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MATRICES - DETERMINANTES -
INVERSA
Nunca se alcanza la verdad total, ni nunca se está totalmente alejado de ella. aristóteles
LOGRO DE LA SESIÓN:
Al nalizar la unidad, el estudiante resuelve ejercicios aplicados a la ingeniería donde utiliza conceptos y propiedades de matrices, determinantes e inversa
1.5. Determinante de una Ma-
triz
Sea la matriz cuadrada A = [aij ]n , matriz de orden n, llamaremos determinante de la ma- triz A, al número real que está relacionado con los elementos aij de la matriz.
Notación: |A| , det(A), indican el determi- nante de la matriz cuadrada A.
Para una matriz de orden 2: Diagonal principal menos la diagonal secundaria.
A =
[
a 11 a 12 a 21 a 22
]
=⇒ |A| = a 11 · a 22 − a 12 · a 21
Ejemplo 1. : Dadas las matrices
A =
[
]
; B =
[
]
Calcular la |A|; |B| y |AB|
Solución. :
Para una matriz de orden 3: Se pue- de desarrollar por el método de sub- matrices, el cual de ne la determinante como la sumatoria del producto de los elementos de una línea cualquiera de la matriz ( la o columna) elegida, por sus correspondientes adjuntos o submatrices. det(A) =
(− 1 )i+j^ · aij · det(A(i/j )) A(i/j ): es la sub_matriz de A eliminando la i − esima la y la j − esima columna.
Ejemplo 2. Dado B =
, calcule
su determinante por el método de sub-matrices. Solución. :
O también, se puede desarrollar por el mé- todo de SARRUS, así: ∣∣ ∣∣ ∣∣
a b c d e f g h i
a b c a b d e f d e g h i g h
= (aei + bfg + cdh) − (ceg + afh + bdi)
Ejemplo 3. : Calcular la determinante de la matriz mediante Sarrus y sub-matrices
A =
Solución. :
1.6. Inversa de una Matriz por
el método de la Adjunta
Sea la matriz cuadrada A = [aij ]n , matriz de orden n, su inversa existe si y solo si |A| 6 = 0 y se denota como A−^1 , luego:
A−^1 = (^) |^1 A| · adj (A)
Matriz Adjunta: La matriz adjunta adj (A) es igual a la transpuesta de la ma- triz de cofactores de A Matriz de Cofactores: La matriz de co- factores cof (A) esta compuesta por todas las sub-matrices de orden (n − 1 ) de la matriz A, donde cada elemento tiene la forma: cij = (− 1 )i+j^ · det(A(i/j ))
Ejemplo 4. Determine la inversa de la matriz:
A =
Solución. :
- Sean las matrices: A =
B =
. Resuelve la ecuación matri-
cial AX = B.
Solución. :
R.: X =
13 − 15 − 10
- Sean las matrices: A =
B =
1 − 2 1 0 1 1 − 2 0 0
; C =
3 12 − 5 6 15 − 9 − 7 6 − 11
.
Resuelve la ecuación matricial 3A + AX = B + C
Solución. :
R.: X =
14 6 19 − 17 − 7 − 23 − 19 − 8 − 26
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
EJERCICIOS PROPUESTOS
- Determine el valor de∣ x si se cumple que: ∣∣ ∣∣ ∣
15 − 2 x 11 10 11 − 3 x 17 16 7 − x 14 13
Solución. :
R.: x = 4
- Determine la matriz inversa de A, me-
diante la adjunta A =
Solución. :
R.: A−^1 =
− 1 3 − 1 0 − 3 2 1 − 1 0
- Determine la matriz X que cumple la ecuación: A (X + I ) = 4B , siendo:
A =
3 0 1 − 1 2 1 4 − 2 2
;B =
0 − 1 1 0 2 3 − 3 1 − 1
Solución. :
R.: X =
1 − 4 2 / 3 4 − 3 16 / 3 − 6 8 1
- Hallar el valor numérico de:
P =
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
∣∣ ∣∣ ∣∣−
∣∣ ∣∣ ∣∣
∣∣ ∣∣ ∣∣+
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
Solución. :
R.: 1/
