CALCUL-EGT-EPSEB-1415Q1
C`
ALCUL, 2014-15-Q1
Enginyeria Geom`atica i Topografia
MV4: punts estacionaris de camps escalars, m´ınims quadratsm
integrals dobles i integrals de l´ınia. 1
PART I: Un exercici “total”. [7p]
Considereu la funci´o f(x, y ) = 1 + (x2−y2) exp (−(x2+y2)).
1. Calculeu els punts estacionaris de f(x, y) i classifiqueu-los.
2. Quin ´es el m`axim de fdamunt la circumfer`encia de radi 3 centrada a l’origen?
3. Quin ´es el m`axim de fen la regi´o {(x, y ) : x2+y2≤9}?
4. Quin volum queda per sota la superf´ıcie z=f(x, y), dins del cilindroide C={(x, y) :
x2+y2≤9, x ≥0}i per sobre del pla z= 0?
5. Calculeu el treball generat per una part´ıcula
que es mou sobre la corba Γ de la figura i so-
ta la influ`encia del camp vectorial F(x, y) =
(−yexp (−(x2+y2)) ,−xexp (−(x2+y2)))
6. Sabent que el Teorema de Green ens diu
que, sota certes condicions de continu¨ıtat,
I∂Ω
F=Z ZΩ∂ f2
∂ x −∂ f1
∂ y dx dy
per a qualsevol camp F(x, y) =
(f1(x, y), f2(x, y)) i domini Ω (∂Ω = Γ ´es
la vora de Ω), podr´ıeu donar una alternati-
va al c`alcul realitzat en l’apartat 5?
PART II: Un examen “convencional”. [3p]
1. Calculeu i classifiqueu els punts estacionaris de f(x, y) = 2 x3+ 3 y3+ 3 x y.
2. Trobeu el m`axim i el m´ınim de la funci´o f(x, y)=5y−3xsubjecta a x2+y2= 136.
Representeu conjuntament i gr`afica les corbes de nivell de fi la restricci´o, i interpreteu
gr`aficament el resultat obtingut anal´ıticament.
1No us oblideu de comentar breument els passos que feu, explicant amb quin objectiu ho feu. Aquesta prova
compta un 5% de la nota total de l’assignatura.
1
