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I. MATRICES
Una matriz de m filas por n columnas, denotado por Am × n , es un arreglo rectangular de n´umeros aij , las cuales son dispuestas en m filas y n columnas.
Am × n =
a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n .. .
....^
am 1 am 2 · · · amn
donde 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Es una matriz de m filas por n columnas.
EJEMPLO 1. A =
,
B =
,
C =
[ − 2 1 3 5
] .
II. ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz est´a dado por el producto m × n , donde m indica el n´umero de filas y n el n´umero de columnas. En el ejemplo anterior, se tiene: A es una matriz de orden 3 × 1 B es una matriz de orden 3 × 2 C es una matriz de orden 1 × 4
III. MATRICES ESPECIALES
a) Matriz Cuadrada Si en una matriz A el n´umero de filas es igual al n´umero de columnas ( m = n ), diremos que A es una matriz cuadrada de orden n.
EJEMPLO 2. A =
[ − 2 1 5 3
] , es una matriz cuadrada de orden 2.
B =
, es una matriz cuadrada de orden 3.
b) Diagonal Principal De una Matriz la diagonal principal de la matriz cuadrada An = [ aij ] es el conjunto: D ( a 11 , a 22 , a 33 ,... ann )
EJEMPLO 3. La diagonal principal de la matriz A:
A =
es el conjunto D (− 1 , 0 , 5)
c) Matriz Diagonal Una matriz cuadrada An es Diagonal, si por lo menos alg´un elemento de la diagonal principal es diferente de cero y todos los elementos que est´an por debajo y por encima de la diagonal principal son ceros.
EJEMPLO 4. A =
B =
d) Matriz Identidad Una matriz diagonal; en el cual todos los elementos de la diagonal principal son 1 , se llama Matriz Identidad
EJEMPLO 5. I 2 =
[ 1 0 0 1
]
I 3 =
I 4 =
IV. MATRIZ TRIANGULAR
Hay dos clases
a) Matriz Triangular Superior Es aquella matriz cuadrada, en el cual todos los elementos que est´an debajo de la diagonal principal son CEROS y por lo menos alg´un elementos de la diagonal principal o elementos que est´an encima de la diagonal principal es diferente de Cero.
EJEMPLO 6. A 3 =
VII. MATRIZ SIM ETRICA´
DEFINICI ON´ 3. Una matriz cuadrada A es sim´etrica, si y s´olo si, es igual a su transpuesta AT
EJEMPLO 9. Las siguientes matrices son sim´etricas:
A =
[ − 4 3 3 2
] , B =
VIII. MATRIZ ANTISIM ETRICA´
DEFINICI ON´ 4. Una matriz cuadrada A es Antisim´etrica, si y s´olo si, es igual a menos su transpuesta − AT
EJEMPLO 10. Las siguientes matrices son Antesim´etricas:
A =
[ 0 − 3 3 0
] , B =
IX. MATRIZ ORTOGONAL: Una matriz cuadrada A es ortogonal si y solo si A −^1 = AT^ ; esto es A.AT^ = 1
X. MATRIZ INVOLUTIVA: Una matriz cuadrada A es involutiva si A^2 = I.
XI. MATRIZ IDEMPOTENTE: Una matriz cuadrada A es idempotente si A^2 = A.
XII. ADICI ON DE´ MATRICES Sean:
A = ( aij ) =
a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n .. .
....^
am 1 am 2 · · · amn
y B = ( bij ) =
b 11 b 12 · · · b 1 n b 21 b 22 · · · b 2 n .. .
....^
bm 1 bm 2 · · · bmn
La suma de A y B es la matriz A + B de m × n definida por:
A + B = ( aij + bij ) =
a 11 + b 11 a 12 + b 12 · · · a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 · · · a 2 n + b 2 n .. .
....^
am 1 + bm 1 am 2 + bm 2 · · · amn + bmn
XIII. PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
Sean A , B , C matrices m × n. Se cumplen:
M 1 : A + B = B + A M 2 : ( A + B ) + C = A + ( B + C )
M 3 : Existe la matriz nula
θ =
....^
de orden^ m^ ×^ n , talque :^ A^ +^ θ^ =^ θ^ +^ A^ =^ A ,^ ∀ A
M 4 : ∀ A, existe una matriz B talque A + B = B + A = θ ; donde: B = − A es el opuesto de A.
