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MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. INTRODUCCION SESTPESISTE En el pasado siglo los matemáticos W.R. Hamilton (irlandés) y J.J. Silvester y A. Cayley (británicos) consiguieron ampliar el concepto de número (hasta entonces limitado a los números natura les, enteros, racionales, reales y complejos) al introducir uno nuevo: las matrices, Porsmos, inicialmente, considerar una matriz como un conjunto de números dispuestos en forma rectangular como en el ejemplo si- guientes 2 1 y5 3.04 Las matrices se pueden estudiar por su interés intrínseco, co- mo objetos en sí mismos, o bien como instrumentos de cálculo. Di- fícil será encontrar, como tales instrumentos matemáticos, otros tan simples y tan potentes en su capacidad de aplicación. La teo- ría matricial ha demostrado su utilidad en la matemática pura y en las demás ciencias que hacen algún uso de criterios matemáti- cos: Física, Química, Biología, Cristalografía, Economía, Socio- logía, Psicología, Ciencias de la Información, etc. Veamos, como muestra, algunos enunciados de ejercicios o pro=- blemas en los que el cálculo matricial permite comprobar su uti- lidad: a) Cinco jugadores de ajedrez, A, B, C, D, E, intervienen en un campeonato jugando cada uno una partida con todos los demás. El resultado del campeonato viene representado por la matriz A BC D E A 1 2 0. 0 1 B 05 A 1 a e Cc A 1 o. 0 D 2 0 2 1 1 E 1.012 51 1 cuyo significado es el siguiente: si el jugador X gana al Y, en la intersección de la fila (horizontal) de X con la colum- na (vertical) de Y figura un 2; si pierde, un 0; y si "hacen tablas", un l. Hallar la clasificación final de los jugadores en dicho campeo- nato. b) Surongamos que el 80 % de los hijos de madrileños se quedan viviendo en Madrid, el 10 % se instala en Barcelona, y el resto en Bilbao. Entre los hijos de barceloneses el 90 % per- manece en Barcelona, el 5 % se marcha a Bilbao y el resto a Madrid. Entre los hijos de bilbaínos: el 70 % quedan en Bil-= bao, el 20 % van a Madrid y el 10 % a Barcelona. ¿Cúal es la probabilidad de que el nieto de un madrileño sea madrileño? ¿Cúal será la proporción de habitantes de las tres ciudades al cabo de un gran período de tiempo? c) En el laberinto de la figura hay una rata. Cada hora la rata cambia de compartimento atravesan l 3 do una de las puertas del compar- E timento, elegida al azar. Después 1 2 L de mucho tiempo ¿cúal es la proba I bilidad de que la rata se encuen- tre en el compartimento 2? ¿Qué fracción del tiempo habrá pasado en el número 4?. d) La empresa P. Martínez fabrica cañas de pescar. Una caña com pleta (C) se compone de dos tramos de caña del pais (A),otro tramo de bambú (B), un hilo (H), un flotador (F) y dos anzue los (Z). ¿Qué instrucciones hay que dar a cada una de las secciones de la cadena de producción para fabricar el siguien te pedido: 100 cañas completas, 13 tramos A adicionales, 7 tramos B adicionales y 50 hilos (H), 20 flotadores (F) y 200 anzuelos (2) de reserva?. tas otras trensformuciones lineales puntuales de la geometría plana: simetría respecto de la bisectriz de los ejes, homote- cia y semejanza. g) En Sociología, el estudio sociométrico de un sociograma puede hacerse mediante el uso de "grafos" como el de la figura, Los puntos representan objetos sociales y los segmentos orienta- dos entre ellos una relación so- d cial. Por ejemplo: a, b, c, d, e son cinco individuos entre los cuales existe una interdependen- cia jerárquica señalada por el grafo. Así la flecha que va de £ a b indica que b depende de a, a b etc. Razónese porkué la estructura representada por dicho grafo puede estudiarse de modo equivalente mediante la matriz a b c d e a 0.1.0 o 0 b 0.01 o 1 e 0.000 1 10) a 0.0.0 (o) 1 e 1.001 0 0 h) Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede asociarse a tres matrices: la de coeficientes de las incógnites, la de los términos independientes y la de las incógnitas. Por ejemplo: Ax, +3x =-2 4 3 -—2 x sm | úl 2 l Matrices asociadas: 5 y 1 6 [1-* 5x¿- Xo= 7 5-1 7 xo E: 2x,¿-3x,+5x.