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ALGEBRA´
Hoja 1.
- Resolver los siguientes sistemas por el m´etodo de eliminaci´on gaussiana:
a)
2 x − 5 y + 4z + u − v = 3 x − 2 y + z − u + v = 5 x − 4 y + 6z + 2u − v = 10
, b)
4 x − 3 y + 2z + u = 3 x − 2 y + z + 2u = − 2 4 x − y + z − u − v = 5 2 x + 3y − z − 4 u = 9
c)
4 x − 3 y + 2z = − 2 − 2 x + y + 2z = 3 −x + y − 2 z = 7
, d)
4 x − 3 y + 2z = 3 − 2 x + y + 2z = 1 −x + y − 2 z = − 2
- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el m´etodo de Gauss-Jordan:
3 x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 2 2 x 1 + 2x 2 − 6 x 3 + 2x 4 = − 4 4 x 1 + 5x 2 − x 3 + 3x 4 = − 3
7 x 2 + x 3 = 1 3 x 1 + 4x 2 + 1x 3 = 7 − 9 x 1 − 5 x 2 − 2 x 3 = 2
- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones (no lineales):
2 x^2 − 6 y^3 + 3ez^ = 17 4 y^3 − ez^ = − 5 − 3 x^2 − 2 y^3 = − 10
- Discutir las distintas soluciones del siguiente sistema seg´un los distintos valores del par´ametro k:
x + y + 2z = 2 − 3 x + 2y + 3z = − 2 2 x + ky − 5 z = − 4
- Discutir las distintas soluciones de los siguientes sistemas seg´un los distin- tos valores de los par´ametros a y b:
ax + bz = 2 ax + ay + 4z = 4 ax + 2z = b
ax + by + z = 1 x + aby + z = b x + by + az = 1
x 1 + axn+1 = a x 2 + axn+1 = a ......................... xn + axn+1 = a a(x 1 + x 2 + ... + xn) + xn+1 = b
- Verificar que existe un sistema de dos ecuaciones en las variables x, y, z, cuyas soluciones sean, en funci´on del par´ametro t:
x = − 1 − t y = 2 + 5t z = 4 − t
- Un padre con aficiones matem´aticas decide hacer su testamento de la manera siguiente: - Todo mi capital ser´a dividido entre mis tres hijos: Antonio, Benito y Carla. - Del capital menos 10.000 euros Antonio recibe la mitad. - La cantidad recibida por Carla menos la cantidad que reciba Benito debe ser igual a la cantidad recibida por Benito menos la cantidad recibida por Antonio. - La cantidad recibida por Carla menos el 60 por ciento de la recibida por Benito debe ser igual a 4.000 euros.
¿Cuanto dinero recibir´a cada uno?
- Calcular la inversa, si existe, de las siguientes matrices y comprobar la respuesta por multiplicaci´on:
A =
, B =
, C =
- Demostrar que la matriz
A =
no es invertible comprobando que existe una soluci´on no trivial del sistema homog´eneo A · X = 0.
- El producto de matrices cuadradas n × n no es conmutativo. Sin embargo, dada una matriz A, existen matrices B que conmutan con ella, es decir, tales que A·B = B·A (por ejemplo, la identidad o la propia A). El conjunto de tales matrices se llama conmutador de A. Calc´ulese el conmutador de la matriz: A =
- Una matriz cuadrada S se dice sim´etrica si S = tS y antisim´etrica si S = − tS.
