Matrices, Unidad 1, Apuntes de Cálculo para Ingenierios

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Universidad Nacional de

Ingeniería

UNI-NORTE

Estelí, Nicaragua

Matrices, Determinantes y Sistemas

de Ecuaciones

Rigoberto Morales

Unidad I: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones

Lineales.

Objetivos

• Interpretar el concepto de matriz como un arreglo

rectangular.

• Identificar los elementos, filas, columnas, diagonal principal

y los distintos tipos de matrices.

• Desarrollar las operaciones básicas con matrices.
• Calcular el determinante de una matriz cuadrada.
• Definir la inversa de una matriz.
• Determinar la inversa de una matriz por diferentes métodos.
• Determinar el rango de una matriz.
• Resolver sistemas de ecuaciones lineales por diferentes

métodos.

Contenidos

• Introducción.
• Definición de matriz. Notación.
• Clasificación de matrices (Algunos tipos de matrices).
• Operaciones con matrices.
• Determinantes. Definición. Cálculo de determinantes.
• Matrices inversas. Cálculo de la inversa por diferentes

métodos.

• Rango de una matriz.
• Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Introducción

Las matrices que se mencionaron por primera vez en Inglaterra a mediados del siglo pasado en los trabajos del Irlandés W. Hamilton, constituyen una de las aportaciones más valiosas y fructíferas a las

A = y B =

Son iguales solo sí: x =0 y = 1

Algunos tipos de matrices

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

Atendiendo a la forma Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n. Ejemplo: A= [2, -3, 5]

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n = y por tanto es de orden m x 1. Ejemplo:

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n. Ejemplo: Los elementos a (^) ij con i = j, o sea a (^) ii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos a (^) ij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama transpuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de A t^ , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

Ejemplo La matriz transpuesta de la matriz A

A = es At^ =

Propiedades de la trasposición de matrices

1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2. (At^ ) t^ = A.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A t^ , es decir, si a ij = a (^) ji F 02 0F 02 2 i, j.

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si a (^) ij = – a (^) ji F 02 2 i, j.

Ejemplos Consideremos las siguientes matrices :

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que A T = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Atendiendo a los elementos

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. Ejemplo [0, 0]

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Ejemplo

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Ejemplos

Matriz identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Ejemplos

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2 x 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 x 5, la matriz resultante será de orden 2 x 5.

(2 x 3) * (3 x 5) = (2 x 5)

Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.

3 x 5 por 2 x 3,

puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.

Supongamos que A = ( a i j ) y B = ( b i j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B ; es decir, A es una matriz m F 0B 4p y B una matriz p F 0B 4n. Entonces el producto AB es la matriz m F 0B 4n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.

Esto es,

Ejemplo :

Producto por un escalar

El producto de un escalar k por la matriz A , escrito k·A o simplemente kA , es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k :

Ejemplo :

Entonces:

División de matrices

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB -1:

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.

Ejemplo:

DETERMINANTES

A cada matriz n -cuadrada A = ( a i j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A , denotado por det (A), | A | o

Una tabla ordenada n F 0B 4 n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n , no es una matriz. La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.

DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS

El determinante de la matriz 3 x 3 A = ( a i j ) puede reescribirse como:

det ( A ) = a 11(a22a33 - a23a32) - a 12(a21a33 - a23a31) + a 13(a21a

• a22a31) =

que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente:

Nótese que cada matriz 2 x 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.

Ejemplo:

Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Las propiedades básicas del determinante son las siguientes:

1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A T son iguales, es decir, 2. Sea A una matriz cuadrada,

Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente = 0.

Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces es igual al producto de los elementos de la diagonal.

3. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas,

Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A , | B | = - | A|.

Si se ha sumado un múltiplo de una fila (columna) a otra, entonces | B | = | A|.

Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k , | B | = k | A|.

4. Sea A cualquier matriz n -cuadrada, son equivalentes los siguientes principios:

A es invertible, es decir, A tiene inversa A -1. AX = 0 tiene solamente la solución trivial. El determinante de A no es nulo: | A| F 0B 9 0.

5. El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: | AB | = | A | | B |. 6. Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: | A | = | B |.

Ejercicio: cálculo de determinantes F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 F 0 2 D 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 F 0 2 D 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D F 0 2 D Calcular los siguientes determinantes:

Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Método de Gauss

Sea A = ( a i j ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A , que denotaremos como A -1, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1. Construir la matriz n x 2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M , y debajo del primer término de la diagonal principal, a 11, que llamaremos pivote , ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo :

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria

Paso 1.

Paso 2.

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal.

Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.

Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la

matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.

Ejemplo :

Supongamos que queremos encontrar la inversa de

Primero construimos la matriz M = ( AI ),

La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M , la operación habría terminado ( A no es invertible).

A continuación, cogemos como pivote a 33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.

Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:

La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A :

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA -1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.

Comprobación : AA -1 = I

Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,

Por lo tanto, la matriz inversa de C es:

A continuación, se calcula el producto de las matrices A y B ,

Por último, calculamos ( AxB )x C -1.

Sacando factor común 1/3, el resultado puede escribirse como:

d )

Primero se construye la matriz M = ( AI ) y luego se va desarrollando por Gauss. Así pues:

Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene

Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,

.

Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M , se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3042, la segunda entre - y la tercera entre 39,

Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:

Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A -1, tiene que cumplir AA -1 = I.

Procedamos a la comprobación:

ADJUNTA DE UNA MATRIZ

Consideremos una matriz n -cuadrada A = ( a i j ) sobre un cuerpo K. El adjunto de A , denotado por adj A , es la traspuesta de la matriz de cofactores de A :

Ejemplo :

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A :

entonces : rango ( A ) F 02 0rango( A 1) = 1

3. Añadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla:

tal que posea un menor no nulo de la forma:

Por consiguiente,

rango ( A ) F 02 0rango( A 2) = 2.

Si esto no hubiese sido posible, entonces:

rango ( A ) = 1.

Supongamos que rango ( A ) rango (A2) y que i = 2 y j = 2.

4. Añadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla:

de forma que posea un menor de orden tres de la forma:

Entonces: rango ( A ) rango ( A 2) = 3.

En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor, entonces: rango ( A ) = rango ( A 2) = 2.

Suponiendo que rango ( A ) F 02 0rango ( A 3) y que i = 3 y j = 3, se procedería como en los casos anteriores, y así sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A.

Ejemplos:

a) Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango ( A ).

Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como máximo el rango ( A ) puede valer tres. Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A. Así pues

Ya que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero. Si no encontramos ninguna, el rango ( A ) = 1.

Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango ( A ) = 2.

Añadimos ahora una columna y una fila más para ver si el rango puede ser tres:

Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango ( A ) = 3.

No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, ésta tiene que ser cuadrada. Así, en el siguiente ejemplo:

b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 x 4.

Como hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que 2. Calculamos a continuación los determinantes de orden superior:

Probamos con un segundo determinante de orden tres:

Así pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango ( B ) = 3.

Un rango mayor que 3 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden 4. Recuérdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz, éstas tienen que ser cuadradas.