=0 . 2-3 5| jo Sistema 123 pe o, 5 y |% 6 [x, «X2-X3] x¿+ xo x3=4 1. 1-1 4 x3 Escribir las matrices asociadas al sistema: 3x4 -2x3= 1 —xp+5x3=-9 2X, +Xo =4 En todos estos ejemplos aperecen conjuntos de números que se pueden ordenar de forma rectangular en un cuadro o tabla de do- ble entrada. DEFINICIONES Llamaremos "matriz real de dimensión nxp, a una ordenación de nxp números reales dispuestos en un cuadro rectangular de n filas (líneas horizontales) y p columas (líneas verti- cales)", Cada uno de esos números reales se llama "elemento" de la matriz, Se designa por la notación 25; el elemento de la matriz que ocupa la fila i y la columa ¿o Así 23 *s el elemento que se encuentra en la 22 fila y en la 32 columa. La matriz vendrá expresada así: 243 2, 2... 2 P 204 loo ... “2 A = roocorcrcrorsnro.o o bien, simplificadamente, A= [ 8,5] donde los subíndices i,j hacen referencia a un elemento genérico de la matriz el cual quedará determinado para cada par de valores que tomen dichos Índices. Las matrices se llaman "cuadradas" cuendo tienen igual núme- ro de filas que de columnas. Una matriz c .adrada de dimensión nxmn se llama, a veces, matriz cuadrada de orden Ne Se llama "diagonal principal" de la matriz cuadrada. Observaciones: Es frecuente encontrar otras notaciones, distintas de los "corchetes", para "encerrar" a los elementos de la matriz. Muy usuales son los paréntesis: De modo análogo a la definición dada de matriz real se esta- blece la de matriz de números complejos, cuyos elementos son nú meros complejos, en vez de números reales. Y la de matriz po-= linómica, cuyos elementos son polinomios. Mientras no edvirtamos lo contrario, siempre que nos refiramos aquí a matrices, se entenderá que lo son de números reales. No debemos tomar la definición de matriz que hemos dado como la única interpretación posible. El ejemplo 1.f) del giro en el plano es una de las transformaciones puntuales de la geometría, Los ejemplos 1.e), 1.£) y 1.h) son transformaciones lineales. Todos ellos pueden ser considerados como "aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriszles”, concepto que se estudiará en un próximo tema, donde surgirá la definición de "matriz de una apli- cación lineal". Todo lo que ahora veamos tendrá al11, y en otros temas, una utilidad inmediata. Cuando las matrices se emplean para representar, de una forma condensada y cómoda, a una transformación lineal, se dice que ac túan como "operadores lineales". Ejercicios: 2.1 ¿Cúales son los elementos 203 y 832 de la matriz del ejem=- plo 1.a) ? 2.2 Escribir la matriz de los coeficientes de las incógnitas correspondiente al sistema de ecuaciones 3x4 2x3 il Xy + 5x3=-9 2X, +Xo =4 ¿Quiénes son los elementos 8491 By Y az de esa matriz? ¿Qué dimensión tiene ésta? ¿Es correcto decir que es de orden 3? ¿Por que? ¿Cuántos elementos posee dicha matriz? 2.3 Una matriz cuadrada D= EN , de dimensión nx n, se di- ce que es una "matriz diagonal" si verifica ajo Y ij. Escribir dos matrices diagonales, de dimensión 3x 3. 2.4 Una matriz cuadrada A= la, ,] , de dimensión nxn, se dice que es una "matriz escalar" si verifica ika: si ifj 4,¿=2 Póngase un ejemplo de matriz escalar. ¿Son ciertas las siguien=- tes proposiciones?: "Toda matriz diagonal es escalar" "Toda matriz escalar es diagonal" Razonar las respuestas. 