Resolución de sistemas lineales y cálculo de matrices inversas, Apuntes de Matemáticas

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Matrices y Sistemas Lineales

Alvarez S., Caballero M.V. y S´^ ´ anchez MaM

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´INDICE Matem´aticas Cero

• 1. Definiciones ´Indice
  • 1.1. Matrices
  • 1.2. Sistemas lineales
• 1. Herramientas
  • 2.1. Operaciones elementales
  • 2.2. Obtenci´on de la matriz inversa
  • 2.3. Suma y producto de matrices
  • 2.4. Soluci´on de un sistema lineal por reducci´on
• 1. Ejercicios Resueltos
• 1. Ejercicios propuestos

1.1 Matrices Matem´aticas Cero

Matriz identidad: todos los elementos de su diagonal principal son iguales a 1 y el resto son 0. Se denota por I.

Ejemplo 1.3 La matriz identidad de orden 2, 3 y 4 son, respectiva- mente:

I =

. I =

 . I =

Matriz escalonada: matriz tal que, en caso de existir filas cuyos el- ementos son todos cero est´an en la parte inferior de la matriz, y en el resto de filas, el primer elemento no nulo de cada fila, llamado piv- ote, est´a a la derecha del pivote de la fila anterior (esto es, todos los elementos debajo de un pivote son 0).

Ejemplo 1.4 Las siguientes matrices son escalonadas:

A =

B =

 C =

Matriz inversa: Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama inversa de A a una matriz cuadrada A−^1 de orden n que verifica:

AA−^1 = A−^1 A = I,

siendo I la matriz identidad.

Ejemplo 1.

A−^1 =

es la matriz inversa de A =

porque

AA−^1 =

= A−^1 A =

= I.

Matriz traspuesta: Dada una matriz A = (aij )i=1, 2 ,...m;j=1, 2 ,...,n se llama matriz traspuesta de A y se denota por A ′ o At^ a la matriz de orden n × m siguiente At^ = (a ′ ij )i=1,^2 ,..,n;j=1,^2 ,..,m^ tal que^ a

′ ij =^ aji ∀i = 1, 2 , ..., n; j = 1, 2 , ..., m.

1.2 Sistemas lineales Matem´aticas Cero

Ejemplo 1.

A

′

 (^) es la matriz traspuesta de A =

1.2. Sistemas lineales

Sistema lineal: Un sistema lineal de m ecuaciones con n inc´ognitas se escribe:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 nxn = b 2 .............................................. am 1 x 1 + am 2 x 2 + ... + amnxn = bm

donde aij y xj , con i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2 , ..., n, representan los coefi- cientes y las inc´ognitas del sistema lineal, respectivamente. La matriz asociada a este sistema lineal es:     

a 11 a 12 · · · a 1 n b 1 a 21 a 22 · · · a 2 n b 2 .. .

am 1 am 2 · · · amn bm

Ejemplo 1.7 El sistema

x + 2y + 4z = 6 y + 2z = 3 x + y + 2z = 1

es un sistema lineal y su matriz asociada es

Sistema lineal escalonado: aquel cuya matriz asociada es escalona- da.

Soluci´on de un sistema lineal de m ecuaciones con n inc´ognitas: conjunto de n´umeros reales c 1 , c 2 , ..., cn que al sustituir cada inc´ognita xi por ci i = 1, 2 , ..., n, verifica cada una de las m ecuaciones.

2.2 Obtenci´on de la matriz inversa Matem´aticas Cero

F 3 → F 3 − 2 F 1 −−−−−−−−−−→

1 3 2 0 6 3 0 − 6 − 7

 F 3 → F 3 + F 2

−−−−−−−−−−→

1 3 2 0 6 3 0 0 − 4

2.2. Obtenci´on de la matriz inversa

Para obtener la matriz inversa de A, se considera la matriz (A |I ) y se realizan operaciones elementales solo en las filas hasta llegar a la ma-

