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42 EJERCICIOS de MATRICES y GRAFOS 2º BACH.
1. Hallar x e y para que ambas matrices sean iguales: ^ −^ ^ ^ −
−^ −
1 2 x 3 0 1 273 0
3 2 10 3 y 2 10 3
2. Indicar tres ejemplos de matriz simétrica de orden 3
Operaciones con matrices:
3. Dadas:
A = , B = y C = 2 3 5 1 2 4 2 1 1/ 2 3 1 1
−^ −^ −^ −
−^ −^ −^ −
hallar: a) A+B b) - B c) A- B d) 2C e) - 3A f) A+3B- 4C
4. Dadas:
A = , B = 1 3 0 y C = 1 3 2 0 3 0 4 2 5 0
hallar: a) A · B b) B · A c) A · C d) C · A e) B · C f) C · B g) B
2
h) A
2
i) B · B
t
j) B
3
k) B · ➈
3x
(Sol: a) ^ −
−^ −
1 7 5
48 4 ;^ b)^ No se puede;^ c)^ ^ −
12 5
9 4 ;^ d)^
− −^ − (^) −
7 3 0
5 111
5 510
; e)
(^) −
3 2
6 7
612
; f) No se puede ; g)
6
5
−
6 0
11 1
4 4 4
h) No se puede; i)
9 8 10
81012
101220
; j)
− − (^) −
1830 6
2139 3
1236 12
; k) B )
5. Dadas las matrices del ejercicio anterior y , comprobar que se verifican las siguientes
propiedades del producto de matrices:
a) Asociativa: A · ( B · C ) = ( A · B ) · C
b) Distributiva (por la dcha.): A · ( B + C ) = A · B + A · C
c) Distributiva (por la izda.): (A + B ) · C = A · C + B · C
6. Dada una matriz A, ¿existe una matriz B, tal que el producto AB, o bien el BA, sea una matriz de una sola
fila? Indicar ejemplos.
7. Comprobar si existe una matriz B tal que el producto AB sea una matriz de tres filas, siendo
A =
8. Dadas las siguientes matrices: (^) ( )
A = 2 1 5 y B = 2
4
escribir los productos AB y BA.
9. El producto de dos matrices diagonales es otra matriz diagonal. Comprobarlo para dos matrices de orden 3.
D = 3 3 1
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10. Resolver la ecuación matricial siguiente e indicar la dimensión de la matriz X :
1 3 2X = 3 0 1 2
^ −
^
− − (^) −^ − (^) − −
4 67 / 2
Sol: 2 31 / 2
21 / 2 37 / 2
11. Calcular A
2
A =
(Soluc: 0 2x2)
12. Comprobar que, dadas dos matrices cuadradas A y B, se verifica: a) ( A + B )
t = A
t +B
t
b) ( A · B )
t = B
t · A
t
c) A · A
t
(o A
t
· A ) siempre da una matriz
simétrica.
(Utilizar matrices 3x3)
13. Razonar, sin utilizar ejemplos, por qué no son ciertas las habituales identidades notables en el caso de
matrices.
Potencias n-ésimas de matrices:
14. Demostrar que la matriz
A =
satisface la relación A
n
n- 1
A
15. Calcular, por inducción, las potencias n-ésimas de las siguientes matrices:
a 1 0 1 A = B = 1 1 1 C = 0 1 0 D = 1 1 0 E = 0 a 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
F = 0 0 1 G = 0 1 0 H = 0 1 0 J = 0 1 0
(Sol: a) B
n =a
n-1 (^)
a
0^ n^ a ;^ b)^ C
n =
n- C ; c) D
n =
1 n/ 7 n/ 7
0 1 0
0 0 1
; d) E
n =
100
n 10
001
; e) A
4n+ =A, A
4n+ =- ➈ , A
4n+ = - A, A
4n+ = ➈ , n∈ N ;
f) F
2 =
002
000
000
, F
n = (^0) 3x3 ∀n≥ 3 ; g) G
n =
10 n
010
001
; h) H
n =
1 00
0 10
2 n 01
; j) J
n =
n- 1 n- 1
n- 1 n- 1
2 02
0 1 0
2 02
16. Dada la matriz , se pide: a) Calcular A
2
, A
3
y A
4
, deduciendo una fórmula general para A
n
b) Demostrar que la fórmula anterior también es válida para A
n+
c) ¿Cuánto valdría A
99
19999
Soluc: 0 1 0
0 0 1
17. (S) Calcular A
2
, A
3
y A
428
dada la siguiente matriz:
A = 3 4 1
(Soluc: A
428 =A
2 )
A = 0 1 0
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29. a) Encontrar dos matrices X e Y que cumplan:
2X + Y =
X Y =
b) Ídem con
2X 3Y =
X Y =
^
Soluc: (^) Sol : X 4 5 ; Y^3 5 16 2 10
− − − − =^ = ^ ^ ^
30. Calcular x , y , z , t para que se cumpla que
2 1 x y 5 1
0 1 z t 0 2
(^) (^) ^
5 / 2 3 / 2 Soluc : 0 2
Operaciones con datos en tablas:
31. Las velocidades medias de tres coches A, B , C en km/h, vienen dadas por la matriz
V = 80
El número de horas que cada coche viaja viene dado por la matriz H = (3 4 6). Calcular los productos
HV y VH , interpretando los valores de los términos de las matrices resultantes.
(Soluc: El único término de HV representa el total recorrido por los tres coches, 1190 km; cada término de VH
representa los km recorridos por el coche a la velocidad que indica la fila en que está situado viajando el número de
horas que indica la columna)
32. Se realiza una comparación del precio de cuatro productos en tres supermercados distintos. Los precios por
kg de los productos en los distintos supermercados vienen dados por la matriz
S 1 S 2 S 3
Verdura 8 9 10
Carne 40 50 40
Pan 4 4 3,
Fruta 12 15 14
El número de kg comprados respectivamente de cada producto cierto día por una familia está dado por la
matriz (2 3 1 2). Mediante el producto apropiado de matrices, comparar el coste del total de la compra
en los tres supermercados. (Soluc: La matriz del coste total de los productos es (164 202 171,5))
33. El consumo anual medio en litros de leche desnatada, semi y entera de tres familias F 1 , F 2 y F 3 viene
dado por la siguiente matriz:
d e s n se m i e n te ra
F 4 3 0 1 5 7 8 1 A = F 5 4 5 2 1 0 1 2
F 1 2 0 8 0 3 3
