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CALCULO EN VARIAS VARIABLES METODO DE LAGRANGE EJERCICIOS
Tipo: Ejercicios
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Profesor: Pedro Colina Maracaibo, 2. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NÚCLEO ZULIA DIVISIÓN ACADÈMICA CICLO BÁSICO MATEMÁTICA III
Este es un método que permite encontrar valores extremos, máximos o mínimos (maximizar o minimizar) de una función general sometida o sujeta a alguna condición o restricción de la forma . El método establece una ecuación en función de las condiciones o restricciones que debe cumplir la función, en todo caso se resuelve una ecuación vectorial de la forma: , para cuando hay una sola condición a cumplir y para cualquier n variables. Para cuando la función debe cumplir dos restricciones se tiene: , las restricciones son:. Entonces la ecuación queda: , para cuando hay dos condiciones a cumplir. Se debe resolver el sistema de ecuaciones dadas a través de la ecuación vectorial y además la condición o condiciones formarán parte de ese sistema a resolver. Cuando se tiene una función de tres variables restringida por , el procedimiento general se puede establecer así: Identificar la función de donde se desea hallar el valor máximo o mínimo, esta se llama función a optimizar, a la que se desea hallar los valores extremos. Identificar la o las restricciones a cumplir por la función. Hallar el gradiente de la función: Hallar el gradiente de la restricción: Formar la ecuación vectorial: Formar el sistema de ecuaciones que incluya las condiciones las condiciones. Determinar todos los valores x, y, z y λ que satisfagan y.
Al resolver el sistema, una de las formas puede ser: Multiplicar la ecuación (1) por x , y también la ecuación (2) por y, …. (4) ….. (5) Se igualan las ecuaciones (4) y (5) Al simplificar queda: ; Queda: Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3). Si y = x Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no negativos, así que se tiene un único punto que es para x= , la altura y también vale. Así se concluye que las dimensiones del rectángulo corresponden con un cuadrado de lado. Su área será: A= * =
¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que puede tener una la función , sobre el círculo?
Se pide calcular los valores extremos de la función sujeta a la restricción Calculamos los gradientes: Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse: ……ec nº 1
……ec nº 2 ……ec nº Partiendo de la ecuación Nº 1 se tiene: y , entonces se verifican estos dos valores en las otras ecuaciones. Si x=0 en la ec nº4 se obtiene: Luego si , en la ec nº2 se tiene y=0, y luego en la ec nº3, Como consecuencia, tal vez tiene valores extremos en los puntos: (0,1) (0,-1) (1,0) (-1,0) Al evaluar a en esos cuatro puntos se encuentra que: o Por consiguiente, hay dos valores máximos en los puntos (0,1); (0,-1) y dos valores mínimos en los puntos: (1,0) y (-1,0).
Determine las dimensiones de un cilindro circular recto con volumen máximo si el área de su superficie es de 24π (unidades de longitud cuadradas).
πr² = λ 2 πr …ec nº 1 2 πhr = λ (4πr + 2 πh) …ec nº 2, además de 2 πr² + 2 πhr = 24 π …ec nº 3 Despejando λ de las ecuaciones nº 1 y nº 2, se tiene: Al igualar ambas se obtiene: , se sustituye en la ecuación nº 3 y se obtiene: 2 πr² + 2 π2rr = 24 π 2 πr² + 4πr² = 24 π 6 πr² = 24 π r² = 4 r = ± 2, pero solo se considera el valor positivo ya que r representa una distancia, así que el valor del radio r es 2, la altura h=4. Finalmente se concluye que las dimensiones que producen el volumen máximo de un cilindro circular recto para una superficie de 24 π son : h = 4 ; r = 2
Se desea fabricar una caja de cartón donde el material de los lados y la tapa es de Bs 1/metro cuadrado y el costo del material del
fondo es de Bs 3/ metro cuadrado. Determine las dimensiones que debe tener la caja para que su volumen sea de 2 metros cúbicos y su costo sea mínimo.
Primero dibujamos la caja donde sus lados sean paralelos al sistema de referencia xyz. Del enunciado se saca que la función que se quiere minimizar, en este caso, es la función costo. Entonces debemos escribir la llamada función costo, veamos, hay dos precios diferentes involucrados en la fabricación de la caja: el fondo por un lado y las paredes o lados laterales y la tapa. Entonces: Costo total = costo total fondo caja + costo total lados-tapa, Además: Costo total fondo caja= costo unitario fondoárea de fondo Costo total lados-tapa = costo unitario lados-tapaárea lados- tapa. Así que se puede escribir el costo total de la siguiente manera: Si Identificamos: Costo total : CT. Costo unitario fondo : Cf. Donde Cf = 3 Bs/m² Área de fondo: Af. Donde Af = x*y Costo unitario lados-tapa: Cl-t. Donde Cl-t =1 Bs/m² Área lados-tapa: A l-t. Donde Al-t = xy + 2xz + 2y*z Entonces: _CT = CfAf + Cl-tAl-t_** Escribiéndolo en formulas se tiene: CT = 3 Bs/m²* x*y + 1 Bs/m² (xy + 2xz + 2y*z) Asumiendo que las unidades son correspondientes: CT = 3 x*y + (xy + 2xz + 2y*z)
En particular, en este caso se multiplicara la ec nº 1 por x , la ec nº 2 por y , la ec nº 3 por z. quedan así las ecuaciones: 4 xy + 2xz =λxyz …ec nº 5 4xy + 2yz = λxyz …ec nº 6 2xz + 2yz= λxyz …ec nº 7, y aun se tiene la ec nº 4. Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los segundos términos (λxyz ), así que los igualaremos a través de ellos. Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6: 4 xy + 2xz = 4xy + 2yz, luego 2xz = 2yz, entonces x = y, ….ec nº Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7: 4 xy + 2xz = 2xz + 2yz , luego 4 xy = 2yz , entonces 2x =z, …ec nº Luego se sustituyen las expresiones encontradas en las ecuaciones nº y nº9 en la ecuación nº4, de esa manera queda una sola ecuación con una sola incógnita que es la x. xx2x = 2, entonces queda x³=1 y finalmente se obtiene
Ahora por las ecuaciones nº 8 y nº 9 se obtiene que las dimensiones de la caja son:
Note que efectivamente el volumen de la caja es de 2 m³. El costo minimote la caja a construir será: CT = 4(1)(1) + 2(1)(2) + 2(1)(2) = 4+4+4=12 bolívares
Comentario: En el costo del valor final de la caja, 12 bolívares, parece alto para la realidad, pero es que se usaron valores enteros para que los valores a calcular fuesen fáciles de ver. Luego se resolverán ejemplos mas complicados.
El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por metro cuadrado que el material para los lados y la tapa. Determine la máxima capacidad (volumen) que la caja puede tener si la cantidad total de dinero a gastar es de 6 bolívares y el material del fondo cuesta Bs 0.90/metro cuadrado.
Primero dibujamos una caja donde sus lados sean paralelos a los ejes del sistema de referencia xyz. Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar, en este caso, es la función capacidad o volumen. Entonces debemos escribir la llamada función del volumen de la caja de acuerdo a su expresión geométrica. V= xyz Ahora identifiquemos la restricción: el costo fijo de la caja es de 6 bolívares, pero observemos que hay dos precios diferentes involucrados en la fabricación de la caja: el fondo por un lado y las paredes o lados laterales y la tapa. Escribamos la expresión del costo que es fijo e igual a 6 bolívares, entonces: Costo total =6 Bs = costo total fondo caja + costo total lados-tapa, Además: Costo total fondo caja= costo unitario fondo*área de fondo
La ecuación de Lagrange se escribe: =λ Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente: _yz = λ( 1.2 y + 0.6z) …ec nº 1 xz = λ (1.2x + 0.6z) …ec nº 2 xy=λ(0.6x + 0.62y) …ec nº 3, y además 6 = 1.2 xy + 0.6xz + 0.6yz …ec nº_* Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos para estos casos. En particular, en este caso se multiplicara la ec nº 1 por x , la ec nº 2 por y , la ec nº 3 por z. quedan así las ecuaciones: _xyz = λ 1.2 xy + 0.6 zx λ …ec nº 5 yxz = 1.2x λ y + 0.6 yz λ …ec nº 6 xyz = 0.6 xz λ + 0.6 yz λ …ec nº 7, y además 6 = 1.2 xy + 0.6xz + 0.6yz …ec nº_* Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los primeros términos (xyz ), así que los igualaremos a través de ellos. Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6: 1.2 λ xy + 0.6zx λ = 1.2 λ x y + 0.6yz λ 0.6zx λ = 0.6yz λ
Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7: 1.2 λ xy + 0.6 zx λ = 0.6 xz λ + 0.6 yz λ 1.2 λ xy = 0.6 yz λ
1.2 x = 0.6 z
Se escribe la ec nº 4 respecto de una variable 6 = 1.2 xx + 0.6 x2x + 0.6 x2x 6 = 1.2 x² + 1.2 x² + 1.2 x² 6 = 3.6 x² , Como x representa una distancia se toma el valor positivo. Así que: Entonces los valores de las dimensiones de la caja son: ; ; La capacidad total será V= * * = 2.
