1) a) Hallar el ángulo que forman los hiperplanos: 2𝑥 + 3𝑦− 4𝑧 + 𝑤=1 ;
−𝑥+3𝑦+2𝑧−3𝑤=0
b) Los vectores 𝑎 y 𝑏
forman un ángulo de 𝜑=2
3𝜋; sabiendo que ‖𝑎‖=3 y ‖𝑏
‖=4
calcular: b.1) 𝑎°𝑏
b.2) (3𝑎−2𝑏
)°(𝑎+2𝑏
)
SOLUCION
a) 𝜑= 98º45’32,16”
b.1) 𝑎°𝑏
= - 6 b.2) (3𝑎−2𝑏
)°(𝑎+2𝑏
) = - 61
2) Si: 𝐴=(𝑎𝑖𝑗)3×3∋𝑎𝑖𝑗={ 𝑖 + 𝑗=4 → 𝑎𝑖𝑗=𝑥−5
𝑖 + 𝑗≠4 → 𝑎𝑖𝑗=− 𝑏 Hallar x si A es singular
SOLUCION:
x1 = 5 + 2b ; x2 = 5 - b ; x3 = 5 - b
3) Sean A y B dos matrices invertibles de orden 2x2 y conmutables de tal modo que A es
triangular inferior de elementos positivos y B es una matriz simétrica, que satisfacen la
ecuación: ATBA2 = 1
2[15 2
2 4] ABT Hallar: a) Traza de ATA b) Determinar A c) Hallar |4𝐴−1|
SOLUCION:
a) Traza(ATA) = 19
2 b) A = [√7 0
√2
2√2] c) |4𝐴−1|=8√14
7
4) Discutir el sistema: {2𝑥+3𝑦−𝑧=5
−3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧= −2
𝑥 − 5𝑦 = −3
3𝑥+11𝑦+𝑘𝑧=13
SOLUCION:
i) k = - 2 Sistema indeterminado (infinitas soluciones)
ii) k ≠−2 Sistema determinado (solución única)
iii) ∄k ∈ℝ Sistema inconsistente (No tiene solución)
5) Clasificar y resolver: {3𝑥+4𝑦−5𝑧+2𝑤=4
2𝑥+5𝑦−8𝑧+6𝑤=5
𝑥+2𝑦−3𝑧+4𝑤=2
SOLUCION:
x = - r ; y = 1 + 2r ; z = r ; w = 0 ∀ r ∈ ℝ
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
SOLUCIONES PRIMER EXAMEN PARCIAL: ALGEBRA II (MAT 1103 “K”) 2/2016
