Medidas de posicion, Apuntes de Estadística Aplicada

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TEMA 4

MEDIDAS DE RESUMEN (POSICIÓN)

Tema 4 MEDIDAS DE RESUMEN O DE POSICIÓN 4.1 Medidas de posición 2

El objetivo será obtener una serie de medidas y/o coeficientes que nos permitan resumir los datos, eintuir el comportamiento de la variable objeto de estudio.^ Medidas de posición

1. Medidas de tendencia central:

Promedios (medias), mediana, moda

2. Medidas de tendencia no central:

Cuantiles (cuartiles, deciles, percentiles)

1. Medidas de tendencia central

Media aritmética.

Cociente entre la suma de

todos

los valores observados y el total de los

datos.

4.1 Medidas de posición

Datos agrupados en intervalos.

La media aritmética se calcula del mismo modo que en el caso de

datos sin agrupar, pero utilizando, en este caso, la

marca de clase

o punto medio del intervalo como

valor observado de la variable

c xi : marca de clase l : límite superior del intervalo i li-

: límite inferior del intervalo

Media aritmética ponderada.

En ocasiones, no todos los elementos de la variable tienen la misma

importancia o peso dentro de la distribución. Esta importancia o peso que se asigna a cada valor sedenomina ponderación y es independiente de la frecuencia absoluta que tenga.

(^1) −

=^

i i c i

l l x

4.1 Medidas de posición

wi : ponderación asignada a cada variable

Propiedades de la media aritmética.

La media aritmética es el

centro de gravedad

de la distribución. La suma de las desviaciones

(diferencias) de los valores de la variable con respecto a su media es igual a cero.

∑=^ ∑^ =

=^

n i

i i n i

i i i

n n

n n n

n w

n w x n w n w n w

n w x n w x n w x x

1 1

2 2 1 1

2 2 2 1 1 1

(^

2

2 1

1

−^

n

n^

n x x n x x n x x

4.1 Medidas de posición

La media aritmética se ve

afectada

por

cambios de origen y de escala (transformación lineal

de la variable)

A^

y^ B

: constantes

Si de un conjunto de valores, obtenemos 2 ó más subconjuntos disjuntos, entonces la mediaaritmética del conjunto total, se relaciona con las medias de los distintos subconjuntos disjuntos dela siguiente forma:

B

x

A

y^

i

i^

=^

B x A y^

⋅

xi^

ni

x^1

n^1

x^2

n^2

xh^

nh

xh+

nh+

xn^

nn

N

N

x

N

x

x^

2 2

1 1

=^

2 1

N

N

N^

1 x

N^1 N^2

2 x

(Media del primer subconjunto)(Media del segundo subconjunto)

4.1 Medidas de posición

4.1 Medidas de posición

Mediana (Me).

Es el valor de la variable (supuesta ésta ordenada de menor a mayor) que deja a su

izquierda y a su derecha el mismo número de observaciones (el 50% de las observaciones a suizquierda y el otro 50% de las observaciones a la derecha).

Me:

valor de la variable que

ocupa la posición central

, si el número total de observaciones (N)

es un

número impar

Me:

media aritmética

de los

dos valores centrales

de la variable, si el número total de

observaciones (N) es un

número par

Datos sin agrupar.^ Ordenar

los valores de la variable de menor a mayor.

Calcular

sus frecuencias absolutas acumuladas

Ni

Calcular

la mitad del número de observaciones

N/

4.1 Medidas de posición

Si N= impar

que se corresponda con el primer

Si N= par y se cumple que

N^ i N^

≠ 2

x^ i

Me

N^2 N^ i

>

N^ i N^

= 2

(^1) +

=^

i i^

x

x

Me

Media aritmética del valor de la variable correspondiente a N/2 ydel siguiente

4.1 Medidas de posición

Usos, ventajas e inconvenientes de la mediana.

En

el

caso

de

variables

cualitativas

expresadas

en

escala

ordinal,

es

la

medida

más

representativa (en distribuciones de este tipo no tiene sentido la utilización de un promedio).^ En el caso de variables cuantitativas es preferible a la media aritmética en el caso de valoresextremos.^ Es fácil de calcular, aunque en su determinación no intervienen todos los valores de la variable. Nota:

a la mediana le

afectan

los

cambios de origen y de escala

de la misma manera que sucedía

en el caso de la media aritmética.

4.1 Medidas de posición

Moda (Mo).

Es el valor de la variable que más veces se repite (más frecuente).

Datos sin agrupar

con mayor frecuencia absoluta

La moda o valor modal puede no ser única:

Cabe

la

posibilidad

de

encontrar

distribuciones

con

ó

más

modas

:^

distribuciones

bimodales, trimodales, etc. La distribución puede presentar una moda absoluta y una moda relativa.

Datos agrupados en intervalos^ Intervalos de amplitud constante

(^

] i L

ni i

L:

frecuente más

Intervalo

MODAL

INTERVALO

(^1) - i

max

x^ i Mo

=^

i i

n max

4.1 Medidas de posición

Valor modal^ Uso, ventajas e inconvenientes de la moda

En el caso de variables cualitativas expresadas en escala nominal, es la medida másrepresentativa, de hecho, es la medida de tendencia central que puede obtenerse. Es fácil de calcular y de interpretar. En su determinación no intervienen todos los valores de la variable. Nota:

a la moda le

afectan los cambios de origen y de escala

de la misma manera que sucedía

en el caso de la media aritmética.

i i

i

i

i^

c d

d

d

L

Mo

⋅

=

−

−

1

1

1

1

4.1 Medidas de posición

2. Medidas de tendencia no central

Cuantiles.

Son valores de la variable (supuesta ésta ordenada de mayor a menor) que

dividen

a

la

distribución

en

partes

iguales

que

comprenden

el

mismo

número

de

observaciones o individuos. Datos sin agrupar1.

Cuartiles.

Son

3 valores de la variable

que dividen a la distribución en

4 partes

iguales

, cada una de las cuales contiene el 25% de las observaciones. Para su

cálculo se utiliza un procedimiento similar al de la mediana.

N

x C^

i^

⋅ ⇒ =^

1 4

1

N

x C^

i^

⋅ ⇒ =^

2 4

2

N

x C^

i^

⋅ ⇒ =^

3 4

3

4.1 Medidas de posición

Datos agrupados en intervalos

Donde

Cuartiles:

K = 4 y r = 1, 2 , 3

Deciles:

K = 10 y r = 1, 2, 3,…, 9

Percentiles:

K = 100 y r = 1, 2, 3,…, 99

i

i

i

i kr

c

n

N N r k

L

Q^

⋅

− ⋅

=^

−

−

1

1

/

Me=C

=D 2

=P 5

50

C^1

=P

25 C^3

=P

75 D^1

=P

10

D^2

=P

20

D^3

=P

30

etc.

Observaciones: