Métodos iterativos para la solución de sistemas de ecuaciones lineales - Prof. Molina, Diapositivas de Física

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MÉTODOS

ITERATIVOS

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES

𝐼𝑁𝑇𝑅𝑂𝐷𝑈𝐶𝐶𝐼Ó𝑁 𝑆𝑒𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 ⋯^ 𝑎^1 ,𝑛−^1 𝑎^1 𝑛 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 ⋯^ 𝑎^2 ,𝑛−^1 𝑎^2 𝑛 𝑎 31 ⋮ 𝑎𝑛− 1 , 1 𝑎𝑛 1

𝐴𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜. 𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝐽𝑎𝑐𝑜𝑏𝑖 𝑆𝑒𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑨 ∙ 𝒙 = 𝒃 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝒙 = 𝑩 ∙ 𝒙 + 𝒄. 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑗 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑩 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑖 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝒄 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑝𝑜𝑟: 𝑏𝑖𝑗 = ቐ

𝑖 (𝑚) = σ𝑗= 1 𝑛 𝑏𝑖𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 (𝑚− 1 )

• 𝑐𝑖 (i=1, …, n)

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝐽𝑎𝑐𝑜𝑏𝑖: 10 𝑥 1

• 𝑥 2
• 𝑥 3 = 12 𝑥 1
• 10𝑥 2
• 𝑥 3 = 12 𝑥 1
• 𝑥 2
• 10𝑥 3 = 12 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥 1 = − 0. 1 𝑥 2 − 0. 1 𝑥 3
• 1. 2 𝑥 2 = − 0. 1 𝑥 1 − 0. 1 𝑥 3
• 1. 2 𝑥 3 = − 0. 1 𝑥 1 − 0. 1 𝑥 2
• 1. 2 “ 𝑳𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂: 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝒙𝟑 = 𝟏"

𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸𝑀𝐴𝑆 𝐷𝐼𝐴𝐺𝑂𝑁𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑇𝐸 𝐷𝑂𝑀𝐼𝑁𝐴𝑁𝑇𝐸

𝑫𝑬𝑭𝑰𝑵𝑰𝑪𝑰Ó𝑵

𝑖= 1 𝑛

𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸𝑀𝐴𝑆 𝐷𝐼𝐴𝐺𝑂𝑁𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑇𝐸 𝐷𝑂𝑀𝐼𝑁𝐴𝑁𝑇𝐸 𝑪𝑶𝑹𝑶𝑳𝑨𝑹𝑰𝑶 𝑆𝑖 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑨 𝑛𝑥𝑛 𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑒𝑠 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒔𝒖𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒.

𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏:

𝑃𝑟𝑒𝑣𝑖𝑜 𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛, 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑙𝑎

𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒, 𝑜 𝑙𝑜 𝑚á𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒.

A =

𝐴𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜. 𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 − 𝑆𝑒𝑖𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑒𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑨 ∙ 𝒙 = 𝒃 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝒙 = 𝑩 ∙ 𝒙 + 𝒄. 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑗 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑩 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑖 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝒄 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑝𝑜𝑟: 𝑏𝑖𝑗 = ቐ

𝑖 (𝑚) = σ𝑗= 1 𝑖− 1 𝑏𝑖𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 (𝑚)

• σ𝑗=𝑖+ 1 𝑛 𝑏𝑖𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 (𝑚− 1 )
• 𝑐𝑖 (i=1, …, n)

Ejemplo. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 − 𝑆𝑒𝑖𝑑𝑒𝑙: 10 𝑥 1

• 𝑥 2
• 𝑥 3 = 12 𝑥 1
• 10𝑥 2
• 𝑥 3 = 12 𝑥 1 + 𝑥 2 + 10𝑥 3 = 12 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥 1 = − 0. 1 𝑥 2 − 0. 1 𝑥 3
• 1. 2 𝑥 2 = − 0. 1 𝑥 1 − 0. 1 𝑥 3
• 1. 2 𝑥 3 = − 0. 1 𝑥 1 − 0. 1 𝑥 2 + 1. 2 “ 𝑳𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂: 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝒙𝟑 = 𝟏"