Matrius i vectors, Apuntes de Física

¡Descarga Matrius i vectors y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!

Descargado en:

patatabrava .com

MATRIUS I VECTORS (UB)

MATRIUS I VECTORS TEORIA

GUILLEN, FRANCISCO 13-

MATRIUS I VECTORS

• CURS 2013-
• 1. Espais vectorials i sistemes d’equacions lineals ´Index
• 1.1. Espais vectorials i subespais
• 1.2. Sistemes d’equacions lineals. Solucions
• 1.2.1. Sistemes d’equacions lineals
• 1.2.2. Conjunt de solucions
• 1.2.3. Forma normal
• 1.2.4. Matrius esglaonades
• 1.2.5. M`etode de reducci´o.
• 1.3. Combinacions lineals. Generadors
• 1.3.1. Combinacions lineals.
• 1.3.2. Generadors d’un subespai vectorial
• 1.4. Dependencia i independencia lineal de vectors
• 1.5. Transformacions elementals d’una fam´ılia de vectors
• 2. Teoria de la dimensi´o
• 2.1. Teorema de la base incompleta o de Steitnitz.
• 2.2. Dimensi´o. Coordenades
• 2.2.1. Dimensi´o
• ii CURS 2013-
  • 2.2.2. Coordenades
  • 2.3. Rang
  • 2.3.1. Rang
  • 2.3.2. Coordenades
  • 2.4. F´ormula de les dimensions i conseq¨u`encies
  • 2.4.1. F´ormula de les dimensions
  • 2.4.2. Dualitat
  • 2.5. Intersecci´o i suma de subespais
  • 2.5.1. Intersecci´o de subespais
  • 2.5.2. Suma de subespais.
  • 2.6. Suma directa de subespais. F´ormula de Grassmann
  • 2.6.1. Suma directa de subespais
  • 2.6.2. F´ormula de Grassmann
  • 3. Matrius i determinants
  • 3.1. Algebra de matrices´
  • 3.1.1. Notaciones
  • 3.1.2. El espacio vectorial de matrices
  • 3.1.3. Producto de matrices
  • 3.2. Matrices invertibles.
  • 3.3. Matrices elementales
  • 3.4. Determinantes. Definici´on y primeras propiedades
  • 3.5. Regla de Laplace
• 3.6. Existencia del determinante MATRIUS I VECTORS iii
• 3.7. Regla de Cramer. C´alculo del rango
• 3.7.1. Regla de Cramer
• 3.7.2. C´alculo del rango
• 4. Aplicacions lineals
• 4.1. Aplicaciones lineales
• 4.2. N´ucleo e Imagen
• 4.3. Matriz de una aplicaci´on lineal
• 4.4. Cambios de base
• 4.5. Rango. F´ormula de las dimensiones
• iv CURS 2013-

2 CURS 2013-

reals, no necess`ariament differents. El conjunt de totes les n-tuples de nombre reals es denota per Rn.

A Rn^ es defineixen les operacions seg¨uents:

Suma: si (x 1 , x 2 ,... , xn), (y 1 , y 2 ,... , yn) s´on dos elements de Rn, definim la suma per

(x 1 , x 2 ,... , xn) + (y 1 , y 2 ,... , yn) := ((x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,... , xn + yn),

que ´es un element de Rn.

Producte per un escalar: si (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ Rn^ i λ ´es un escalar, definim el producte per

λ · (x 1 , x 2 ,... , xn) := (λ · x 1 , λ · x 2 ,... , λ · xn),

que ´es un element de Rn.

Les propietats algebraiques d’aquestes operacions estan recollides en la de- finici´o d’espai vectorial que donarem a continuaci´o.

Definici´o 1.1.1. Espai vectorial (sobre R).

Un espai vectorial ´es un conjunt E amb dues operacions

E × E −→ E, (x, y) 7 → x + y, R × E −→ E, (a, x) 7 → a · x,

i un element distingit 0 ∈ E tals que

(EV1) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ E.

(EV2) x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E.

(EV3) x + (−1) · x = 0 , ∀x ∈ E.

(EV4) x + y = y + x, ∀x, y ∈ E.

(EV5) a · (x + y) = a · x + a · y, ∀a ∈ R, ∀x, y ∈ E.

