:
- El c´alculo de porcentajes para cada cantidad de (a 1 , a 2 ,... , an) se realiza de la siguiente forma:
- Porcentaje de a 1 respecto al total=
a 1 + a 2 + · · · + an
a 1 %.
- Porcentaje de a 2 respecto al total=
a 1 + a 2 + · · · + an
a 2 %.
- Porcentaje de an respecto al total=
a 1 + a 2 + · · · + an
an%.
- El c´alculo de tantos por uno para cantidad de (a 1 , a 2 ,... , an) se realiza como sigue:
- Tanto por uno de a 1 respecto al total=
a 1 + a 2 + · · · + an
a 1.
- Tanto por uno de a 2 respecto al total=
a 1 + a 2 + · · · + an a 2.
- Tanto por uno de an respecto al total=
a 1 + a 2 + · · · + an an.
Si representamos los porcentajes correspondientes a (a 1 , a 2 ,... , an) mediante un elemento de Rn^ y utilizamos la definici´on del producto de un n´umero por una matriz tenemos,
a 1 + a 2 + · · · + an
a 1 ,
a 1 + a 2 + · · · + an
a 2 ,... ,
a 1 + a 2 + · · · + an
an) =
a 1 + a 2 + · · · + an
(a 1 , a 2 ,... , an).
Por su parte si hacemos lo mismo para los tantos por uno obtenemos
(
a 1 + a 2 + · · · + an
a 1 ,
a 1 + a 2 + · · · + an
a 2 ,... ,
a 1 + a 2 + · · · + an
an) =
a 1 + a 2 + · · · + an (a 1 , a 2 ,... , an).
En otras palabras, dada la distribuci´on de cantidades (a 1 , a 2 ,... , an), tenemos que
