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TEMA 0 – MATRICES
Matriz es el nombre genérico que en matemáticas se aplica a listas y tablas numéricas. Las matrices se emplean, entre otras muchas cosas, para almacenar información, para describir relaciones, para el estudio de sistemas de ecuaciones,…, y aparecen de modo natural en Economía, Sociología, Psicología, Estadística, Geometría,...
En la teoría de los espacios vectoriales veremos cómo un modelo lineal de compatibilidad con m ecuaciones lineales puede ser interpretado como un problema entre vectores del espacio RRm.
La teoría de las matrices es la que va a aportar la forma de realizar los cálculos, de modo operativo, no sólo para averiguar la incompatibilidad o la compatibilidad del modelo, sino también para obtener las soluciones en caso de compatibilidad. Además, las matrices ofrecen una notación ventajosa que no debe subestimarse, no sólo para los modelos lineales sino también para las aplicaciones lineales.
0.1. DEFINICIONES BÁSICAS
Todo conjunto de elementos dispuestos de modo ordenado en forma de una tabla de m filas y n columnas. Se simboliza en las formas:
m m mn
n
n
a a a
a a a
a a a
A
L
M M M M
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1
, ó A =( a ij ) m ∗ n
A = ( c 1 , c 2 ,..., cn ), ó
f m
f A M
1
Siendo:
a (^) ij : el término situado en la fila i y columna j, cj : vector-columna formado por los elementos de la columna j (j = 1, 2, ..., n) fi : vector-fila formado por los elementos de la fila i (i = 1, 2, ..., m)
Una matriz puede contener informaciones muy variadas:
- Resultado de una encuesta realizada a m individuos sobre n preguntas. Cada fila es la respuesta de un individuo.
- Una tecnología lineal que emplea m factores en n procesos productivos. Cada columna es un proceso productivo.
- Una aplicación lineal de Rn^ en Rm.
- Los coeficientes de las incógnitas de un modelo lineal de m ecuaciones y n incógnitas. Cada columna son los coeficientes de una incógnita.
- Matrices cuadradas
Son aquéllas en las que el número de filas coincide con el número
de columnas m = n. Los elementos { a 11 , a 22 ,.., ann } forman la
diagonal principal. La suma de los elementos de la diagonal principal se denomina TRAZA de la matriz.
Traz ( A ) = a 11 + a 22 +....+ ann
0.2. OPERACIONES ELEMENTALES CON MATRICES
Cuando los elementos de la matriz son números reales, o de cualquier cuerpo conmutativo, surge una capacidad operatoria con las matrices, o lo que es igual, surge una estructura algebraica en los conjuntos de matrices.
SUMA DE MATRICES
- Suma de dos matrices del mismo orden: es la matriz que resulta al sumar los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas.
C (^) m ∗ n = Am ∗ n + Bm ∗ n
Sumándose elemento a elemento:
cij = aij + b ij
El conjunto de matrices M (^) m ∗ n de un mismo orden tiene estructura de
grupo abeliano o conmutativo respecto a la suma matricial, cumpliéndose las siguientes propiedades:
- Asociativa: A + (B + C) = ( A + B ) + C
- Conmutativa: A + B = B + C
- Elemento neutro: A +
_ 0 = A
- Elemento opuesto: A + (-A) =
_ 0
Siendo A, B, y C matrices del mismo orden y
_ 0 la matriz nula (cuando todos los elementos son iguales a cero).
PRODUCTO DE NÚMERO REAL POR MATRIZ
El producto de un número real ( k ) por matriz A = (aij) es la matriz que resulta al multiplicar el escalar por cada uno de los elementos de la matriz.
k ⋅ A = B / A , B ∈ Mm ∗ n y k ∈ R
Siendo: bij = k ⋅ aij
Este producto satisface los requisitos exigidos al producto externo en los espacios vectoriales, como es fácil de comprobar. En consecuencia, el conjunto de matrices de un mismo orden tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales^1.
0.3. PRODUCTO DE MATRICES
El producto de una matriz A de orden m x n, por otra matriz B de orden n x p, es la matriz C , de orden m x p, cuyo elemento genérico cij es el resultado de sumar los productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B.
Am (^) ∗ n ⋅ Bn ∗ p = Cm ∗ p / cij = ai 1 ⋅ b 1 j + ai 2 ⋅ b 2 j +...+ ain ⋅ b nj
Propiedades:
- Asociativa: A ⋅ ( B ⋅ C )=( A ⋅ B )⋅ C
- Distributivas: A ⋅ ( B + C )= A ⋅ B + A ⋅ C
y también: (^ A^ +^ B^ )⋅^ C^ =^ A C ⋅^^ +^ B C ⋅
3. Elemento Simétrico: A −^1 ⋅ A = A A ⋅ −^1 = I (ojo, no siempre
existe)^2.