2.5 De todas las matrices que han aparecido en los ejemplos y ejercicios anteriores dígase cuáles son simétricas y cuá= les no. 2.6 ¿Qué diferencia hay entre aj y [855] 2 2.7 Escribir ejemplos de matrices 1x3, 3x1 y 11. -10- unitarios K; (j=1,...,n). Tiene m compradores. El comprador i adquiere b,. unidades del artículo j (i=1,...,mj3j=1,...n). El 3 coste total para el comprador i es Ci (EA A Se pide: a) Escribir las ecuaciones que expresen los costes Cy en fun=- ción de los términos dij y Kyo b) Escribir la matriz de los coeficientes del anterior siste- ma de ecuaciones, c) Desarrollar las dos cuestiones anteriores en el supuesto n=3, m4, 4. ADICION DE MATRICES = al conjunto de matrices de n filas y p Llamaremos Mos P columas. Todas las matrices de dicho conjunto son, pufs, equi= dimensionales. Definición: Dadas dos matrices A= (a; ] y B= [b¿] , pertenecientes am- bas al conjunto Map? llamamos suma de dichas matrices a la matriz C= [es E de dimensión nxp, cuyos elementos se obtiénen sumando los elementos homólogos de ambas matrices, esto es: Cie ¡ty go Vi yWj. Notaremos dicha adición así: (8, ;] + [»,3)= (ss 313] o bien A+B=C, » No se define la adición de matrices de distinta dimensión. Ejemplo: sd Ejercicios: 4.1 Dadas las matrices 35542 a b ce da A= |(-6 1 (0) 3 y B= a! b' e! dt y 4 -3 1 a] ar pr or gr 0.3 6 9 c= |? 4 1. hallar B de manera que A+B=C 2 5 8 -2 a. a ... 2 b b ..e b 4.2 Si A= 11 12 1p y B= ad 12 1p 2034 Yoo ».. 2op Doy Doo ... bay Bat na -.. "np Bat Bao ... Pap escribir la matriz suma A+B De acuerdo con la definición anterior resultan inmediatas las siguientes PROPIEDADES DE LA ADICION DE MATRICES EN EL CONJUNTO Map: PROPIEDAD ASOCIATIVA: Si A= [9,:]> B= [»a:] , C= [0,5] son tres matrices cuales- quiera de dimensión nxp (e Maxp)» se verificasz A+(B+C)=(A+B)+C Demostración: A+(B+0= [8,5] +( [ba ¿]+ [043] = (8,:] + [1 ¿104,] s (8: +; ¿+04 y)] =(por la propiedad asociativa de los números reales [6 13 dj ¿)+043]= [si3t15] + [es] [: 3]+ [es 5)>+[034]> (A+B)+C, '" " ELEMENTO NEUTRO DE _LA ADICION+ Es la "matriz cero" de Moxp m6] Jue 4.6 Si una matriz cuadrada B es simétrica ¿su opuesta también lo será necesariamente? Justificar la respuesta. 4.7 Si Des una "matriz diagonal" ¿su opuesta también será "matriz diagonal" necesariamente? Razonar la respuesta. MULTIPLICACION DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ SEE =S = SE==3 === === Definición: El producto de un número real k por una matriz A= [9,5] € Maxp *s otra matriz B=[b, ¿JeM,, po tal que: by yaXv0y yo Vi €l1,2,...,m] yVi el 1,2700 ,pj y lo escribiremos así: K.A=k, [a, ,] = [*-8;3] = [»;¿]= B Esto significa pués, que el producto de un número real por una matriz se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por dicho número. Ejemplos 2.0.3 -4 1. 0 15 -20 Do 12.0 3 = 5 -10 0 15 71 A 1 0 33 -5 3 o De la definición anterior resultan inmediatas las siguientes PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ: T.- K.(x'.A)J=(.k1).A ,V ke R y Vac Map TI.- K.(A+B)=K.A+KB , V k Pe R y V ABE Map TIT. (kekt) Ask Adra y Y kE RR y Yae Map IV.- 1.A=A »Vac Maxp Nota: El conjunto Mp por cumplir además de las propiedades de la adición estas otras cuatro propiedades, se dice que tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo Re Ejercicios: 5.1 Efectuar 1 4 1 E] +6. 3 2 -2 0 1 1 6 3 5.2 Demostrar las propiedades I, 11, 111 y IV y comprobarlas mediante ejemplos. 5.3 Sin es un número natural, demostrar que n pa A+A+..oti=n.A 5.4 Demostrar que (-k).A=k.(-A), siendo k un número real y A una matriz cualquiera. 5.5 Si A=[a, ¿JeMz 4 aypiti y B=[b, ¿JeXz, y Dd, ¿=i-2j, escribir las matrices 34-2B;3 -24+3B 5.6 Escribir la matriz A-xI, si A es la matriz del ejercicio an- terior y, 1-4, ,] tal que, d¿=0 si fi, y a,y71 si i=j. 6. MULTIPLICACION DE MATRICES Comenzaremos con un ejemplos Dadas dos matrices: A= 247 19 343 Boy Boy 223 | de dimensión 4 x 3 y B= [big Pro boy Do de dimensión 3 x 2 Pa Pza el producto AxB, en este orden, es la matriz C de dimensión 4x2 si- guiente: 15 7 254Dy ¡+*8j0Do jes 3b3¿+ .. EE k=p (lo que abreviadamente se designa así: 43 EN 24xdy ¿do Hd Ep Escribiremos AB=[a, 5] S [v,3] =[0;¿]=0, siendo 0, ¿= y TO Kad Obsérvese que esta definición exige que el máímero de columnas de A sea igual al número de filas de B. Si este requisito no se cumple el producto AxB no está definido. La definición anterior significa que el elemento 3 que ocupa la fila i y la columa ¿de la matriz producto AxB se obtiene su= mando los productos de los elementos de la fila i de A por los ele mentos «e la columa ¿de B, según indica el siguiente esquemas Columna j e dyj => a fila 4 =P OTTTTTTTTTTTT = x A a Vas, Qjp +.