triz (I |A−^1 ). Tambi´en se puede considerar la matriz

A

I

 (^) y mediante

operaciones elementales s´olo en las columnas llegar a

I

A−^1

Ejemplo 2.2 Calcular la matriz inversa de la matriz A =

La secuencia de operaciones elementales en las filas son: ( 2 3 1 1

F 1 → 4 F 1 −−−−−−→

4 4 4 3

4 0 0 1

F 2 → F 2 − F 1 −−−−−−−−−−→

4 4 0 − 1

4 0 − 4 1

F 1 → 1 4

F 1 −−−−−−−→

1 1 0 − 1

1 0 − 4 1

F 1 −→ F 1 + F 2 −−−−−−−−−−−→

1 0 0 − 1

− 3 1 − 4 1

F 2 → −F 2 −−−−−−−→

1 0 0 1

− 3 1 4 − 1

Por tanto, la matriz inversa de A es

A−^1 =

Ejemplo 2.3 Calcular la matriz inversa de la matriz A =

La secuencia de operaciones elementales en las columnas son:    

 C −−^1 −^ →−−^ −^2 −C→^1

4 1 − 2 2 2 0 0 1

 C −− 1 − →−−^ −C− 1 − +−^ −C→ 2

5 1 0 2 2 0 1 1

C 1 →

1 5 C 1 −−−−−−−→

1 1 0 2 2 / 5 0 1 / 5 1

 C −− 2 − →−−^ −C− 2 − −−^ −C→ 1

1 0 0 2 2 / 5 − 2 / 5 1 / 5 4 / 5

2.3 Suma y producto de matrices Matem´aticas Cero

C 2 → 1 2 C 2 −−−−−−−→

1 0 0 1 2 / 5 − 1 / 5 1 / 5 2 / 5

Por tanto, la matriz inversa de A es:

A−^1 =

2.3. Suma y producto de matrices

Suma de matrices: Dadas las matrices A = (aij ) y B = (bij ) de orden m × n, se puede realizar la suma A + B = (aij + bij ). La suma de matrices cumple las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento sim´etrico.

Ejemplo 2.4 Dadas

A =

B =

calcular A + B:

A + B =

Producto de matrices: Dadas dos matrices A, de orden m × p, y B, de orden p × n, es posible realizar el producto de A por B, AB, de orden m × n. El producto de A por B, AB, est´a definido si y s´olo si el n´umero de columnas de A (la matriz a la izquierda en el producto) coincide con el n´umero de filas de B (la matriz a la derecha en el producto), en este caso se dice que las matrices son conformes para el producto. El producto de matrices (cuando es posible) cumple la

propiedad asociativa y la propiedad distributiva respecto de la suma de matrices.

2.4 Soluci´on de un sistema lineal por reducci´on Matem´aticas Cero

b) Compatible indeterminado: si la ´ultima fila no nula de la matriz escalonada es ( 0 · · · 0 · · · ai · · · an b

con i ≤ n − 1 y ai 6 = 0 o bien ( 0 · · · 0 an b

con an 6 = 0 y m′^ < n, siendo m′^ el n´umero de filas no nulas de la matriz escalonada (es decir, el n´umero de pivotes de la ma- triz escalonada asociada al sistema es menor que el n´umero de inc´ognitas). c) Compatible determinado: si la ´ultima fila no nula de la matriz escalonada es (^) ( 0 · · · 0 an b

con an 6 = 0 y m′^ = n (es decir, el n´umero de pivotes de la matriz asociada es igual al n´umero de inc´ognitas).

Ejemplo 2.7 El sistema escalonado

x 1 + 52 x 4 = 4 x 2 = 0 x 3 + 12 x 4 = 1

es compatible indeterminado porque su matriz es

Dado un sistema lineal de m ecuaciones con n inc´ognitas, su corre- spondiente matriz, que es de orden m × (n + 1), se puede transformar mediante operaciones elementales en una matriz escalonada, que es la matriz asociada a un sistema lineal escalonado equivalente al de parti- da.

Clasificar un sistema lineal consiste en clasificar un sistema escalonado equivalente. Por tanto:

• Si el resultado de la realizaci´on de operaciones elementales en la matriz de un sistema lineal es una matriz escalonada correspon- diente a un sistema lineal escalonado compatible determinado, el sistema original es compatible determinado.

2.4 Soluci´on de un sistema lineal por reducci´on Matem´aticas Cero

• Si se ha obtenido un sistema escalonado compatible indetermina- do, entonces el sistema de partida es compatible indeterminado.
• Si el sistema escalonado es incompatible, el inicial es incompatible.