(^1) (ver tema de espacios vectoriales) (^2) donde I: Matriz Identidad
- La transpuesta de una suma de matrices es la suma de las transpuestas.
( A + B ) t^ = At + Bt
- La transpuesta de un producto de dos matrices es el producto de las transpuestas cambiadas de orden.
( A ⋅ B ) t^ = Bt ⋅ At
0.5 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
A toda matriz cuadrada An (^) ∗ n se le asocia un número llamado
determinante de A , que se simboliza como det ( A )o A.
Este número es una característica de la matriz que contiene información sobre la dependencia o independencia lineal de los vectores-columna (y de los vectores-fila) que forman la matriz A.
Lo más relevante es el hecho de que sea igual a cero o distinto de cero. En el primer caso, los vectores son linealmente dependientes (l.d.) y en el segundo, linealmente independientes (l.i.)^3
A matrizregular l i
A matriz gular ld
0 sin. ≠ → →
El cálculo del determinante se basa en la definición que se da a continuación y en las propiedades que siguen:
DEFINICIÓN: Determinante de una matriz cuadrada An (^) ∗ n (de orden
n ) es el número que resulta al sumar todos los productos de n elementos de la matriz que cumplan dos requisitos:
- Que en cada producto entre un solo elemento de cada fila y de cada columna.
- Que a cada producto se le anteponga signo + o signo – según que haya un número par o impar de inversiones del orden natural en los subíndices de columnas, previa ordenación de los elementos de cada producto por filas, o en los subíndices de filas, previa ordenación de los elementos de cada producto por columnas.
De la definición se desprende que el número de productos que hay que sumar para calcular el determinante, coincide con el número de
(^3) ver tema de Espacios Vectoriales.
- Determinante de una matriz de orden superior a tres
Existen distintos métodos que permiten calcular el determinante de un matriz de orden superior a tres, el más utilizado es el de los adjuntos.
La suma de los productos de los elementos de una fila (o una columna) pos sus respectivos adjuntos es igual al determinante de la matriz.
( ) ( ) ( ij )
m i j
i
det A aij 1 det M 1
=
= ∑ −
Donde: Aij = ( − 1 ) i + j det( Mij ) es el adjunto de aij.
Determinante de una matriz triangular
En una matriz triangular son nulos los elementos que quedan a uno de los lados de la diagonal principal. Debido a esto, los productos cuya suma es el determinante de la matriz son nulos, excepto el producto de los elementos de la diagonal principal.
nn
n nn
a a a a
a a a
a a
a
A
n
11 22 33
1
21 22
11
2 L
M M M M
L
L
Para el cálculo del determinante de una matriz cuadrada, no triangular, de orden mayor que tres, procede recurrir a las propiedades de los determinantes.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Permiten simplificar el cálculo del determinante en algunos casos, dar un procedimiento operativo para calcularlo en cualquier caso; además, resuelven el problema de la dependencia e independencia lineal de n vectores del espacio vectorial Rn.
1. PROPIEDADES QUE SIMPLIFICAN EL CÁLCULO:
PROPIEDAD 1
El determinante de una matriz coincide con el de su transpuesta
det ( A ) =det(^ At )
PROPIEDAD 2
Si una de las columnas (o de las filas) de la matriz es nula, el determinante vale 0.
det ,..., 0 ,.., 0
_ (^1) =
c cn
PROPIEDAD 3 Si se intercambian entre sí dos columnas (o filas) de la matriz, el determinante cambia de signo.
det ( c 1 ... ci ... cj ... cn ) =−det( c 1 ... cj ... ci ... cn )
PROPIEDAD 4
Si la matriz tiene dos columnas (o filas) iguales, su determinante es cero.
det ( c 1 ... ci ... cj ... cn ) = 0 si ci = cj
PROPIEDAD 5
Si cada columna (o fila) de una matriz se multiplica por un escalar, el determinante de la nueva matriz es igual al producto de los escalares por el determinante de la matriz inicial.
0.6. RANGO DE UNA MATRIZ
Si el determinante es un número real asociado sólo a las matrices cuadradas, el rango es un número natural asociado a cualquier matriz.
Si interpretamos las filas (o las columnas) de una matriz como vectores de Rn, el estudio de los modelos lineales de compatibilidad requiere procedimientos operativos que permitan averiguar la dependencia o independencia lineal de los vectores-columna formados por los coeficientes de las incógnitas. El concepto de determinante, al ir referido a matrices cuadradas, no aporta un procedimiento operativo general. Se hace necesario otro concepto más general, aplicable tanto a matrices cuadradas como no cuadradas. Tal concepto es el rango de la matriz.
