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Los Métodos de Runge-Kutta

(Parte 2 )

Módulo 8

Métodos Numéricos para Ingeniería 2021 2

Videoconferencia 09

Crecimiento exponencial de una poblacional: la población de ciertas especies

crece a una velocidad que es proporcional a la población presente y que

responde a un problema de valor inicial como sigue:

¿Cómo sería su solución numérica?

PROBLEMA APLICATIVO

Tema: LOS MÉTODOS DE RUNGE - KUTTA

TEMARIO

1. Métodos de Runge-Kutta
   2. Métodos de Runge-Kutta de segundo orden
2. Métodos de Runge-Kutta de tercer orden
3. Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden

Tema: LOS MÉTODOS DE RUNGE - KUTTA

1. LOS MÉTODOS DE RUNGE - KUTTA

Todos los métodos de Runge – Kutta (RK) tienen la forma general:

Donde ∅ 𝑡𝑖, 𝑦𝑖, ℎ se conoce como función increme nto, que puede interpretarse como la

pendiente representativa del intervalo. Esta función se escribe de forma general como:

𝑦𝑖+ 1 = 𝑦𝑖 + ∅ 𝑡𝑖, 𝑦𝑖, ℎ × ℎ

Donde los 𝑎𝑖 son constantes y los 𝑘 son:

( )

( )

( )

k f ( t p h y q k h q k h )

k f t p h y q k h q k h

k f t ph y q k h

k f t y

n i n i n n n n

i i

i i

i i

1 1 , 2 1 1 , 1 1

3 2 21 1 22 2

2 1 11 1

1

,

,

,

,

= + − + − + + − − −

= + + +

= + +

=





Observe que los 𝑘𝑖 son

relaciones de recurrencia, y

debido a ello los método de

Runge-Kutta son eficientes.

Es posible tener varios métodos de RK empleando diferentes números de términos en la función

incremento especificada por “𝑛”.

El método de RK de primer orden con 𝑛 = 1 es el método de Euler.

2. MÉTODOS DE RUNGE – KUTTA DE SEGUNDO ORDEN

EJEMPLO:

Utilice los métodos de Heun, Ralston y Punto

Medio para determinar la solución

aproximada de la EDO:

𝑑𝑦

𝑑𝑡

= − 2 𝑡^3 + 12 𝑡^2 − 20 𝑡 + 8. 5

desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 4 , con tamaño de paso

ℎ = 0. 5. La condición inicial es 𝑦 = 1 en 𝑡 =

1. Luego, compare con la solución exacta

𝑦 𝑡 = − 0. 5 𝑡^4 + 4 𝑡^3 − 10 𝑡^2 + 8. 5 𝑡 + 1.

Solución:

Por el método de Heun

y (^) i yi k k * h 2

1

2

1 1 1 2  

  



• = + +

( )

k f ( t^ h y k h )

k f t y

i i

i i

2 1

1

,

,

= + +

=

𝑦 0 = 𝑦 0 = 1

𝑦 1 = 𝑦 0. 5 = 𝑦 0 +

1

2

𝑘 1 +

1

2

𝑘 2 × ℎ

𝑘 1 = 𝑓 0 ; 1 = − 2 0 3 + 12 0 2 − 20 0 + 8. 5 = 8. 5

𝑘 2 = 𝑓 0. 5 ; 5. 25 = − 2 0. 5 3 + 12 0. 5 2 − 20 0. 5 + 8. 5 = 1. 25

𝑦 1 = 𝑦 0. 5 = 1 +

1 2

( 8. 5 ) +

1 2

( 1. 25 ) × 0. 5 = 3. 4375

𝑦 2 = 𝑦 1 = 𝑦 1 +

1

2

𝑘 1 +

1

2

𝑘 2 × ℎ

𝑘 1 = 𝑓 0. 5 ; 3. 4375 = − 2 0. 5 3 + 12 0. 5 2 − 20 0. 5 + 8. 5 = 1. 25

𝑘 2 = 𝑓 1 ; 2. 8125 = − 2 1 3 + 12 1 2 − 20 1 + 8. 5 = − 1. 5

𝑦 2 = 𝑦 1 = 3. 4375 +

1

2

( 1. 25 ) +

1

2

(− 1. 5 ) × 0. 5 = 3. 375

𝑦 3 = 𝑦 1. 5 = 𝑦 2 +

1

2

𝑘 1 +

1

2

𝑘 2 × ℎ

𝑘 1 = 𝑓 1 ; 3. 375 = − 2 1 3 + 12 1 2 − 20 1 + 8. 5 = − 1. 5

𝑘 2 = 𝑓 1. 5 ; 2. 625 = − 2 1. 5 3 + 12 1. 5 2 − 20 1. 5 + 8. 5 = − 1. 25

𝑦 3 = 𝑦 1. 5 = 3. 375 +

1

2

(− 1. 5 ) +

1

2

(− 1. 25 ) × 0. 5 = 2. 6875

2. MÉTODOS DE RUNGE – KUTTA DE SEGUNDO ORDEN

EJEMPLO:

Utilice los métodos de Heun, Ralston y Punto

Medio para determinar la solución

aproximada de la EDO:

𝑑𝑦

𝑑𝑡

= − 2 𝑡^3 + 12 𝑡^2 − 20 𝑡 + 8. 5

desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 4 , con tamaño de paso

ℎ = 0. 5. La condición inicial es 𝑦 = 1 en 𝑡 =

1. Luego, compare con la solución exacta

𝑦 𝑡 = − 0. 5 𝑡^4 + 4 𝑡^3 − 10 𝑡^2 + 8. 5 𝑡 + 1.

