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EJEMPLO.- MRP COLOCACION
Por el MRP de Colocación , determinar la solución aproximada de la siguiente ecuación diferencial:
𝑑^2 𝑦
𝑑𝑥^2 −
Condiciones de contorno:
𝑦(0) = 𝑦(1) = 0
SOLUCION.-
PRIMER TANTEO:
Primer paso: Determinar el operador residuo R:
𝑑^2 𝑦
𝑑𝑥^2 +
Segundo paso: Considerar función de prueba:
𝑦𝑝 = 𝑎 1 𝑁 1 = 𝑎 1 𝑥(1 − 𝑥)
𝑑^2 𝑦𝑝
𝑑𝑥^2 = −2𝑎^1
𝑁 1 Cumple las condiciones de contorno.
Tercer paso: Reemplazar en el residuo la función de prueba:
𝑑^2 𝑦
𝑑𝑥^2 +
El punto seleccionado:
𝑥 = 0,
𝑅 = −2𝑎 1 (1 + 0,5) + 𝑎 1 (1 − 2 × 0,5) + 0,5 = 0
Reemplazando en la función de prueba:
𝑦𝑝 = 𝑎 1 𝑥(1 − 𝑥)
SEGUNDO TANTEO:
Primer paso: Determinar el operador residuo R:
𝑑^2 𝑦
𝑑𝑥^2 +
Segundo paso: Considerar función de prueba:
𝑦𝑝 = 𝑎 1 𝑁 1 + 𝑎 2 𝑁 2 = 𝑎 1 𝑥(1 − 𝑥) + 𝑎 2 𝑥^2 (1 − 𝑥)
𝑑𝑥 = 𝑎^1
(1 − 2𝑥) + 𝑎 2 (2𝑥 − 3𝑥^2 )
El sistema de ecuaciones es:
−2,332𝑎 1 + 0,336𝑎 2 + 0,333 = 0
Reemplazando en la función de prueba:
𝑦𝑝 = 𝑎 1 𝑥(1 − 𝑥) + 𝑎 2 𝑥^2 (1 − 𝑥)
𝑦𝑝 = 0,152 𝑥(1 − 𝑥) + 0,060 𝑥^2 (1 − 𝑥)
TERCER TANTEO:
Primer paso: Determinar el operador residuo R:
𝑑^2 𝑦
𝑑𝑥^2 +
Segundo paso: Considerar función de prueba:
𝑦𝑝 = 𝑎 1 𝑁 1 + 𝑎 2 𝑁 2 = 𝑎 1 𝑥(1 − 𝑥) + 𝑎 2 𝑥^2 (1 − 𝑥)
𝑑𝑥 = 𝑎^1
(1 − 2𝑥) + 𝑎 2 (2𝑥 − 3𝑥^2 )
𝑑^2 𝑦𝑝
𝑑𝑥^2 = −2𝑎^1 + 𝑎^2
𝑁𝑖 Cumple las condiciones de contorno.
Tercer paso: Reemplazar en el residuo la función de prueba:
𝑑^2 𝑦
𝑑𝑥^2 +
𝑅 = (1 + 𝑥)(−2𝑎 1 + 𝑎 2 (2 − 6𝑥)) + 𝑎 1 (1 − 2𝑥) + 𝑎 2 (2𝑥 − 3𝑥^2 ) + 𝑥 ≠ 0
𝑅 = 𝑎 1 (−2 − 2𝑥 + 1 − 2𝑥) + 𝑎 2 (2𝑥 − 3𝑥^2 + 2 + 2𝑥 − 6𝑥 − 6𝑥^2 ) + 𝑥 ≠ 0
𝑅 = 𝑎 1 (−1 − 4𝑥) + 𝑎 2 (2 − 2𝑥 − 9𝑥^2 ) + 𝑥 ≠ 0
Los puntos seleccionados:
𝑥 = 0,
𝑎 1 (−1 − 4𝑥) + 𝑎 2 (2 − 2𝑥 − 9𝑥^2 ) + 𝑥 = 0
𝑎 1 (−1 − 4 × 0,333) + 𝑎 2 (2 − 2 × 0,333 − 9 × 0,333^2 ) + 0,333 = 0
−𝟐, 𝟑𝟑𝟐𝒂𝟏 + 𝟎, 𝟑𝟑𝟔𝒂𝟐 + 𝟎, 𝟑𝟑𝟑 = 𝟎
𝑎 1 (−1 − 4𝑥) + 𝑎 2 (2 − 2𝑥 − 9𝑥^2 ) + 𝑥 = 0
𝑎 1 (−1 − 4 × 0,667) + 𝑎 2 (2 − 2 × 0,667 − 9 × 0,667^2 ) + 0,667 = 0
EJEMPLO.- MRP SUBDOMINIOS
Por el MRP de Subdominios , determinar la solución aproximada de la siguiente ecuación diferencial:
𝑑^2 𝑦
𝑑𝑥^2 −
Condiciones de contorno:
𝑦(0) = 𝑦(1) = 0
SOLUCION.-
PRIMER TANTEO:
Primer paso: Determinar el operador residuo R:
𝑑^2 𝑦
𝑑𝑥^2 +
Segundo paso: Considerar función de prueba:
𝑑𝑥 = 𝑎^1
𝑑^2 𝑦𝑝
𝑑𝑥^2 = −2𝑎^1
𝑁 1 Cumple las condiciones de contorno.
Tercer paso: Reemplazar en el residuo la función de prueba:
𝑑^2 𝑦
𝑑𝑥^2 +
Seleccionar un subdominio:
0,333 ≤ 𝑥 ≤ 0,
∆𝑥 = 0,
𝑏
𝑎
0,334 ∫^ (𝑎^1 (−1 − 4𝑥) + 𝑥) 𝑑𝑥
0,
0,
0,
0,
0,
0,