(EV6) (a + b) · x = a · x + b · x, ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ E.

(EV7) (a · b) · x = a · (b · x), ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ E

(EV8) 1 · x = x, ∀x ∈ E.

MATRIUS I VECTORS 3

Notaci´o 1.1.2. Per a tot x, y ∈ E, denotarem per −x el vector (−1) · x, i per y − x el vector y + (−x).

Exemple 1.1.3. Sigui n un nombre natural. El conjunt Rn^ amb les operacions de suma i de producte per escalars fetes component a component ´es un espai vectorial.

Proposici´o 1.1.4. Siguin E un espai vectorial, x, y, z ∈ E, a ∈ R.

(i) (Llei de cancel·laci´o.) Si x + y = x + z, aleshores y = z. (ii) a · 0 = 0 , ∀a ∈ R. (iii) Si a 6 = 0 i x 6 = 0 , aleshores a · x 6 = 0. (iv) 0 · x = 0 , ∀x ∈ E. (v) (Unicitat del vector nul.) Si z + x = x, ∀x ∈ E, aleshores z = 0. (vi) (Unicitat del vector oposat.) Si z + x = 0 , aleshores z = −x.

Definici´o 1.1.5. Subespai vectorial. Sigui E un espai vectorial. Un subespai vectorial de E ´es un subconjunt F de E tal que

(SV0) El vector 0 ´es de F.

(SV1) Si x, y ∈ F , aleshores x + y ∈ F

(SV2) Si x ∈ F , a ∈ R, aleshores a · x ∈ F.

Proposici´o 1.1.6. Sigui F un subespai vectorial d’un espai vectorial E. Aleshores F , amb les operacions heretades de E, ´es un espai vectorial.

MATRIUS I VECTORS 5

Rn. Per tant una soluci´o de A · X = B ´es un element s ∈ Rn^ tal que se satisf`a l’equaci´o matricial A · s = B.

6 CURS 2013-

1.2.2. Conjunt de solucions. Tot sistema d’equacions t´e un ´unic conjunt de solucions, que ´es un subconjunt de Rn,

Sol(A · X = B) := {s ∈ Rn; A · s = B } ⊂ Rn.

El conjunt de solucions pot ser buit o no.

Definici´o 1.2.1. Sigui A · X = B un sistema d’equacions lineals. Es diu que A · X = B ´es incompatible si el conjunt de solucions ´es buit, i compatible si no ho ´es. Si el sistema ´es compatible, es diu que ´es determinat si el conjunt de solucions t´e un ´unic element, i indeterminat si en t´e m´es d’un. Quan B = 0 diem que el sistema ´es homogeni.

Definici´o 1.2.2. Dos sistemes d’equacions lineals amb les mateixes inc`ognites es diuen equivalents si tenen el mateix conjunt de solucions.

Lema 1.2.3. Si A ´es una matriu m × n, s, s′^ ∈ Rn, i λ ∈ R, aleshores

A(s + s′) = A · s + A · s′, A · (λ · s) = λ · (A · s).

Proposici´o 1.2.4. Les solucions d’un sistema lineal homogeni amb n inc`ognites A · X = 0 formen un subespai vectorial de Rn.

Definici´o 1.2.5. Sigui E un espai vectorial. Un subconjunt V de E s’anomena subespai af´ı si existeix un element u ∈ V tal que V − u := {v − u; v ∈ V } ´es un subespai vectorial de E. Aleshores V − u no dep`en de l’elecci´o de u i s’anomena el subespai director de V. Es t´e V = u + F.

Proposici´o 1.2.6. Les solucions d’un sistema lineal compatible amb n inc`ognites A · X = B formen un subespai af´ı, el subespai director del qual ´es l’espai de solucions del sistema homogeni A · X = 0.

Demostraci´o. Siguin S el conjunt de solucions de AX = B, i F el subespai vectorial de les solucions de AX = 0. Fixem s 0 ∈ S qualsevol. Per a tot s ∈ S, A(s − s 0 ) = As − As 0 = B − B = 0. Per tant s − s 0 ∈ F i S − s 0 ⊂ F. Rec´ıprocament, si t ∈ F , aleshores s := s 0 + t ∈ S, per tant t = s − s 0 ∈ S − s 0 i F ⊂ S − s 0. Finalment S − s 0 = F. 