Solución:

El cálculo se repite para determinar:

𝑦 4 ; 𝑦 5 ; … ; 𝑦 8

Los resultados se resumen en la

siguiente tabla:

2. MÉTODOS DE RUNGE – KUTTA DE SEGUNDO ORDEN

EJEMPLO:

Utilice los métodos de Heun, Ralston y Punto

Medio para determinar la solución

aproximada de la EDO:

𝑑𝑦

𝑑𝑡

= − 2 𝑡^3 + 12 𝑡^2 − 20 𝑡 + 8. 5

desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 4 , con tamaño de paso

ℎ = 0. 5. La condición inicial es 𝑦 = 1 en 𝑡 =

1. Luego, compare con la solución exacta

𝑦 𝑡 = − 0. 5 𝑡^4 + 4 𝑡^3 − 10 𝑡^2 + 8. 5 𝑡 + 1.

Solución:

Por el método de Ralston

𝑦 0 = 𝑦 0 = 1

𝑦 1 = 𝑦 0. 5 = 𝑦 0 +

1

3

𝑘 1 +

2

3

𝑘 2 × ℎ

𝑘 1 = 𝑓 0 ; 1 = − 2 0 3 + 12 0 2 − 20 0 + 8. 5 = 8. 5

𝑘 2 = 𝑓 0. 375 ; 5. 25 = − 2 0. 375 3 + 12 0. 375 2 − 20 0. 375 + 8. 5 = 2. 58203

𝑦 1 = 𝑦 0. 5 = 1 +

1 3

( 8. 5 ) +

2 3

( 2. 58203 ) × 0. 5 = 3. 27734

y i yi k k * h

( )

 

  

 = + +

=

k f t hy k h

k f t y

i i

i i

2 1

1

4

3 , 4

3

,

𝒕𝒊 𝒚𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐 𝒚𝑹𝒂𝒍𝒔𝒕𝒐𝒏

0 1 1

0.5 3.21875 3.

1 3.00000 3.

1.5 2.21875 2.

2 2.00000 2.

2.5 2.71875 2.

3 4.00000 4.

3.5 4.71875 4.

4 3.00000 3.

2. MÉTODOS DE RUNGE – KUTTA DE SEGUNDO ORDEN

2. MÉTODOS DE RUNGE – KUTTA DE SEGUNDO ORDEN

𝒕𝒊 𝒚𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐 𝒚𝑯𝒆𝒖𝒏 𝒚𝑹𝒂𝒍𝒔𝒕𝒐𝒏 𝒚𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒐

0 1 1 1 1

0.5 3.21875 3.43750 3.27734 3.

1 3.00000 3.37500 3.10156 3.

1.5 2.21875 2.68750 2.34765 1.

2 2.00000 2.50000 2.14062 1.

2.5 2.71875 3.18750 2.85546 2.

3 4.00000 4.37500 4.11718 3.

3.5 4.71875 4.93750 4.80078 4.

4 3.00000 3.00000 3.03125 3.

La siguiente tabla muestra la comparación de los valores

verdadero y aproximado usando los métodos de RK (Heun,

Ralston y Punto Medio) de segundo orden, con un tamaño

de paso de 0. 5

Comparación gráfica de la solución verdadera

con soluciones numéricas usando tres métodos

de RK de segundo orden y el método de Euler.

3. MÉTODOS DE RUNGE – KUTTA DE TERCER ORDEN

y (^) i yi ( k 4 k k ) * h 6

1

• 1 = + 1 + 2 + 3

( )

k f ( t h y k h k h )

k f t h y k h

k f t y

i i

i i

i i

3 1 2

2 1

1

El más popular de los métodos de RK es el de tercer orden. La siguiente, es la forma

comúnmente usada, y por tanto, le llamamos método clásico RK de tercer orden

Donde:

PROBLEMA PROPUESTO

Utilice los métodos clásicos de RK de tercer y cuarto orden para determinar la solución aproximada

de la EDO:

𝑑𝑦

𝑑𝑡

= − 2 𝑡^3 + 12 𝑡^2 − 20 𝑡 + 8. 5

desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 4 , con tamaño de paso ℎ = 0. 5. La condición inicial es 𝑦 = 1 en 𝑡 = 0. Luego,

compare con la solución exacta 𝑦 𝑡 = − 0. 5 𝑡^4 + 4 𝑡^3 − 10 𝑡^2 + 8. 5 𝑡 + 1

Además implemente la solución utilizando el OCTAVE.

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