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Introducción a la dinámica
Este tema tiene como objetivo básico la introducción al alumno en una de las herramientas básicas que vamos a utilizar para el análisis económico dinámico: los diagramas de fases. Los diagramas de fases constituyen una herramienta grá ca que se usa profusamente en el análisis macroeconómico dinámico y permite estudiar la dinámica temporal de las principales variables macroeconómicas, siendo una forma de presentar la solución de un modelo teórico así como la dinámica de las diferentes variables ante una determinada perturbación. Tal y como hemos estudiado en el tema correspondiente, la forma básica que vamos a utilizar para describir la economía es un sistema de ecuaciones diferenciales, las cuales describen el comportamiento a lo largo del tiempo de las variables de interés en función de ellas mismas y de un conjunto de variables exógenas. Para ello los ejercicios propuestos consisten en la aplicación de diferentes conceptos, tales como el estado estacionario, la estabilidad del sistema y su representación grá ca, a un conjunto de sistemas de ecuaciones diferenciales que no tienen signi cado económico. El objetivo que se persigue es simplemente familiarizarse con estos instrumentos y los conceptos asociados a los mismos, que posteriormente aplicaremos a modelos con contenido económico.
EJERCICIO 1.1: Considere el siguiente sistema de ecuaciones dinámicas:
x_ 1 ;t x _ 2 ;t
x 1 ;t x 2 ;t
z 1 ;t z 2 ;t z 3 ;t
Calcule el valor de las variables en estado estacionario.
SOLUCIÓN:
El sistema de ecuaciones diferenciales planteado tiene la siguiente forma matricial en términos generales:
x_ 1 ;t x _ 2 ;t
= A
x 1 ;t x 2 ;t
+ B
z 1 ;t z 2 ;t z 3 ;t
donde A es la matriz de coe cientes asociados a las variables endógenas (x 1 ;t, x 2 ;t)
A=
y B es la matriz de coe cientes asociados a las variables exógenas (z 1 ;t, z 2 ;t, z 3 ;t),
B =
Para calcular el Estado Estacionario partimos de su de nición. El Estado Estacionario se de ne como aquella situación en la cual todas las variables del sistema son constantes, es decir:
x_ 1 ;t x _ 2 ;t
EJERCICIO 1.2: Analice la estabilidad del siguiente sistema de ecuaciones dinámicas:
x_ 1 ;t x _ 2 ;t
x 1 ;t x 2 ;t
z 1 ;t z 2 ;t
SOLUCIÓN:
Para realizar el análisis de estabilidad del sistema y conocer cómo van a ser las trayectorias de las variables en relación al Estado Estacionario, debemos de calcular las raíces asociadas a la matriz de las variables endógenas. Para ello lo que tenemos que hacer es resolver una ecuación de segundo grado que la obtenemos de igualar a cero el determinante de la matriz de coe cientes asociados a las variables endógenas menos la matriz identidad. De este modo calcularíamos:
Det
A
de la cual obtendríamos una ecuación de segundo grado del tipo:
^2 + b + c = 0 (1.14)
siendo sus raíces:
b
p b^2 4 c 2
El signo de las dos raíces va a depender, por un lado del signo del coe ciente inmediatamente anterior a la raíz cuadrada ( b) y, por otro lado, del signo que aparece dentro de la raíz cuadrada. Así, podemos comprobar que el primer término dentro de la raíz cuadrada simplemente es el coe ciente anterior a dicha raíz pero elevado al cuadrado (b^2 ). Por tanto, si el segundo término de la raíz cuadrada fuese cero (c = 0), entonces tendríamos que al resolver la raíz cuadrada nos quedaría:
b
p b^2 2
b b 2
por lo que nos quedaría que una de las raíces sería segativa y la otra nula: 1 = b; 2 = 0: Por tanto, la clave está en el signo que aparece en la raíz cuadrada, que es el que nos va a decir si al resolver la raíz cuadrada, el resultado es mayor o menor que el coe ciente anterior a la misma. Obviamente, si el signo es positivo, el resultado de resolver la raíz cuadrada es superior al coe ciente anterior a la misma y lo contrarío sucedería su el signo dentro de la raíz cuadrada fuese negativo. Con este sencillo truco ya podemos calcular el signo de las raíces asociadas a la matriz A. En el problema propuesto tendríamos
Det
Calculando el determinante, agrupando términos e igualando a cero, llegamos a la siguiente ecuación de segundo grado:
^2 ( + ) + ( + ) = 0 (1.18)
cuyas raíces van a ser las siguientes:
p ( + )^2 4( + ) 2
Resolviendo, obtenemos que las dos raíces son positivas:
Como podemos comprobar, al resolver la raíz cuadrada, el resultado que nos queda es un valor más pequeño que el coe ciente asociado a , dado que:
p ( + )^2 4( + ) < ( + ) (1.21)
Por otra parte, el primer término de la expresión (1.21), ( + ) es positivo. Por tanto tenemos que un valor positivo más algo más pequeño, resulta en un valor positivo. Un valor positivo menos algo más pequeño, resulta en un valor positivo. Por tanto, las dos raíces son positivas.