8 CURS 2013-

L’expressi´o de la soluci´o en forma param`etrica ´es             x 1 x 2 ... xr xr+ xr+ ... xr+p

d 1 d 2 ... dr 0 0 ... 0

• λ 1

−c 11 −c 21 ... −cr 1 1 0 ... 0

• λ 2

−c 12 −c 22 ... −cr 2 0 1 ... 0

• · · · + λp

−c 1 p −c 2 p ... −crp 0 0 ... 1

El nombre r s’anomena el rang i p = n − r el nombre de variables lliures del sistema.

Veurem que, per l’algoritme de Gauss-Jordan, no hi ha m´es possibilitats.

MATRIUS I VECTORS 9

1.2.4. Matrius esglaonades.

Definici´o 1.2.7. En una fila no nul·la d’una matriu s’anomena pivot (de fila) l’element no nul de m´es a l’esquerra.

Definici´o 1.2.8. Una matriu esglaonada per files ´es una matriu A tal que

(0) Les files nul·les estan al final. (1) El pivot de cada fila val 1 (2) El pivot de cada fila est`a situat estrictament m´es a la dreta que el de la fila anterior.

Si a m´es se satisf`a (3) A sobre del pivot de cada fila nom´es hi ha zeros, la matriu ´es diu esglaonada redu¨ıda per files.

Exemple 1.2.9. Les matrius

   

s´on esglaonada per files i esglaonada redu¨ıda per files respectivament.

Exercicis 1.2.10. (1) Indica quines de les seg¨uents matrius s´on esglao- nades per files (∗ denota un escalar arbitrari).

A 1 =

 ,^ A^2 =

 , A 3 =

A 4 =

 , A 5 =

 , A 6 =

MATRIUS I VECTORS 11

1.2.5. M`etode de reducci´o. Anomenem transformaci´o elemental d’un sistema d’equacions lineales a una de les transformacions seg¨uents:

(T1). Intercanviar l’ordre de dues equacions, deixant la resta d’equacions igual.

(T2). Substituir una equaci´o per un m´ultiple seu no nul, deixant la resta d’equacions igual.

(T3). Substituir una equaci´o pel resultat de sumar a aquesta equaci´o un m´ultiple d’una equaci´o diferent qualsevol, deixant la resta d’equacions igual.

Observem que tota transformaci´o elemental d’equacions t´e una transfor- maci´o inversa que ´es del mateix tipus.

Proposici´o 1.2.11. Si un sistema d’equacions lineals s’obt´e a partir d’un altre per una successi´o de transformacions elementals aleshores els dos sis- temes s´on equivalents.

Definici´o 1.2.12. Anomenem transformaci´o elemental per files, o breu- ment tef, d’una matriu a una de les transformacions seg¨uents:

(T1). Intercanviar l’ordre de dues files deixant la resta de files igual.

(T2). Substituir un fila per un m´ultiple seu no nul, deixant la resta de files igual.

(T3). Substituir una fila pel resultat de sumar a aquesta fila un m´ultiple d’una fila diferent qualsevol, deixant la resta de files igual.

Les transformacions elementals de columnes, o tec, es defineixen de ma- nera an`aloga.

Observem que tota tef (resp. tec) t´e una transformaci´o inversa que ´es del mateix tipus.

Teorema 1.2.13. (Reducci´o de Gauss-Jordan.) Per a tota matriu existeix una successi´o finita de transformacions elementals de files de tal manera que la matriu transformada ´es una matriz esglaonada redu¨ıda.

12 CURS 2013-

Demostraci´o. Per inducci´o sobre el nombre de files de la matriu.

Pas 1. Mitjan¸cant transformacions elementals de files de tipus T1 aconse- guim com a primera fila una fila amb el pivot m´es a la esquerra possible. Pas 2. Mitjan¸cant transformacions elementals de files de tipus T2 aconse- guim 1 com a pivot de la primera fila. Pas 3. Mitjan¸cant transformacions elementals de files de tipus T3 posem zeros a sota del pivot de la primera fila. Pas 4. Apliquem la hip´otesi d’inducci´o a la matriu que resulta de treure la primera fila. Pas 5. Mitjan¸cant transformacions elementals de files de tipus T3 aconse- guim posar un zero en cada posici´o de la primera fila que estigui en una columna amb un pivot. 

