Cálculo matriz inversa con Gauss-Jordan y propiedades de matrices inversas, Apuntes de Matemáticas

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MATRIZ INVERSA

PROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALES

ÁREA DE CIENCIAS

ÁLGEBRA LINEAL

CONTENIDO

➢ Matriz inversa

➢ Transformaciones elementales en una matriz

➢ Matrices Equivalentes

➢ Método de Gauss-Jordan para la inversa de una matriz

Observación

3. En el caso de una matriz cuadrada de orden 2𝑥2, tal que

, det 𝐴 = 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0.

su matriz inversa es 𝐴

− 1

1

𝐴

Ejemplo

Halle la inversa de las matriz A =

, en caso exista.

Solución.

A =

y det 𝐴 = 𝐴 =

La matriz inversa 𝐴

− 1

no existe pues 𝐴 = 0

Si det 𝐴 = 𝐴 = 0 , la matriz A no tiene inversa

Para determinar la inversa de una

matriz también se puede hacer uso

de la definición de matriz inversa.

− 1

− 1

Haremos uso de la definición de matriz inversa. 𝐴 = 𝐼

Partamos de 𝐴𝐴

− 1

Igualando los elementos de las matrices obtenemos las ecuaciones

La solución de este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro

incógnitas es x = − 2 , 𝑦 = 1 , 𝑧 = 3 / 2 , 𝑤 = − 1 / 2

− 1

En el ejemplo anterior :

Sea A =

, y su inversa 𝐴

− 1

PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA

a) 𝐴

− 1 − 1

Sean 𝐴 y 𝐵 matrices regulares de orden 𝑛 × 𝑛 y 𝑘 un escalar no nulo,

entonces se tiene

b) 𝐴𝐵

− 1

− 1

− 1

c) 𝑘𝐴

− 1

1

𝑘

− 1

d) 𝐴

𝑡 − 1

− 1 𝑡

f) Si 𝐷 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 𝑑

11

22

𝑛𝑛

donde 𝑑

𝑖𝑖

≠ 0 para cada 𝑖 = 1 ; 2 ; ⋯ ; 𝑛 ,

entonces su matriz inversa es 𝐷

− 1

1

𝑑 11

1

𝑑 22

1

𝑑 𝑛𝑛

e) 𝐴

𝑛 − 1

− 1 𝑛

Transformaciones elementales en una matriz

En una matriz 𝐴 = 𝑎

𝑖𝑗

𝑚×𝑛

se puede realizar las siguientes

transformaciones u operaciones elementales entre filas

Transformación elemental Notación

1) Intercambiar una fila 𝑖 por la fila 𝑗 𝑓

𝑖

× 𝑓

𝑗

2) Multiplicar una fila 𝑖 por un número real 𝑘 ≠ 0 𝑘𝑓

𝑖

3) Sumar a una fila 𝑖 el múltiplo de la fila 𝑗 𝑓

𝑖

𝑗

La matriz resultante es una matriz equivalente a la matriz 𝐴

MATRICES EQUIVALENTES

Dos matrices 𝐴 = 𝑎

𝑖𝑗

𝑚×𝑛

y 𝐵 = 𝑏

𝑖𝑗

𝑚×𝑛

son equivalentes por filas si, y solo

si, 𝐵 se obtiene a partir de 𝐴 efectuando un número finito de transformaciones

elementales entre filas, y se denota por 𝐴 ≅ 𝐵.

Es decir, 𝐴

𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

Ejemplo.

𝐴 =

2 − 1 3

1 5 4

3 1 2

𝒇 1

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜𝒇 2

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝑓𝑖𝑙𝑎 1 𝑝𝑜𝑟 2 𝐵^ =

1 5 4

2 − 1 3

3 1 2

𝐵 =

1 5 4

2 − 1 3

3 1 2

− 1 𝒇 2

𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 − 1 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 2

𝐶 =

1 5 4

− 2 1 − 3

3 1 2

𝐶 =

1 5 4

− 2 1 − 3

3 1 2

𝒇 2

+( 2 )𝒇 1

𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟𝑙𝑒 𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 2 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 1 𝐷 =

1 5 4

0 11 5

3 1 2

Si al aplicar transformaciones elementales entre filas a la matriz 𝐴 ⋮ 𝐼 obtenemos la

matriz 𝐶 ⋮ 𝐷 donde 𝐶 tiene por lo menos una fila de ceros, la matriz 𝐴 no tiene inversa.

𝑛×2𝑛

𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑛×2𝑛

Si 𝐶 tiene por lo menos

una fila de ceros

la matriz 𝐴 no tiene inversa

Observación

Ejemplo. Determine la inversa de la matriz (en caso exista)

0

𝑓 3

• 3 𝑓 1

𝑓 2

− 2 𝑓 1

1 0 −^2 1

0 (^0 1 3 ) 1

𝑓 1

− 2𝑓 2

(^0 0 3 0 )

(^1 ) (^0 5) − 2 0

Luego 𝐴

− 1

𝑛×2𝑛

𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑛×2𝑛

Solución

Otro procedimiento para determinar la existencia de la inversa de una matriz

Si det 𝐴 = 𝐴 = 0 , la matriz A no tiene inversa

Si det 𝐴 = 𝐴 = 0 entonces no existe 𝐴

− 1

Al calcular el determinante mediante la regla de Sarrus:

SONDEO

Indique si la matriz A =

, es una matriz regular

𝑎) No es una matriz regular porque^ 𝐴

− 1

no existe

𝑏) Sí es una matriz regular porque^ 𝐴

− 1

existe

Rpta.

𝐴 = 0

Ejercicio 1

Por definición, halle la inversa de las siguientes matrices, en caso existan.

A =

, B =

Inversa de la matriz A

La matriz inversa de A =

, en caso exista, es de la forma 𝐴

− 1

y verifica

− 1

− 1

Partamos de 𝐴𝐴

− 1

Igualando los elementos de las matrices obtenemos las ecuaciones

La solución de este sistema de cuatro ecuaciones con

cuatro incógnitas es x = − 1 , 𝑦 = 4 , 𝑧 = 1 , 𝑤 = − 3

− 1

Inversa de la matriz B

La matriz inversa de B =

, en caso exista, es de la forma 𝐵

− 1

y verifica 𝐵𝐵

− 1

− 1

Partamos de 𝐵𝐵

− 1

Igualando los elementos de las matrices obtenemos las ecuaciones

El sistema anterior no tiene solución y por lo tanto no existe 𝐵

− 1

También se pudo hallar el det(𝐵) = 0 , y por lo tanto no existe 𝐵

− 1