¡Descarga Matrices: Introducción al Álgebra Lineal y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
Matrices
- Matriz: Conjunto de elementosordenados en filas y columnas
- Los elementos pueden ser números reales o complejos ⎥ • En este curso solo se consideranmatrices con elementos reales
n n nn
n
n
a a a
a a a
a a a
L
M M O M
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1
- Las matrices son denotadas por letras mayúsculas del alfabeto (A, B, C, etc.)
- A cada matriz esta asociado un número de filas y columnas, por ejemplo: A de m x n, es decir, la matriz A de m renglones y n columnas
- Notación: A = [ aij ]
- Dos matrices son iguales si tienen el mismo número de filas y columnas y los elementoscorrespondientes son iguales.
Matrices especiales
Triangular Superior Triangular Inferior Diagonal
am am a mn
a a
a
L
M M M M
L
K
1 2
21 22
11 0
a mn
a
a
L
M M M M
L
K
22
11
n n nn
n
n
a a a
a a a
a a a
L
M M O M
L
K
1 2
12 22 2
11 12 1
⎥⎥
L
M M O M
L
K
Simétrica Cero
mn
n
n
a
a a
a a a
L
M M M M
L
K
11 12 1
Identidad
L
M M O M
L
K
Matriz Transpuesta
- La matriz transpuesta se obtiene cuando se intercambian las filas por las columnas.
- La transpuesta de la matriz m x n , nos da una matriz de orden A de orden n x m ⎥ • Una matriz es simétrica si A = AT
m m mn
n
n
a a a
a a a
a a a A L
M M M M
L
K
1 2
21 22 2
11 12 1
n n mn
m
m T a a a
a a a
a a a A L
M M M M
L
K
1 2
12 22 2
11 21 1
Ejemplos
Triangular superior
Triangular inferior
Diagonal Identidad Simétrica
Matriz Transpuesta
A
T^157
A
Operaciones elementales
Suma de matrices Para poder realizar lo suma de dos Matrices A y B es necesario que estas sean del MISMO ORDEN y cada elemento de lo primera matriz se sumará con el correspondiente elementode la segunda matriz aclararemos lo anterior con la siguiente definición:
A + B =[ aij ]+[ bij ]
Ejemplo: dadas las Matrices A y B efectuar su suma.
A = (^) ⎢⎣⎡ 23 64 89 14 ⎥⎦⎤ B = (^) ⎢⎣⎡^14528330 ⎥⎦⎤
m m mn
n
n
a a a
a a a
a a a A L
M M O M
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1
⎥⎥
n n np
p
p
b b b
b b b
b b b B L
M M O M
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1
⎥⎥
m m mp
p
p
c c c
c c c
c c c C L
M M O M
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1
n Cij (^) k 1 aikbkj
Ejemplo: Calcular el producto de las matrices A * B de ser posible.
A = (^) ⎢⎣⎡ 1 3 − 02 45 ⎥⎦⎤ ⎥⎥
B A ∗ B =⎢⎣⎡− 17 −− 1017 −− 1121 2013 ⎥⎦⎤
Propiedades:
A ∗ ( B + C ) = A ∗ B + A ∗ C distributiva ( A ∗ B ) ∗ C = A ∗( B ∗ C ) asociativa A ∗ B ≠ B ∗ A La multiplicación de matrices no es conmutativa
Vectores
Caso especial de matrices donde: m> 1 y n = 1, es decir, esta formada por una sola columna, ó m = 1 y n> 1, es decir, por una sola fila (renglón).
a m
a
a A (^) M^2
1 B =^ [ b^1 b 2 L bn ]
La transpuesta de un vector fila es un vector columna y viceversa
a m
a
a A (^) M^2
1 AT = [ a 1 a 2 L am ]
Suma y resta de vectores
AT = [ a 1 a 2 L an ] BT =[ b 1 b 2 L bn ] AT + BT = [ a 1 + b 1 a 2 + b 2 L an + bn ], AT − BT =[ a 1 − b 1 a 2 − b 2 L an − bn ]
A B B A-B A+B A
El sentido del Vector A-B siempre es hacia el Vector que es Positivo. Ejemplo:
Dados los Vectores A =[ 2 − 3 4 ]y B =[ 3 5 − 5 ]determinar A + B y A − B
A + B = [ 5 2 − 1 ] A − B =[ − 1 − 8 9 ] B − A =[ 1 8 − 9 ]
[ ] [ 1 4 2 4 4 3 4 14243
33
13
× ×
×
AT^ B = − − ]
Note que el producto no puede ser efectuado, pero el producto si puede ser efectuado
3 { B × 3^ *^ { A 1 × 3^ T 3 { B × 3 *^3 {^ A × 1
Ejemplo 3 Multiplicar las siguientes matrices:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ⎥⎥
× × ×
Producto punto de vectores (producto escalar) Dados dos vectores con el mismo número de elementos (por ejemplo n ), el producto punto de los vectores A y B denotado por A • B es un número real dado por:
AT = [ a 1 a 2 L an ] B T^ =[ b 1 b 2 L bn ] A • B = AT^ • B = a 1 b 1 + a 2 b 2 +L+ anb n
Propiedades
( ) ( ) ( ) 0 siysolosi [ ] 0
0 positivadefinida
distributiva
conmutativa
A A A
A A
A B A B
A B C A C B C
A B B A
α α
Ejemplo:
Si AT = [ 1 2 4 ], BT =[− 3 1 7 ], CT =[ 2 5 − 1 ]Demuestre que A • ( B + C ) = A • B + A • C
B C A • ( B + C ) =− 1 + 12 + 24 = 35
A • B =− 3 + 2 + 28 = 27 A • C = 2 + 10 − 4 = 8 A • B + A • C = 27 + 8 = 35
Longitud de un vector
Sea X un vector de dos elementos, su longitud denotada por X , es el número no negativo:
x 1
x (^2) X X =[ x 1 x 2 ] X = x 12 + x^22
La longitud de X puede re-escribirse mediante el producto punto como:
X = X • X
La Norma de un vector X , es la longitud del vector X y está dada por
X = X • X = x 12 + x^22 +L+ xn^2
Ejemplo:
Si AT =[ 5 3 4 ], encuentre su norma.