14 CURS 2013-

La combinaci´o lineal t´e tres ingredients: la fam´ılia de vectors, la fam´ılia d’escalars i el vector resultat d’efectuar l’operaci´o. Farem servir indistin- tament l’expressi´o “combinaci´o lineal”per referir-nos tamb´e al resultat.

Per conveni, la suma de cap vector ´es el vector nul.

Exemples 1.3.5. (1) Per a qualsevol fam´ılia de vectors, la combinaci´o lineal amb tots els coeficients nuls ´es el vector nul: 0·v 1 +0·v 2 +· · ·+0·vm =

(2) El vector w = (2, − 1 , 3) se expressa com a combinaci´o lineal de la fam´ılia v 1 = (1/ 2 , 1 , 0), v 2 = (0, 1 , − 3 /5). En efecte,

(2, − 1 , 3) = 4 · (1/ 2 , 1 , 0) + (−5) · (0, 1 , − 3 /5), ´es a dir w = 4 · v 1 + (−5) · v 2.

(3) Les dues combinacions lineals de la fam´ılia (v 1 = (3, −6), v 2 = (− 2 , 4)) definides per 3 ·v 1 +4·v 2 , i 1 ·v 1 +1·v 2 s´on combinacions diferents amb el mateix resultat, (1, −2).

MATRIUS I VECTORS 15

1.3.2. Generadors d’un subespai vectorial.

Proposici´o 1.3.6. Si tots els elements v 1 ,... , vm d’una fam´ılia de vectors de E pertanyen a un subespai vectorial F de E, aleshores el resultat de tota combinaci´o lineal de la fam´ılia tamb´e pertany a F.

Definici´o 1.3.7. Sigui (v 1 ,... , vm) una fam´ılia de vectors d’un subespai F de E. Si tot vector de F s’expressa com a combinaci´o lineal de la fam´ılia, es diu que la fam´ılia (vi)i (resp. el seu conjunt associat) ´es una fam´ılia generadora (resp. conjunt generador) de F. El terme sistema generador s’aplica indistintament a una fam´ılia generadora o a un conjunt generador. Els vectors d’un conjunt generador tamb´e s’anomenen, impr`opiament, ge- neradors.

Exemples 1.3.8. (1) Sigui F el subespai de R^2 de les solucions de l’e- quaci´o 3x − 2 y = 0. A¨ıllant la variable y obtenim y = 32 x. Fent x = 1

obtenim la soluci´o v 1 = (1, 32 ). El conjunt {v 1 } ´es un sistema generador de F , ja que tota soluci´o ´es un m´ultiple de v 1 ,

(x, y) =

x,

x

= x

= x · v 1.

(2) Sigui F el subespai de R^3 de les solucions de l’equaci´o x + 3y − 2 z = 0. A¨ıllant la variable x obtenim x = − 3 y + 2z. Fent (y, z) = (1, 0) i (y, z) = (0, 1) respectivament, obtenim els vectors v 1 = (− 3 , 1 , 0), v 2 = (2, 0 , 1), que formen un sistema generador de F , ja que tot vector (x, y, z) de F ´es una combinaci´o lineal d’aquests dos:

(x, y, z) = (− 3 y + 2z, y, z) = y(− 3 , 1 , 0) + z(2, 0 , 1) = y · v 1 + z · v 2.

Exemple 1.3.9. Notem e 1 = (1, 0 ,... , 0), e 2 = (0, 1 ,... , 0),... , en = (0, 0 ,... , 1) els vectors de Rn^ amb una component igual a la unitat i la resta de components nul·les. Per a qualsevol w = (w 1 , w 2 ,... , wn) ∈ Rn es t´e w = w 1 · e 1 + w 2 · e 2 + · · · + wn · en. Per tant w ´es una combinaci´o lineal de la fam´ılia de vectors (ei) 1 ≤i≤n i la fam´ılia (e 1 , e 2 ,... , en) genera Rn.

Proposici´o 1.3.10. Sigui (vi) 1 ≤i≤m una fam´ılia finita de vectors de E.