XIV. MULTIPLICACI ON DE´ MATRICES
DEFINICI ON´ 5. Sea A = ( aij ) una matriz de m × n y sea B = ( bij ) una matriz de n × p. Entonces el producto de A y B es la matriz C = ( cij ) de m × p , talque: Cij =
∑ n k =1 aikbkj^ ,^1 ≤^ i^ ≤^ m ,^1 ≤^ j^ ≤^ p
Observaci´on Dos matrices se pueden multiplicar s´olo si el n´umero de columnas de la primera matriz es igual al n´umero de renglones de la segunda.
EJEMPLO 11. Sean las Matrices: A =
[ 2 0 − 3 1 − 4 2
] y
B =
Hallar si existe, el producto AB: AB =
[ − 18 − 1 9 1 − 12 − 14
]
DETERMINANTES
- DEFINICI ON´ DETERMINATE Dada una matriz cuadrada A = ( aij ) de orden n , llamaremos determinante de la matriz A , al n´umero real | A |(o det ( A )), definido del siguiente modo.
- Si la matriz cuadrada es 1 × 1 , A = ( a 11 ); su determinante es | A | = a 11 EJEMPLO 12. Si A =
[ −^35
] , entonces | A | = −^35
- Si la matriz cuadrada es 2 × 2 , A =
[ a b c d
] ; su determinante es | A | = ad − cb
EJEMPLO 13. Si A =
[ − 2 − 3 4 5
] , entonces | A | =
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣ =^ −^10 −^ (−12) = 2
- Si A =
a b c d e f g h i
, su determinante, por el m´etodo de Sarrus, es:
| A | = ( aei + dhc + gbf ) − ( gec + ahf + dbi )
c) Si A = ( aij ) es triangular, entonces | A | = a 11 a 22_... ann_.
P 8 : Supongamos que la matriz B se ha obtenido de la matriz A , sumando sucesivamente el m´ultiplo de una fila a las otras filas, entonces | B | = | A |.
EJEMPLO 16. Sean las matrices
A =
[ 2 11 1 7
] y B =
[ 3 9 1 4
]
si 2 AC = B^4 , Hallar det ( CT^ )
Rta: 27 / 4
EJERCICIOS
1 .- Escribir expl´ıcitamente las siguientes matrices:
a) A = [ aij ] 3 × 3 , aij = (− i ) j −^1 b) B = [ bij ] 3 × 3
bij =
{ 2 i − j, si i − j es impar (− j ) i, si i − j es par c) C = [ cij ] 3 × 3 cij =
{ max { i, j } , si i + j ≥ 4 (−1) i + j^ , si i + j < 4
2 .- Hallar la matriz X en:
3( X + 2 A ) − 2(2 X + B ) = 4( B − 3 A + 2 X ), donde A =
[ 2 3 4 1
] , B = 2 I − A
3 .- Considerar las siguientes matrices:
A =
[ 2 1 0 0 1 1
] , B = [ bij ] 3 × 3
bij =
{ i + j, si i ≥ j i − j, si i < j
C =
[ 1 2 3 4
] , D = [ dij ] 3 × 3 dij = max { i, j } Calcular (si es posible): a) AAT^ + B b) 12 (3 BD + 2 AT^ A ) c) 2 A + 3 C^2 d) AT^ D y CA e) ( AB ) AT^ y DAT^ A f) A ( BT^ + D ) y B ( AT^ + B )
4 .- Calcular A^2 − 3 A − I donde
A =
[ 2 3 1 1
]
I =
[ 1 0 0 1
]
5 .- Sean las matrices A =
[ − 3 5 − 2 1
] ;
B =
[ − 2 7 4 − 1
] y C =
[ 11 1 0 5
] , resolver 2( X + B ) = 3[ A − 2( B − X )] + C
6 .- Dada la matriz A =
1 0 m
hallar el valor de m para que A (^2) − 2 A + I = 0
A =
B =
15 .- Hallar el determinante de las matrices:
A =
B =
16 .- Calcular el determinante de:
A =
