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PROBLEMA #1.
(a) Dados p, q, R ∈ R
+++¿¿
, justificando el método que emplee (no puede usar
Multiplicadores de Lagrange), resuelva el siguiente problema de
optimización:
máx
( x , y ) ϵ R
++ ¿
2 − 2 ∙ e
− 2 x
− 3 ∙ e
− 3 y
s.a. px+qy=R
(b) Si υ (p,q,R), representa el valor de la función objetivo, y si 4 q= 9 p ,
determine
δυ ( p. q , R)
δR
Solución
(a) Sea: f
x , y
=− 2 ∙ e
− 2 x
− 3 ∙ e
− 3 y
Derivando parcialmente:
∂ f
∂ x
=− 2 ∙ e
− 2 x
∙ (− 2 )= 4 ∙ e
− 2 x
∂ f
∂ x
= 4 e
− 2 x
∂ f
∂ y
=− 3 ∙ e
− 3 y
∙(− 3 )= 9 ∙ e
− 3 y
∂ f
∂ y
= 9 e
− 3 y
De igual manera, sea:
g ( x , y )= px +qy−R
Derivando parcialmente:
∂ g
∂ x
=p
∂ g
∂ y
=q
Igualando, se obtiene:
∂ f
∂ x
∂ f
∂ y
∂ g
∂ x
∂ g
∂ y
4 e
− 2 x
9 e
− 3 y
p
q
e
− 2 x
e
3 y
p
q
Se resuelve el sistema de ecuaciones, que viene dado por:
e
− 2 x
e
3 y
p
q
px+ qy=R ( 2 )
A partir de la ecuación 1:
e
3 y− 2 x
9 p
4 q
lne
( 3 y− 2 x)
=ln
9 p
4 q
3 y− 2 x=ln
9 p
4 q
Sabiendo que:
k =ln
9 p
4 q
Entonces:
3 y− 2 x=k
3 y=k + 2 x
y=
k + 2 x
( k + 2 x )
Sustituyendo en la ecuación 2:
px+ q
[
( k + 2 x )
]
=R
px+
qk
2 qx
=R
px+
2 qx
qk
=R
x
p+
2 q
=R−
qk
Por otro lado:
υ
p , q , R
=− 2 ∙ e
− 2
(
3 R
3 p+ 2 q
)
− 3 ∙ e
− 3
(
2 R
3 p+ 2 q
)
υ
p , q , R
=− 2 ∙ e
(
− 6 R
3 p+ 2 q
)
− 3 ∙ e
(
− 6 R
3 p+ 2 q
)
Derivando parcialmente:
∂υ
∂ R
=− 2 ∙ e
(
− 6 R
3 p + 2 q
)
3 p+ 2 q
− 3 ∙ e
(
− 6 R
3 p + 2 q
)
3 p+ 2 q
∂υ
∂ R
12 e
(
− 6 R
3 p+ 2 q
)
3 p+ 2 q
18 e
(
− 6 R
3 p+ 2 q
)
3 p+ 2 q
6 e
(
− 6 R
3 p + 2 q
)
3 p+ 2 q
30 e
(
− 6 R
3 p + 2 q
)
3 p+ 2 q
PROBLEMA #2.
Justificando los pasos y el método que emplee, se pide que resuelva el
siguiente problema de optimización:
máx
( x , y ) ϵ R
++ ¿
2
e
x+ y
2 + e
x+ y
¿
s.a.
3 x+ y= 4
Solución
Sea:
f
x , y
e
x + y
2 +e
x+ y
Derivando parcialmente:
∂ f
∂ x
e
x+ y
2 +e
x+ y
−e
x + y
e
x + y
2 +e
x+ y
2
∂ f
∂ x
2 e
x+ y
( 2 +e
x + y
2
Análogamente:
∂ f
∂ y
2 e
x + y
( 2 + e
x+ y
2
De igual manera, sea:
g ( x , y )= 3 x + y− 4
Derivando parcialmente:
∂ g
∂ x
∂ g
∂ y
Finalmente, se obtiene:
3 x+ y= 4
Si:
y= 0
x=
Si: x= 0
y= 4
Entonces: (4/3,4)
PROBLEMA #3.
Un consumidor tiene UM 600 para gastar en dos artículos, el primero de los
cuales tiene un valor de UM 20 por unidad y el segundo UM 30 por unidad. Si
la utilidad obtenida por el consumidor de x unidades del primer artículo e y
unidades del segundo artículo está dada por la función de utilidad de Cobb –
Douglas
U ( x , y )= 10 x
0,
y
0,
¿Cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para
maximizar la utilidad? USE multiplicadores de Lagrange.
Solución
Sea: U
x , y
= 10 x
0,
y
0,
Sujeta a:
20 x+ 30 y = 600
Entonces:
L
λ , x , y
= 10 x
0,
y
0,
− λ
20 x + 30 y− 600
(b) Explique qué metodología puede usar diferente de Multiplicadores de
Lagrange
(c) Determine la solución del problema
Solución
Sea: f ( x , y )=¿ ( x+ y ) + xy+ y
2
−x
2
−xy +xy + y− 4 y
2
=x + 2 y−x
2
− 3 y
2
Derivando parcialmente:
∂ f
∂ x
= 1 − 2 x
∂ f
∂ y
= 2 − 6 y
De igual manera, sea:
g ( x , y )=ax+ by−c
Igualando, se obtiene:
∂ f
∂ x
∂ f
∂ y
∂ g
∂ x
∂ g
∂ y
1 − 2 x
2 − 6 y
a
b
⟺ b− 2 bx= 2 a− 6 ay
Se resuelve el sistema de ecuaciones, que viene dado por:
{
b− 2 bx= 2 a− 6 ay ( 1 )
ax +by=c ( 2 )
(a) Calculando la matriz Hessiana:
H
f
d
2
f
d x
2
d
2
f
dxdy
d
2
f
dxdy
d
2
f
d y
2
|
|
Hf es definida negativa, por lo tanto, f es cóncava.
(b) Método habitual de optimización.
(c) De (a) tenemos que b+6ay=2a+2bx
6 ay = 2 a+ 2 bx−b ⟹ y=
2 a
6 a
2 bx
6 a
b
6 a
bx
3 a
b
6 a
Sustituyendo en la ecuación 2:
ax +b
bx
3 a
b
6 a
=c
ax +
b
b
2
x
3 a
b
2
6 a
=c
Resolviendo:
3 a
2
+b
2
x
3 a
=c +
b
2
6 a
b
3 a
2
2
x = 3 ac+
b
2
−ab
( 3 a
2
2
) x = 6 ac+b
2
− 2 ab
x=
6 ac +b
2
− 2 ab
3 a
2
+b
2
Sustituyendo x, en la ecuación 2:
a
(
6 ac+ b
2
− 2 ab
3 a
2
+b
2
)
+by=c
6 a
2
c+ a b
2
− 2 a
2
b
3 a
2
+b
2
+by =c
y=
b [
c−
6 a
2
c +a b
2
− 2 a
2
b
3 a
2
2
]
y=
b
2
c− 3 a
2
c −a b
2
2
b
3 a
2
+b
2
b
PROBLEMA #5.