* By TA pj Matriz A Matriz B Columna ¡ y = fila i al Matriz C=AxB siendo 0i¿72,4Dy jiejodogt —— 85 Ejercicios: 6.1 Siendo A= | 3 1 0 A 2 4 5 0.6 3 TO 4 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 -17o hallar AxB y BxA Si A es una matriz 5x13 y B otra matriz 13»7, ¿se puede efectuar el producto A x B? ¿Y el BxA? En caso afirmativo, qué dimensión tendrá la matriz producto?. Siendo an[? 1) y Be [1 al hallar AxB y BxA ¿Es conmutativa la multiplicación de estas matrices? Ñ 2 Efectuar [-2,3,5] . la +. El resultado ¿es una matriz? En caso afirmativo ¿de qué dimensión? 1.3 14 Siendo 42; 2] y B= hallar AxB y BxA. o -1 2 Comparar los resultados. Realizar la siguiente multiplicación de matrices: 100 x= y 01.01. fa t 0.01 ros a b ej Siendo k un número real y A= |d e f eg h i efectuar las siguientes operaciones: a) k.A b) [kx o O 0 kk OJ.Ad 0.0 k Comparar ambos resultados y obtener alguna conclusión, Calcular alle al -19= 32,- "Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma": Ax (B+0)= AXB+AxC, y (A+B)xC= AxC+BxC Compruébese mediante algún ejemplo. 42,- Elementos neutros: Si A es una matriz de dimensión nxp, la matriz cuadrada de orden n Al 0... 0 0) 1l...0 I E o 0 0... 1 (cuyos elementos de la diagonal principal son todos 1 y ceros los restantes) es elemento neutro por la izquierda respecto de la multiplicación de matrices: I,*A=A Análogamente existe un elemento neutro por la derecha: la matriz guadrada de orden p 1 Or cerezo, 10 10) Tera: 0 17 DONADO lo) | que verifica Axl =A. a En particular, I, es el elemento neutro (matriz unidad) de la multiplicación de matrices en el conjunto Maxn de las matrices cuadradas de orden n, verificándose: IM A=AxT,=A, Y AE Man Te. CASO PARTICULAR DE LAS MATRICES CUADRADAS Ya hemos advertido que, al contrario de lo que ocurría en la adición de matrices, la multiplicación de matrices rectangula- res del conjunto Maxp no siempre está dezinida. El producto AxB de dos matrices A y B, en general sólo se puede =20= realizar en un orden determinado y siempre con la condición de que el número de columas de A sea igual al número de filas de B. Sin embargo, en el caso particular del conjunto Man de ma- trices cuadradas de orden n, la multiplicación de dos matrices cualesquiera de dicho conjunto siempre está definida (ya que todas tienen el mismo número de filas y de columas) y además el producto AxB también pertenece al conjunto Ma (es otra ma triz cuadrada del mismo orden que las matrices factores A y B). Si tenemos en cuenta que Maxn es un grupo abeliano respecto de la adición y que respecto de la multiplicación de matrices poseee las propiedades: Asociativa: Ax(BxC)=(AxB)xC Elemento neutros I»A=AxI=A (la matriz unidad) Distributiva: Ax(B+C)=AxB+AxC 0 podemos afirmar que Maxn Ps un anillo con elemento unidad, Insistimos en la no conmutatividad de los factores en un producto de matrices (aún en el caso de matrices cuadradas). Sin embargo, existen casos particulares en los que dos matri= ces son conmutables. Ejercicio 7.1 Comprobar que o 1 738 _f7 1 o “_ 2 10 2 3 l2 10 2 1w0|* 2 3 20 32 En el caso general AxBÉBxA, y la diferencia AxB=BxA se deno- mina "conmutador" de las matrices A y Bo Las definiciones de cuadrado, y en general, de potencias ente- ras de una matriz cuadrada A aparecen como casos particulares del producto de varias matrices. Asf: AxA=Al AXAX ... xA =A4% y siendo n un entero positivo n factores 