DEFINICIÓN
Llamamos MENORES de orden h a los determinantes de las submatrices cuadradas formadas por los elementos comunes a h filas y h columnas cualesquiera de la matriz. Se dice que el RANGO DE UNA MATRIZ A es el número natural r , si algún menor de orden r es distinto de cero y todos los menores de orden mayor que r son nulos.
TEOREMA
El rango de una matriz coincide con el máximo número de vectores- columna y con el máximo número de vectores-fila linealmente independientes que hay en la matriz.
De este teorema se desprende que todo el problema relativo al estudio de la dependencia o independencia lineal entre vectores de los espacios de tipo Rn^ queda reducido al cálculo del rango de matrices.
CÁLCULO DEL RANGO
- Elegir las dos primeras columnas y buscar un menor de orden dos no nulo. Si lo hay, c1 y c2 son l.i. y el rango de la matriz es, al
menos dos. Si no lo hay, c2 es múltiplo de c1, se suprime c2, y se elige la siguiente columna en su lugar.
- Partiendo del menor no nulo de orden 2, se elige una nueva columna y se van calculando solamente los menores de orden 3 que sean orlados del de orden dos no nulo, hasta encontrar uno no nulo. Si lo hay, las tres columnas son l.i. y el rango es al menos tres. Si no lo hay, la tercera columna es cl de las dos primeras y puede suprimirse.
- Se reitera el procedimiento partiendo del menor de orden tres no nulo.
0.7. INVERSIÓN MATRICIAL
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A-1^ es matriz inversa de la matriz A, si el producto de ambas matrices es igual a la matriz unidad (I).
A ⋅ A = A ⋅ A = I n − 1 − 1
La matriz A será invertible si su determinante es distinto de cero. En caso contrario no será invertible. Así pues las matrices regulares admiten inversa y las matrices singulares no admiten inversa.
Es condición necesaria y suficiente para que exista la inversa de una matriz cuadrada que su determinante sea distinto de cero.
PROPIEDADES
- La inversa de una matriz, si existe, es única
- El determinante de la inversa de una matriz, coincide con el inverso del determinante de la matriz.
A
A
Ecuación matricial
Es toda igualdad entre expresiones matriciales en la que todas las matrices sean conocidas excepto una que es la matriz incógnita. Para despejar la matriz incógnita, al igual que en las ecuaciones algebraicas, se procede a transponer los términos de modo que la matriz incógnita quede en uno de los miembros, normalmente multiplicada por una o más matrices. Si la matriz que multiplica a la incógnita es regular (admite inversa), multiplicando en los dos miembros, al mismo lado, por su inversa, queda despejada la matriz incógnita.
Ejemplo: A ⋅ X = B
A −^1 ⋅ ( A ⋅ X )= A −^1 ⋅ B → I ⋅ X = A −^1 ⋅ B → X = A −^1 ⋅ B
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas se escribe de la forma siguiente:
m m mn n m
n n
n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
L
LLLLLLLLL
L
L
1 1 2 2
21 1 22 2 2 2
11 1 12 2 1 1
o escrito en forma matricial quedaría:
A X b
b
b
b
x
x
x
a a a
a a a
a a a
m m mn n m
n
n
→ ⋅ =
M M
L
L L L L
L
L
2
1 2
1
1 2
21 22 2
11 12 1
Discusión del sistema (Teorema de Rouchè-Frobenius)
Si rango(A) ≠ rango(A|b)⇒ el sistema es incompatible (sin solución) Si rango(A) = rango(A|b) = n ⇒ el sistema es compatible determinado (con solución única) Si rango(A) = rango(A|b) < n ⇒ el sistema es compatible indeterminado (con múltiples soluciones)
Resolución del sistema (Regla de Cramer)
Si A ≠ 0 ⇒ X = A −^1 ⋅ b
La regla de Cramer surge al despejar cada incógnita en la anterior ecuación matricial.
Si la matriz A no admite inversa, se suprimen las ecuaciones que sean redundantes y se forma un sistema con tantas ecuaciones como incógnitas (con matriz A regular), pasando al lado derecho de cada ecuación las variables restantes.
Sistemas homogéneos
Son aquellos que tienen nulos todos los términos independientes.
2
1
1 2
21 22 2
11 12 1
M M
L
L L L L
L
L
m m mn n
n
n
x
x
x
a a a
a a a
a a a
Al ser nulos los términos independientes, coinciden los rangos de las matrices A y A|b, por lo que son siempre compatibles. La solución única será la trivial ( x 1 (^) = x 2 =L = xn = 0 ).
