Método de Euler, Diapositivas de Programación C

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Método de Euler

UNIDAD IV

Método de Euler

En matemática y computación, el método de

Euler, llamado así en honor a Leonhard Euler,

es un procedimiento de integración numérica

para resolver ecuaciones diferenciales

ordinarias a partir de un valor inicial dado.

Método de Euler

● Ecuaciones diferenciales ordinarias:

● Recordemos el problema del paracaidista:

● El método utilizado fue de la forma general

● Nuevo valor = valor anterior + pendiente × tamaño de paso

● En términos matemáticos:

dy

dx

=f (x , y)

y i+ 1

= y i

+Φ h

Método de Euler

Método de Euler

Considerando la ecuación:

La primera derivada ofrece una estimación

directa de la pendiente en xi

y i+ 1

= y i

+Φ h

Φ=(x i

, y i

)

Método de Euler

Donde f(xi, yi) es la ecuación diferencial evaluada en xi y yi

La estimación se sustituye en la ecuación

Tenemos la fórmula del método de Euler

Esta formula predice un nuevo valor de y usando la

pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de

x).

y

i+ 1

= y

i

+Φ h

y

i+ 1

= y

i

+f ( x

i

, y

i

)h

Ejemplo

Evaluar la ecuación:

Desde x=0 hasta x=

Con un tamaño de paso de 0.

Consideramos que resolviendo la ecuación

aplicando integrales tenemos:

dy

dx

=− 2 x

• 12 x

− 20 x+8.

y=−0.5 x

• 4 x

− 10 x

+8.5 x+ 1

Análisis

Evaluamos la ecuacion conociendo los

valores reales (integrando)

dy

dx

=− 2 x

• 12 x

− 20 x+8.

y=−0.5 x

• 4 x

− 10 x

+8.5 x+ 1

Solucion Numérica

clear ; clc ; x1 = 0 ; x2 = 4 ; y1 = 1 ; h = 0.5 ; f = @( x ) -( 2 ***** x ^ 3 ) + ( 12 ***** x ^ 2 ) - ( 20 ***** x ) + 8.5 ; y = []; x = []; pos = 1 ; for i = x1 : h : x val_x = i ; if i == x val_y = y1 + h *f( val_x) ; % analizar la grafica del analisis euler analitico

else val_y = y ( pos - 1 ) + h *f( val_x) ; end x = [ x val_x ]; y = [ y val_y ]; pos = pos + 1 ; end disp ([ x ' y ']); plot ( x , y );

En la primera iteracion se considera el valor

de y(0) = 1, de acuerdo al analisis analitico

Solución Numérica

¿Que pasa si se cambia h a 0.1?

¿Que pasa si analizamos ambas soluciones para ver

el error?

Método de Euler

El método de Euler se puede mejorar para lograr

mayor precisión sin necesidad de depender del

tamaño de paso

Esto se logra con los métodos de Runge-Kutta

Método de Euler mejorado (Heun)

Problemas del método de Euler

● Aproximando la pendiente por su valor en el punto

extremo izquierdo.

● Se obtiene una mejor aproximación si tomamos el

promedio de sus valores en los puntos extremos, es

decir usar una segunda pendiente

x i+ 1

=x i

+h

y i+ 1

= y i

• f (x i

, y i

)h

y i+ 1

= y i

+[f (x i

, y i

)+ f (x i+ 1

, y i+ 1

)]h

Euler Mejorado

y i+ 1

= y i

• f (x i

, y i

)h

u i+ 1

= y i

• k 1

h

k 2

=f (x i+ 1

,u i+ 1

)

Usando nuevamente la fórmula de Euler,

encontramos la nuevo fórmula para Euler

mejorado

y i+ 1

= y i

+hk (^) k=

k 1

+k 2

2

Renombramos la

variable y para el

metodo original de

Euler

y → u

u i+ 1

= y i

• f (x i

, y i

)h