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Demostraciones
1. Suponga que el modelo lineal general puede escribirse como
y su estimador MCO se define como
con el vector de residuales MCO (e) definido como
Además tenemos
Muestre lo siguiente:
a. M es simétrica e idempotente
M =I
n
−P
M=(I
n
−X ( X
'
X )
− 1
X
'
Simétrica ( M
'
=M )
M =¿
M=(I
n
'
− X ( X
'
X )
− 1
X
'
M =(I
n
−X ( X
'
X )
− 1
X
'
Idempotencia (MM=M )
M=(I
n
−X ( X
'
X )
− 1
X
'
)(I
n
−X ( X
'
X )
− 1
X
'
M =(I
n
−X ( X
'
X )
− 1
X
'
− X ( X
'
X )
− 1
X
'
+ X ( X
'
X )
− 1
X
'
∗X ( X
'
X )
− 1
X
'
M=(I
n
−X ( X
'
X )
− 1
X
'
− X ( X
'
X )
− 1
X
'
+ X ( X
'
X )
− 1
X
'
M =(I
n
−X ( X
'
X )
− 1
X
'
b. e = My = Mε
Se conoce que y= Xβ+ ε, por lo cual se reemplaza en la ecuación dada.
La transpuesta de una matriz de
identidad (I
n
¿ es la matriz
identidad misma. I
n
'
=I
n
e=M ( Xβ+ε )
e=MX β + Mε
e=Mε
c. SCR = ε’Mε Mε
d. e´ x = 0
( y− Xb)
'
X= 0
y
'
−b
'
X
'
X = 0
( y
'
− y
'
X ( X
'
X )
− 1
X
'
) X = 0
y
'
X− y
'
X ( X
'
X )
− 1
X
'
X = 0
y
'
X− y
'
X= 0
Ejercicios de Wooldridge Capitulo #
Se comprende que MX=
I
n
−P
X = 0
I
n
X−PX
( I
¿ n X− X ( X
'
X )
− 1
X
'
∗X )= 0 ¿
I
n
X −X = 0
pendiente, pero con otro intercepto y otro error, de manera que el nuevo error tenga
valor esperado cero.
Se realiza una suma y resta con e valor
0
en la parte derecha de la ecuación
y= ∝
0
0
1
x +u− ∝
0
Seguidamente entenderá al error de la siguiente manera
e=u− ∝
0
- Ahora obtenemos el valor esperado del nuevo error
E ( e )=E (u− ∝
0
E ( e )=E ( u) −E( ∝
0
E ( e )= ∝
0
0
E ( e )= 0
Por ultimo se reescribe el modelo de la siguiente manera:
y=( ∝ ¿¿ 0 + β
0
)+ β
1
x+ e ¿
Lo cual cumple con las especificaciones del enunciado:
Tiene la misma pendiente:
β
1
Un nuevo intercepto:
¿ 0 + β
0
Un nuevo error:
e=u− ∝
0
, y como se encontró anteriormente tiene un valor
esperado de cero.
5. En la función lineal de consumo
cons ^=
^
β
0
^
β
1
inc
La propensión marginal a consumir estimada (PMgC) del ingreso no es más que la
pendiente,
^
β
1
, mientras que la propensión media a consumir (PMeC) es
^cons
inc
^
β
0
inc
^
β
1
. Usando las observaciones sobre ingreso anual y consumo de 100
familias (ambos medidos en dólares), se obtiene la ecuación siguiente:
cons ^=−124.84 +0.853 inc
n=100, R
2
i) Interprete el intercepto en esta ecuación y analice su signo y su magnitud.
β
0
Interpretación: Para una familia sin ningún ingreso anual, el consumo se predice que será
de -124.84 dólares.
Se toma como constante a ∝
0
Al analizar este intercepto se percibe un negativo esto hace comprender que la regresión se
queda corta en explicar los consumos de muy bajos ingresos
Falta magnitud!
ii) ¿Cuál es el consumo que se predice si el ingreso familiar es de $30,000?
^
cons=−124.84 +0.853(30,000)
cons ^=25465.
Se predice que si el ingreso familiar es de $30.000 el consumo será de 25465.16 dolares.
iii) Con inc en el eje x, trace una gráfica la PMgC estimada y de la PMeC
estimada
PMgC = Pendiente (
^
β
1
PMeC =
^cons
inc
^
β
0
inc
^
β
1
El grafico comienzo con un ingreso anual de $1.000 dolares
6. Usando los datos de Kiel y McClain (1995) sobre las casas vendidas en 1988 en
Andover, Massachusetts, en la ecuación siguiente se relaciona el precio de las casas (price)
con la distancia a un incinerador de basura construido recientemente (dist):
inc
PMgC