Determine las dimensiones de una caja rectangular con la capacidad máxima, es decir con el máximo volumen, si el área de la superficie total será 64 cm. cuadrados.
Primero dibujamos una caja donde sus lados sean paralelos a los ejes del sistema de referencia xyz.
2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos para estos casos. En particular, en este caso se multiplicara la ec nº 1 por x , la ec nº 2 por y , la ec nº 3 por z. quedan así las ecuaciones: xyz = 2 λx y + 2 λx z …ec nº 5 xyz = 2 λ xy + 2 λy z …ec nº 6 xyz =2 λ xz + 2 λ yz …ec nº Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los primeros términos (xyz ), así que los igualaremos a través de ellos. Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6: 2 λx y + 2 λx z = 2 λ xy + 2 λy z 2 λx y + 2 λx z = 2 λ xy + 2 λy z 2 λx z = 2 λy z, se obtiene:
Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7: 2 λx y + 2 λx z = 2 λ xz + 2 λ yz 2 λx y = 2 λ yz
Se escribe la ecuación nº4 en función de una sola variable: 2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº4, respecto de x por ejemplo, queda: , por representar x una distancia se toma el valor positivo, así que:
, entonces: y el volumen máximo para la condición dada es: .
Determine cual es la distancia más corta entre el plano cuya ecuación es y el punto origen del sistema.
Del enunciado se obtiene que la función que se quiere minimizar , en este caso, es la función distancia entre dos puntos de. Fíjese que el enunciado establece: la distancia más corta, eso se refiere a la menor de las distancias, a la mínima distancia entre dos puntos, donde uno de los puntos es el origen y el otro punto debe estar sobre la superficie dada. Se desea optimizar la distancia. Entonces debemos escribir la llamada función distancia (d). Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, eso es que el punto debe estar contenido en el plano dado por: . Una observación muy importante y que nos ahorraría mucho tiempo y esfuerzo es que podemos trabajar con la distancia al cuadrado, es decir la función a minimizar se puede escribir como: , el alumno deberá demostrar que esto es cierto. Para ello deberá trabajar con la ecuación normal de la distancia y/o revisar bibliografías para llegar a comprender y concluir que se obtienen los mismos valores. Determinamos los gradientes.
Se obtienen los valores de los otras dos variables: Además:. Así que la distancia mas corta entre el punto (0,0,0) y el plano dado es:
Determine la mínima distancia entre el origen y la superficie .
Del enunciado se obtiene que la función que se quiere minimizar , en este caso, es la función distancia entre dos puntos de , donde uno de los puntos es el origen y el otro punto debe estar sobre la superficie dada. Se desea optimizar la distancia. Entonces la ecuación la llamada función distancia (d). Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, eso es que el punto debe estar contenido en la superficie dada por.
. Es decir, debe satisfacer la ecuación de esa superficie. Una observación muy importante y que nos ahorraría mucho tiempo y esfuerzo es que, de nuevo, al igual que en el ejemplo anterior, se puede trabajar con la distancia al cuadrado, es decir la función a minimizar se puede escribir como: , el alumno deberá demostrar que esto es cierto. Para ello deberá trabajar con la ecuación normal de la distancia y/o revisar
bibliografías para llegar a comprender y concluir que se obtienen los mismos valores. Determinamos los gradientes. a) primero de la función a minimizar, la función distancia: dx= 2x dy= 2y dz= 2z b) luego el gradiente de la restricción Sx = 2xy Sy = x² Sz = -2z La ecuación de Lagrange se escribe: = Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente: ……ec nº 1 ……ec nº 2 ……ec nº 3, y además ……ec nº 4 Se resuelve el sistema de ecuaciones, veamos como se hace en este caso: De la ecuacion nº 1 se tiene, al hacer cero de un lado: , , de aquí salen dos situaciones: i.. Entonces si x=0 , de la ec nº 2 queda y =0 , y al sustituir en ec nº 4 se obtiene:. Se obtienen los puntos: :(0,0,3) y : (0,0,-3).
