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Tema 1. Conjunto de consumo y preferencias

Pablo AmorÛs

Conjuntos de Consumo

I (^) Conjunto de alternativas o cestas de bienes A = fx, y , z, ..g. I (^) Individuos tienen preferencias sobre las alternativas I (^) xRy : x es al menos tan preferido como y I (^) Cada individuo se caracteriza por tener una relaciÛn de preferencias R (P e I se obtienen a partir de R): I (^) xPy : x es estrictamente preferido a y I (^) xPy si y solo si xRy y [no yRx] I (^) xIy : x es indiferente a y I (^) xIy si y solo si xRy e yRx

I (^) Se puede demostrar que si R es transitiva entonces lo siguiente es cierto: I (^) (a) xPy e yPz implica que xPz I (^) (b) xPy e yIz implica que xPz I (^) (c) xIy e yPz implica que xPz I (^) (d) xIy e yIz implica que xIz

Proposicion. Si R es transitiva, entonces es cuasi-transitiva. Prueba. HipÛtesis: R es transitiva. Tesis: R es cuasitransitiva. Supongamos que xPy e yPz. Queremos demostrar que netonces xPz es decir ( 1 ) xRz y ( 2 ) [no zRx]

• xPy implica que (a) xRy y (b) [no yRx] y
• yPz implica que (c) yRz y (d ) [no zRy ]
• (a) xRy y (c) yRz implican xRz (transitividad de R)
• Si zRx fuese cierto entonces tendrÌamos zRx y (a) xRy implican zRy (transitividad de R) lo que contradice (d). Por tanto zRx no puede ser cierto. Por tanto, xRz y [no zRx], por lo que xPz. Luego R es cuasi-transitiva. C.Q.D.

Las preferencias pueden ser cuasi-transitivas y no ser transitivas. Las preferencias pueden ser acÌclicas y no ser cuasi-transitivas. Ejemplo. Supongamos que a xPy , yPz, y xIz. Estas preferencias son acÌclicas (si ocurriese zPx, habrÌa un ciclo). Estas preferencias no son cuasi-transitivas, pues esto requerirÌa xPz.

I (^) DeÖniremos ahora lo que entendemos por mejores elecciones

de un individuo.

I (^) Sea S  A un conjunto de alternativas.

I (^) Sea C (R, S ) el conjunto de los mejores elementos en S:

I

C (R, S ) = fx 2 S : xRy para todo y 2 S g

I (^) øPodemos estar seguros de que los mejores elementos existen (es decir, que C (R, S ) es no vacÌo)?

Este proceso o bien tiene un Önal o bien ocurre indeÖnidamente. Dado que S es Önito, si el proceso ocurre indeÖnidamente, debe repetirse. Hay un ciclo. x 1 Pxk Pxk 1 P... x 3 Px 2 Px 1 Aplicando repetidamente transitividad obtenemos xk Px 1 lo que contradice x 1 Pxk. Por tanto el proceso no puede ser inÖnito y el conjunto de elecciÛn es no vacÌo. C.Q.D.

Cestas de consumo

I (^) A partir de ahora, las alternativas de las que hablaremos ser·n cestas de bienes y servicios. I (^) Supondremos que hay l bienes distintos en la economÌa. I (^) R l + conjunto de consumo de los individuos. I (^) Una cesta de consumo para el individuo i es un vector xi = (xi 1 , xi 2 , .., xil ) 2 R l +.

Bi(p,Mi)

• Bien - Mi/p
  • Mi/p - Bien

Preferencias. Propiedades

Cada individuo tiene una relaciÛn de preferencias R deÖnida sobre R l + que cumple las siguientes propiedades de orden:

Propiedades de ORDEN:

• Completitud.
• Transitividad.
• Reáexividad. Para todo x 2 R l +, xRx.

Ejemplo de preferencias no contÌnuas.

Preferencias Lexicogr·Öcas. Sean x, y 2 R^2 +, xPy si (1) x 1 > y 1 , o (2) x 1 = y 1 pero x 2 > y 2

Bien 2

Bien 1

xi

(2) Propiedades de CONVEXIDAD

Convexidad dÈbil. Se dice que la relaciÛn de preferencias R

cumple convexidad dÈbil si, para cualesqueira x, y 2 R l + y cualquier t 2 [ 0 , 1 ], si xRy , entonces tx + ( 1 t)y R y.

xi

yi

txi+(1-t)yi

Bien 1

Bien 2

xi

yi

txi+(1-t)yi

Bien 1

Bien 2

Si No

Lemma

Supongamos que R es completa. R es dÈbilmente convexa si y sÛlo si, para todo x, MI (x ) es convexo.

Convexidad estricta. Se dice que la relaciÛn de preferencias R

cumple convexidad estricta si, para cualesquiera x, y 2 R l + y cualquier t 2 ( 0 , 1 ), si xRy , entonces tx + ( 1 t)y P y.

yi

txi+(1-t)yi

Bien 1

Bien 2

xi

yi txi+(1-t)yi

Bien 1

Bien 2

Si No

xi

(3) Propiedades de MONOTONÕA

No saciabilidad. Se dice que la relaciÛn de preferencias R

cumple no saciabilidad si, para todo x 2 R l +, existe y 2 R l + tal que yPx.

xi

Bien 1 Si

Bien 2

Bien 1

Bien 2

No