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FACULTAD DE INGENIERÍA
Escuela Profesional de Ingeniería Industrial
Laboratorio de Ejercicios N° 4
INDICADOR 07
1. Escribir explícitamente las siguientes matrices:
a) B = [b
ij
] ∈ K
3x
/ b
ij
i
− j
b) C = [c
ij
] ∈ K
4x
/ c
ij
i
j
- Sean las matrices : 𝐴 = [
]
y 𝐵 = [
]
Si 𝐴 = 𝐵, hallar el valor de 𝑥𝑦𝑧.
3. Resolver el siguiente sistema: 2 𝑋 + 3 𝑌 = 𝐴 , 5 𝑋 – 2 𝑌 = 𝐵 , 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐾
2 𝑥 2
, donde:
A = [
] y B = [
]
4. Calcular los productos:
a) [
] [
] [
] b) [
] [
] [
]
5. Si [
] [
x
y
z
] = [
] , calcular: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
6. Encuentre si es posible 𝐴. 𝐵 y 𝐵. 𝐴:
a) 𝐴 = [
] 𝐵 = [
]
b) 𝐴 =
[
]
𝐵 = [
]
c) 𝐴 = [
] 𝐵 = [
]
d) 𝐴 = [
]
𝐵 = [
]
15. Se dice que una matriz 𝐴 es ortogonal, si 𝐴
− 1
𝑡
. Probar que la matriz 𝐴 = [
Cos 𝑥 −𝑆𝑒𝑛 𝑥
] es
ortogonal.
16. Hallar el valor del polinomio 𝑓(𝐴) de la matriz A.
2
- 2 𝑥+5, A = [
]
17. Dadas las matrices: A = [
] y B = [
] y la ecuación
1
2
X - 3A
𝑡
− 2 B)
t
A
t
; hallar la suma de las componentes de la segunda fila y la suma de las componentes de la tercera
columna de la matriz X.
18. Sean las matrices A = [
] y B = [
].
Si (𝐴
𝑡
t
= 2 (X - A
t
) + 3B, hallar la suma de las componentes de la tercera fila de la matriz X.
19. Dada la matriz A = [
], hallar la matriz triangular inferior B, talque B.B
t
= A.
20. Calcular el determinante de las matrices:
a) |
b) |
21. Encuentre la matriz inversa, si existe:
a) [
]
b) [
]
c) [
]
22. Resuelva el sistema de ecuaciones usando el método de la inversa (𝐴. 𝑋 = 𝐵 → 𝑋 = 𝐴
− 1
a) {
b) {
c) {
23. Resolver las ecuaciones matriciales:
a) [
] X = [
] b) [
] X = [
]
24. Para las siguientes matrices determina los posibles valores de “𝑥” para que las mismas no tengan
inversa:
a)
x
x
b)
c)
4 x x
25. Por el método de la adjunta, hallar la inversa, si Ǝ para la matriz dada.
𝐴 = [
] 𝐴 = [
]
26. Use la regla de Cramer, siempre que sea aplicable, para resolver el sistema:
4. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de
queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno
de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de
roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de
C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de
quesos.
5. Tres personas A, B, C quieren comprar las siguientes cantidades de fruta:
A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.
B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.
C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.
En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F 1
y F 2
En F 1
las peras cuestan 1.5 soles/kg, las manzanas 1 sol/kg y las naranjas 2 soles/kg.
En F 2
las peras cuestan 1. 8 soles/kg, las manzanas 0.8 soles/kg y las naranjas 2 soles/kg.
a) Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar
cada persona (A, B, C).
b) Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada una de las dos fruterías.
c) Obtén una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede reflejado lo que se gastaría
cada persona haciendo su compra en cada una de las dos fruterías.
6. Tres familias A, B y C, van a ir de vacaciones a una ciudad en la que hay tres hoteles: H 1
, H 2
y H 3
. La
familia A necesita 2 habitaciones dobles y una sencilla, la familia B necesita 3 habitaciones dobles y
una sencilla y la familia C necesita una habitación doble y dos sencillas. En el hotel H 1 el precio de la
habitación doble es de S/84 por día y el de la habitación sencilla es de S/45 soles por día. En H 2 , la
habitación doble cuesta S/86 por día, mientras que la sencilla cuesta S/43 por día. En H 3
, la habitación
doble cuesta S/85 por día, y la sencilla S/44 por día.
a) Escribe en forma de matriz el número de habitaciones (dobles o sencillas) que necesita cada una
de las tres familias.
b) Expresa matricialmente el precio de cada tipo de habitación en cada uno de los tres hoteles.
c) Obtén, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la que se refleje el gasto diario que
tendría cada una de las tres familias en cada uno de los tres hoteles.
7. Una empresa tiene tres factorías F 1
, F
2
, F
3
, en las que se fabrican diariamente tres tipos diferentes de
productos, A , B y C , como se indica a continuación:
F
1
: 200 unidades de A , 40 de B y 30 de C.
F
2
: 20 unidades de A , 100 de B y 200 de C.
F
3
: 80 unidades de A , 50 de B y 40 de C.
Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 soles; por cada unidad de B , se
obtienen 20 soles de beneficio; y por cada una de C , 30 soles.
Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el beneficio diario
obtenido con cada una de las tres factorías.
8. En una pastelería elaboran tres tipos de postres: A, B y C , utilizando leche, huevos y azúcar (entre
otros ingredientes) en las cantidades que se indican:
A : 3/4 de litro de leche, 100 g de azúcar y 4 huevos.
B : 3/4 de litro de leche, 112 g de azúcar y 7 huevos.
C : 1 litro de leche y 200 g de azúcar.
El precio al que se compran cada uno de los tres ingredientes es de 0,6 soles el litro de leche, 1 sol
el kg de azúcar, y 1. 2 soles la docena de huevos.
Obtén matricialmente el gasto que supone cada uno de estos tres postres (teniendo en cuenta
solamente los tres ingredientes indicados).
9. Se tiene un rectángulo cuya altura mide 8cm más que su base y cuyo perímetro es 50cm. Calcular
las dimensiones del rectángulo.
10. El pago de teléfono que facturó el mes de enero fue de S/39.00 por el consumo de 80 minutos mientras
que el mes de febrero fue de S/31.50 por 55 minutos. El importe de cada factura es la suma de una
tasa fija de mantenimiento más un precio fijo por minuto de consumo. Calcula la tasa y el precio por
cada minuto.
11. Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo es 23; y si 3 veces
el menor se divide por el mayor, el cociente es 1 y el residuo es 9. Calcule la suma del mayor con el
menos
12. En una tienda de computadoras se vende un dispositivo de tres marcas diferentes M1, M2 y M3. Los
precios son S/12.00, S/10.00 y S/9.00 la unidad respectivamente. Se sabe que se vendieron 44
dispositivos y que por esa venta se obtuvo en total S/436 y el número de dispositivos M2 vendidos es
el doble del número de M1. Determine la cantidad de dispositivos vendidos por cada marca.
13. Una familia consta de una madre, un padre y una hija. La suma de las edades actuales de los 3 es
de 80 años. Dentro de 22 años, la edad del hijo será la mitad que la de la madre. Si el padre es un
año mayor que la madre, ¿qué edad tiene cada uno actualmente.
14. Un transportista lleva en su furgoneta sacos de arroz de dos pesos distintos. Los sacos grandes tienen
un peso de 30 kg, mientras que los pequeños pesan un 20% menos. El conductor recuerda que el
número de sacos pequeños es el triple del de sacos grandes, y que el peso total de la mercancía es
de 714 kilogramos. Calcula el número de sacos de cada tipo que se transportan.
15. En una heladería, por un helado, dos zumos y 4 batidos nos cobraron 35 euros. Otro día, por 4
helados, 4 zumos y un batido nos cobraron 34 euros. Un tercer día por 2 helados, 3 zumos y 4 batidos
42 euros. ¿cuál es el precio de cada uno?
16. En un circo hay 11 animales carnívoros entre tigres, leones y panteras. Se sabe que cada león como
tres kilos de carne al día, que cada tigre come dos kilos al día y cada pantera también dos kilos. Si en
total se necesitan 25 kilos de carne al día y se sabe que el número de panteras es el triple que el
número de tigres. ¿Cuántos leones, panteras y tigres hay?
17. Un comerciante vende quesos de tres tipos: curado, semicurado y tierno. Los precios de cada uno en
soles por kg es 12, 10 y 9 respectivamente. Se sabe que el total de kg vendidos es 44, que el importe
total de la venta es S/436 y la cantidad de queso vendido semicurado es el doble del curado.
Determine cuantos kg de cada clase vendió el comerciante.
18. En la empresa plástica “Elsa” se fabrican dos tipos de productos: botellas, garrafas y bidones. Se
utiliza como materia prima 10 kg de granza de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada
botella se necesitan 50 gramos de granza, para cada garrafa 100 gramos y para cada bidón 1 kg. El
gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se
sabe que por motivos de capacidad de trabajo en las máquinas se producen en total 52 productos
cada hora. ¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora?
19. Una compañía produce tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones reclinables. Cada
uno requiere de madera, plástico y aluminio, como se indica en la siguiente tabla
27. Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación se sillas
se empleó 1 unidad de madera, 1 de plástico y 2 de aluminio. Para la fabricación se Mecedoras se
empleó 1 unidad de madera, 1 de plástico y 3 de aluminio. Para la fabricación se sofás se empleó 1
unidad de madera, 2 de plástico y 5 unidades de aluminio. La compañía tenía en existencia 400
unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1 500 unidades de aluminio. Si la compañía utilizó
todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás se fabricó?
28. A una función de teatro asisten hombres, mujeres y niños. Cada niño paga 10 soles; cada mujer 50
soles y cada hombre 60 soles. El día de hoy la recaudación ha sido de 16 300 soles, con 340
asistentes en total. Se sabe además que las mujeres son el doble de la diferencia entre los hombres
y los niños (asistieron más hombre que niños). ¿Cuántos hombres, mujeres y niños asistieron a dicha
función de teatro?. Modele un sistema de ecuaciones y resuelva por el método de eliminación
gaussiana o matriz inversa.