Resolver un sistema lineal consiste en resolver un sistema escalonado equivalente al dado.

Ejemplo 2.8 Para resolver el sistema lineal 2 x + 3y = − 1 2 x + y = 5 x + y = 1 se realizan operaciones elementales en su correspondiente matriz:  

 F 1 ↔ F 3

−−−−−→

1 1 1 2 1 5 2 3 − 1

F 2 → − 2 F 1 + F 2 −−−−−−−−−−−−→

1 1 1 0 − 1 3 2 3 − 1

 F 3 → − 2 F 1 + F 3

−−−−−−−−−−−−→

1 1 1 0 − 1 3 0 1 − 3

F 3 → F 2 + F 3 −−−−−−−−−−→

1 1 1 0 − 1 3 0 0 0

El sistema inicial es compatible determinado porque un sistema escalon- ado equivalente lo es. Su ´unica soluci´on es x = 4 y y = − 3.

Ejemplo 2.9 Para resolver el sistema lineal x + 2y + 4z = 6 y + 2z = 3 x + y + 2z = 1 se realizan operaciones elementales en su correspondiente matriz: 



 F 3 → F 3 − F 1

−−−−−−−−−−→

1 2 4 6 0 1 2 3 0 − 1 − 2 − 5

F 3 → F 3 + F 2 −−−−−−−−−−→

1 2 4 6 0 1 2 3 0 0 0 − 2

El sistema inicial es incompatible porque un sistema escalonado equiv- alente lo es.

Matem´aticas Cero

F 3 → F 3 + (1/2)F 2 −−−−−−−−−−−−−−→

3 2 − 4 0 − 16 − 22 0 0 0

Ejercicio 2 Calcular la matriz inversa de la matriz

A =

Soluci´on

Se considera la matriz

(A |I ) =

y se transforma con el objetivo de llegar a (I |A−^1 ), seg´un la secuencia de operaciones elementales en las filas que se indican:

( 2 3 1 1

F 2 → 2 F 2 −−−−−−→

2 3 2 2

1 0 0 2

F 2 → F 2 − F 1 −−−−−−−−−−→

2 3 0 − 1

1 0 − 1 2

F 1 → F 1 + 3F 2 −−−−−−−−−−→

2 0 0 − 1

− 2 6 − 1 2

F 2 −→ −F 2 −−−−−−−−→

2 0 0 1

− 2 6 1 − 2

F 1 → (1/2)F 1 −−−−−−−−−→

1 0 0 1

− 1 3 1 − 2

Por tanto, la matriz inversa de A es

A−^1 =

Ejercicio 3 Sean A =

y B =

¿Es B la inversa de

A?

Matem´aticas Cero

Soluci´on

AB =

BA =

Luego, efectivamente, B es la matriz inversa de A.

Ejercicio 4 Calcular la matriz inversa de la matriz A =

Soluci´on

Se considera la matriz

(A |I ) =

y se transforma para llegar a (I |A−^1 ), seg´un la secuencia de operaciones elementales en las filas que se indican:





 F 2 → F 2 − 2 F 1

−−−−−−−−−−→

1 3 1 0 − 7 0 3 2 − 3

1 0 0 − 2 1 0 0 0 1

 F 3 → F 3 − 3 F 1

−−−−−−−−−−→

 

