Método de Euler: Aplicaciones en Ingeniería Agroindustrial, Diapositivas de Matemáticas

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MÉTODO DE EULERMÉTODO DE EULER

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E R I C O S

Faculta de ingenieria Faculta de ingenieria

escuela de ingenieria agroindustrial escuela de ingenieria agroindustrial

Integrantes: luis fernando Integrantes: luis fernando

campos grijalva campos grijalva

ReseÑA HISTORICA:ReseÑA HISTORICA:

Leonhard Euler (1707-1783) fue un matemático suizo que hizo contribuciones

significativas en various campos de las matemáticas, incluyendo la teoría de

números, la geometría, la física y la astronomía.

En la década de 1740, Euler comenzó a trabajar en la teoría de las ecuaciones

diferenciales, que en ese momento era un campo en desarrollo. En su libro

"Institutiones calculi integralis" (1768-1770), Euler presentó un método para

resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, que se conoce hoy en día como el

método de Euler.

El método de Euler se basa en la idea de aproximar la solución de una ecuación

diferencial mediante una serie de pasos pequeños, utilizando la ecuación

diferencial para calcular la pendiente de la solución en cada paso. El método es

simple y fácil de implementar, lo que lo hizo popular en la época.

INTRODUCCION:INTRODUCCION: Nombrado por Leonhard Euler, el método de Euler es un método de primer orden, lo que significa que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso, y el error golbal es proporcional al tamaño del paso. El método sirve como base para construir métodos más complejos. Mediante un valor inicial, el método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para resolver un problema de valor inicial, y el más simple de los métodos de Runge-Kutta E l m é t o d o d e E u l e r c o n s i s t e e n e n c o n t r a r i t e r a t i v a m e n t e l a s o l u c i ó n d e u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e p r i m e r o r d e n y v a l o r e s i n i c i a l e s c o n o c i d o s p a r a u n r a n g o d e v a l o r e s. P a r t i e n d o d e u n v a l o r i n i c i a l x 0 y a v a n z a n d o c o n u n p a s o h , s e p u e d e n o b t e n e r l o s v a l o r e s d e l a s o l u c i ó n d e l a s i g u i e n t e m a n e r a : Y k + 1 = Y k + h · f ( x k , Y k ) D o n d e Y e s s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l y f e s l a e c u a c i ´ o n d i f e r e n c i a l e n f u n c i ó n d e l a s v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s.

Consiste en dividir los intervalos que va de x0 a xf en n subintervalos de ancho h; o sea: h=xf−x0/n de manera que se obtiene un conjunto discreto de n+1 puntos: x0,x1,x2, ,xn del intervalo de interés [x0,xf]. Para cualquiera de estos puntos se cumple que: xi=x0+ih0≤i≤n. La condición inicial y(x0)=y0, representa el punto P0=(x0,y0) por donde pasa la curva solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como F(x)=y. Ya teniendo el punto P0 se puede evaluar la primera derivada de F(x) en ese punto; por lo tanto: F′(x)=dy/dx|P0=f(x0,y0) Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por P0 y de pendiente f(x0,y0). Esta recta aproxima F(x) en una vecindad de x0. Tómese la recta como reemplazo de F(x) y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a x1. Entonces, podemos deducir según la Gráfica A: y1−y0/x1−x0=f(x0,y0) Se resuelve para y1: y1=y0+(x1−x0)f(x0,y0)=y0+hf(x0,y0) PROCEDIMIENTO

JUSTIFICACION:JUSTIFICACION: E s t e m é t o d o a p e s a r d e s u s e n c i l l e z , p r e s e n t a u n g r a n m é t o d o p a r a c a l c u l a r l o s v a l o r e s y c r e c i m i e n t o s q u e s e v a n a p r o x i m a n d o y p o d e r u b i c a r u n c i e r t o p u n t o d e l a p e n d i e n t e e n q u e c o r r e s p o n d a t a l t r a b a j o , e s t o e s i o m p r e s c i n d i b l e e n i n g e n i e r í a a g r o i n d u s t r i a l p a r a c a l c u l a r c u a l q u i e r r e n d i m i e n t o y e f i c i e n c i a d e a l g ú n v a l o r q u e s e t r a t e o e l a u m e n t o d e u n c i e r t o n i v e l d e a l g u n a m a t e r i a q u e s e e s t e e m p l e a n d o , a d e m á s d e h a l l a r l a c o r r e l a c i ó n d e l o s a s p e c t o s d e u n p r o d u c t o o c o m p a r a c i ó n d e d o s q u e s e e s t e u s a n d o. C o n e l l o q u e r e m o s d e m o s t r a r l a i m p o r t a n c i a g r á f i c a q u e s e d a t a n t o g e o m e t r i c a m e n t e c o m o a n a l í t i c a m e n t e q u e m u e s t r e e n s u t r a s l a c i ó n l o q u e p e r m i t e a n a l i z a r c o r r e c t a m e n t e a l g u n a d e s c r i p c i ó n q u e s e d a e n a l g ú n p r o b l e m a c o n r e s p e c t o a l a c a r r e r a a a s í c o m o l o d i n á m i c o q u e e s a l e m p l e a r s u s f ó r m u l a s.

IMPORTANCIA:IMPORTANCIA: D e b i d o a s u s e n c i l l e z y l o f á c i l d e u s a r p u e d e s e r u n m é t o d o m á s a d a p t a b l e y p r á c t i c o p a r a e l e m p l e a m i e n t o c o r r e s p ó n d i e n t e , y a s í n o s p e r m i t a a n a l i z a r m á s a p r o x i m a d a m e n t e e l c o m p o r t a m i e n t o g r á f i c o ; y q u e p u e d e s e r u s a d o p a r a v a r i o s p r o b l e m a s e n r e q u e r i m i e n t o c o n r e s p e c t o a n u e s t r a c a r r e r a. A d e m á s d e s e r o t r o m é t o d o i n d i c a d o p a r a e n t e n d e r l a c o r r e l a c i ó n y u b i c a r l o s p u n t o s e n d i r e c c i ó n , a ú n m e j o r c o n s u f a c i l i d a d d e m a n e j a r l o c u a l l e p e r m i t e s e r u s a d o e n m u l t i p l e s o c a s i i o n e s.

En un proceso de separación en el que se estima la sobrecarga de los residuos

respectivos en la caracterización del producto se dan los siguientes valores: y’ =

xy, y(2) = 1 en lo que respecta a la relación de los residuos o subproductos que se

pretender considerar. Hallar los valores de cada uno mediante el valor de y(6) y n=

4 mediante el Método de Euler que son 3 iteraciones.

b) Resolver el sistema de ecuaciones por el método de jacobi

Coeficientes A

Vector B

Paso II Usamos comando Matlab para encontrar las iteraciones:

Paso II Usamos comando Matlab para encontrar las iteraciones:

C) Interpolar (Hallar el polinomio interpolar con los valores obtenidos (b)

C) Interpolar (Hallar el polinomio interpolar con los valores obtenidos (b)