A = 5 2 + 32 + 42 = 25 + 9 + 16 = 50 = 7. 0711
Ángulo entre vectores Siángulo entre ellos se define como: X y Y son dos vectores con n componentes y distintos del vector cero, el coseno del
cos ( )θ = XX^ • YY
Conjuntos ortogonales de vectores Dos vectores de igual número de elementos son ortogonales o perpendiculares si el coseno del ángulo entre ellos es cero, es decir, dos vectores son ortogonales si y solo si el producto punto entre ellos es cero: X • Y = 0 Ejemplo:
Determine si los vectores X 1 T =[ 4 4 ]y X (^) 2 T =[− 2 2 ]son ortogonales.
X (^) 1 • X 2 =⎢⎣⎡ 44 ⎥⎦⎤•⎢⎣⎡− 22 ⎥⎦⎤= ( )( 4 − 2 ) +( )( ) 4 2 = 0 por lo tanto son perpendiculares
Ejemplo: ¿Es el siguiente conjunto ortogonal?
X 1 T^ = [ 1 0 0 0 ], X 2 T =[ 0 1 0 0 ], X 3 T =[ 0 0 1 0 ] X 1 • X 2 = 0 X 1 • X 3 = 0 X 2 • X 3 = 0
Sistemas de ecuaciones lineales
En general, un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas está dado por:
m m mn n m
n n
n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
L
M M M M M
L
L
1 1 2 2
21 1 22 2 2 2
11 1 12 2 1 1
Todos los coeficientes a y b son números reales. El problema es encontrar todos los conjuntos de n números, denotados por ( que satisfagan cada una de las m ecuaciones
( x 1 (^) , x 2 ,L, xn )
Para el sistema general hay tres posibilidades: hay una solución, hay un número infinito de soluciones, o no hay soluciones. Método de Gauss-Jordan Método para encontrar todas las soluciones (si existen) de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Resuelva el sistema de ecuaciones 2 x 1 + 8 x 2 + 6 x 3 = 20 4 x 1 + 2 x 2 − 2 x 3 =− 2 3 x 1 − x 2 + x 3 = 11
Escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial
⎥⎥
3
2
1 x
x
x
Tiene la forma de AX = B Donde la matriz A es la matriz de coeficientes, la matriz X es la matriz de incógnitas y la matriz Escribiendo el sistema como una matriz aumentada B es la matriz de términos independientes.
El método de Gauss-Jordan consiste en reducir la matriz de coeficientes a la forma escalonada reducida.
Ejemplo: Demostrar que el sistema de ecuaciones tiene infinito número de soluciones. 2 x 1 + 8 x 2 + 6 x 3 = 20 4 x 1 + 2 x 2 − 2 x 3 =− 2 − 6 x 1 + 4 x 2 + 10 x 3 = 24
Solución: x 1 − x 3 =− 2 , x 2 + x 3 = 3
Ejemplo: Demostrar que el sistema de ecuaciones no tiene solución. 2 x 1 + 8 x 2 + 6 x 3 = 20 4 x 1 + 2 x 2 − 2 x 3 =− 2 − 6 x 1 + 4 x 2 + 10 x 3 = 30
Eliminación gaussiana Reduce la matriz de coeficientes a la forma escalonada, se resuelve para la última incógnitay luego se usa la sustitución hacia atrás para resolver para las otras incógnitas
Para el ejemplo anterior
Hasta aquí, el proceso es el mismo que se hizo anteriormente. Multiplicamos el segundo renglón por 13 y se lo sumamos al tercero. Luego dividimos el tercer renglón por 5
De esta última Las ecuaciones nos quedarían: x 3 = 4 x 2 + x 3 = 3 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 10
Resolviendo estas ecuaciones
x 3 (^) = 4 x 2 (^) =− 1 x 1 = 2 Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos El sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas se conoce como homogéneo si todas las constantes ( b 1 (^) , b 2 ,L, bm )son cero. Para el sistema general homogéneo x 1 (^) = x 2 =L = xn = 0 siempre es una solución (llamada solución trivial o la solución cero ), solamente hay dos posibilidades: la solución cero es la única solución o hay un número infinito de soluciones además de la solución cero. (Las soluciones distintas de la solución cero se conocen como las soluciones no triviales. Ejemplo: Resuelva el sistema homogéneo
11 6 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3 − − + =
x x x
x x x
x x x
La matriz aumentada
95
91
AA 11 , (^2) , 3 (( 13 )) M 2 ( 91 ) 95 A A 22 ,, 13 (( 92 ))
La matriz aumentada está en forma escalonada reducida y, evidentemente, hay un número infinito de soluciones dadas por ( − 91 x 3 , 95 x 3 , x 3 ).