 F 3 → F 3 − F 2

−−−−−−−−−−→

1 3 1 0 − 7 0 0 0 − 6

1 0 0 − 2 1 0 − 1 − 1 1

F 1 → F 1 + (3/7)F 2 −−−−−−−−−−−−−−→

1 0 1 0 − 7 0 0 0 − 6

1 / 7 3 / 7 0 − 2 1 0 − 1 − 1 1

 F 2 → (− 1 /7)F 2

−−−−−−−−−−−→





 F 3 → (− 1 /6)F 3

−−−−−−−−−−−→

1 0 1 0 1 0 0 0 1

1 / 7 3 / 7 0 2 / 7 − 1 / 7 0 1 / 6 1 / 6 − 1 / 6

F 1 → F 1 − F 3 −−−−−−−−−−→

1 0 0 0 1 0 0 0 1

− 1 / 42 11 / 42 1 / 6 2 / 7 − 1 / 7 0 1 / 6 1 / 6 − 1 / 6

Por tanto, la matriz inversa es

Matem´aticas Cero

Soluci´on

La ecuaci´on A + xA + yI = 0 se escribe ( 2 1 2 3

• x

• y

y realizando las operaciones, se llega a ( 2 + 2x + y 1 + x 2 + 2x 3 + 3x + y

Igualando las matrices se obtiene el sistema

2 + 2x + y = 0 1 + x = 0 2 + 2x = 0 3 + 3x + y = 0

que hay que resolver. La segunda y tercera ecuaci´on son equivalentes, pues la tercera es el doble de la segunda, y de ellas se obtiene que x = − 1. Susti- tuyendo este valor en las ecuaciones primera y tercera, se tiene que y = 0.

Ejercicio 7 Dada la matriz

A =

encontrar una matriz B tal que AB =

Soluci´on

Se escribe la matriz B =

a b c d

, entonces

AB =

a b c d

a − 2 c b − 2 d −a + c −b + d

e igualando esta matriz a

, se obtiene el sistema

a − 2 c = 1 b − 2 d = 0 −a + c = 1 −b + d = 1

Matem´aticas Cero

Se despeja c en la tercera ecuaci´on y se obtiene c = 1 + a. Sustituyendo c en la primera ecuaci´on resulta a − 2(1 + a) = 1, esto es, −a − 2 = 1, de donde a = − 3 y, en consecuencia, c = − 2. Por otro lado, despejando d en la cuarta ecuaci´on y sustituyendo en la segunda ecuaci´on, resulta sencillo obtener que b = − 2 y d = − 1. Luego la matriz buscada es

B =

Otra manera de hacerlo es calculando la matriz inversa de A. Despejando la matriz B se obtendr´a:

B = A−^1

Para calcular A−^1 se realizan transformaciones elementales en las filas de la matriz

(A |I ) =

con el objetivo de llegar a (I |A−^1 ), seg´un la secuencia de operaciones ele- mentales que se indican: ( 1 − 2 1 0 − 1 1 0 1

F 2 → F 1 + F 2 −−−−−−−−−−→

1 − 2 1 0 0 − 1 1 1

F 2 → − 2 F 2 −−−−−−−−→

1 − 2 1 0 0 2 − 2 − 2

F 1 → F 1 + F 2 −−−−−−−−−−→

1 0 − 1 − 2 0 2 − 2 − 2

F 2 → 1 2 F 2 −−−−−−−→

1 0 − 1 − 2 0 1 − 1 − 1

Por tanto, la matriz inversa de A es

A−^1 =

Ejercicio 8 Sean las matrices

A =

y B =

a b 2 0

Calcular los valores de a y b para que AB = BA.

Matem´aticas Cero

con lo que

X = (3I − A)−^1 Bt^ =

Ejercicio 10 Dadas las matrices:

A =

B =

C =

Calcular:

a) A + 12 Ct.

b) BA.

c) 2 CB + At.

Soluci´on

a)

A +

Ct^ =

t

=

b)

BA =

c)

2 CB + At^ = 2 ·

)t

Matem´aticas Cero

Ejercicio 11 Calcular AB y BA, siendo:

A =

B =

¿Se pueden encontrar matrices C y D para las que existan los productos ACB y BDA?

Soluci´on

Primero se calculan AB y BA:

AB =

BA =

El producto ACB se puede realizar si C es una matriz de orden 3 × 3 , pues el n´umero de filas de C debe coincidir con el n´umero de columnas de A, para que sea posible el producto AC ,que ser´a una matriz 3 × n, con n el n´umero de columnas de C. El n´umero de sus columnas de C tiene que ser igual al n´umero de filas de B para que sea posible el producto (AC)B.

An´alogamente, el producto BDA existe si D es de orden 2 × 2.

Ejercicio 12 Dadas las matrices:

A =

B =

C =

Comprobar: a) (A + B)C = AC + BC.

b) (AB)t^ = BtAt.

c) (A − B)^2 = A^2 + B^2 − AB − BA.

d) (AB + A) = A(B + I), siendo I la matriz identidad de orden 2.

e) (BA + A) = (B + I)A, siendo I la matriz identidad de orden 2.