mismas, de las in nitas soluciones que tiene. En concreto vamos a representar dichas ecuaciones cuando su valor es cero, que es a lo que vamos a denominar una ecuación de equilibrio dinámico, ya que estamos representando la combinación de valores de las variables endógenas, dadas unas variables exógenas, tal que las variables endógenas no cambien, es decir, sean constantes en el tiempo. Como son ecuaciones lineales, para realizar su respresentación grá ca únicamente tenemos que calcular su pendiente. Para calcular la pendiente de la ecuación diferencial de la primera variable endógena, bajo la restricción de que la derivada con respecto al tiempo de esta variable es cero, partimos de la condición de equilibrio parcial para dicha variable:
x _ 1 ;t = x 1 ;t + x 2 ;t z 1 ;t + z 3 ;t = 0 (1.25)
esto es, igualamos a cero la primera ecuación diferencial del sistema. Para hacer la derivada únicamente tenemos que despejar una variable endógena en términos de otra, tal que:
x 1 ;t = x 2 ;t z 1 ;t + z 3 ;t (1.26)
Dado que vamos a representar a la variable endógena 1 en el eje horizontal y a la varible endógena 2 en el eje vertical, para calcular la pendiente de la expresión (1.26), tenemos que despejar x 2 ;t en función de x 1 ;t, de forma que:
x 2 ;t =
x 1 ;t +
z 1 ;t
z 3 ;t (1.27)
por lo que la pendiente de esta condición de equilibrio dinámica parcial simplemente sería el coe ciente que multiplica a la variable x 1 ;t, y la expresamos de la siguiente forma:
dx 2 ;t dx 1 ;t
j (^) x_ 1 ;t=0=
esto es, la pendiente de esta condición de equilibrio dinámica es negativa, por lo que su representación grá ca es la que aparece en la
gura 1.1.
6
^ -
x 1 ;t
x 2 ;t
@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @
@ (^) x_ 1 ;t = 0
dx 2 ;t dx 1 ;t j^ x_^1 ;t=0=^
Figura 1.1: Condición de equilibrio dinámica parcial para la variable x 1 ;t
Esta representación grá ca nos indica la combinación de valores para las variables endógenas que tiene que existir en un momento dado del tiempo para que la variable endógena 1 permanezca constante, es decir, no cambie de valor. Así, obtenemos que dicha relación es negativa. Es decir, si el valor de x 1 ;t es muy alto, para que dicho valor permanezca constante en el tiempo, entonces el valor de x 2 ;t tiene que ser muy bajo. A continuación, repetimos el mismo procedimiento para la segunda variable endógena. Igualando a cero la segunda ecuación diferencial del sistema:
x _ 2 ;t = x 1 ;t x 2 ;t + z 2 ;t + z 3 ;t = 0 (1.29) Despejando la segunda variable endógena en términos de la primera, obtenemos que:
x 2 ;t =
x 1 ;t +
z 2 ;t +
z 3 ;t = 0 (1.30)
Por tanto, la pendiente de la ecuación diferencial de la segunda variable endógena, bajo la restricción de que la derivada con respecto al tiempo de esta variable es cero, sería la siguiente:
horizontal. Una echita hacia la derecha nos indicaría que la variable aumenta (su derivada respecto al tiempo sería positiva) mientras que una echita hacia la izquierda nos indicaría que la variable disminuye (su derivada respecto al tiempo sería negativa). Para construir este diagrama de fases procedemos de siguiente modo. En primer lugar, jamos un punto de desequilibrio, por ejemplo a la derecha de la condición de equilibrio dinámica parcial. En todos estos puntos, o bien, la variable endógena 1 es muy elevada respecto al valor que tendría que tener en equilibrio, o bien dado un valor de la variable endógena 1, el valor de la variable engónena 2 es muy elevado. Con esta información nos vamos a nuestra ecuación diferencial, que sabemos es diferente de cero, dado que no estamos situados sobre ella:
x _ 1 ;t = x 1 ;t + x 2 ;t z 1 ;t + z 3 ;t 6 = 0 (1.32)
Ahora lo que tenemos que hacer es ver como sería el signo en función de los valores de las variables endógenas en desequilibrio y del signo de los coe cientes asociados a los mismos. Por ejemplo, en esta zona, la variable x 1 ;t sería muy elevada (dado un valor de x 2 ;t) y lleva asociado un signo positivo, por lo que dicha ecuación sería positiva, x_ 1 ;t > 0 , es decir, en esta zona x 1 ;t aumentaría en el tiempo. Por tanto, la echita en esta zona la dibujamos hacia la derecha, indicando que en todas estas situaciones de desequilibrio la derivada de la variable endógena 1 respecto al tiempo es positiva, por lo que su valor aumentaría. El mismo análisis lo podríamos hacer usando la variable x 2 ;t dado un valor de x 1 ;t, y obtendríamos el mismo resultado. Si repetimos este mismo análisis en la zona de la izquierda, observamos que ahora la derivada sería negativa, por lo que la echita iría hacia la izquierda. La gura 1.3 muestra como sería el diagrama de fases para la variable x 1 ;t. La línea recta con pendiente negativa indica la combinación de valores de las variables endóneas tal que la derivada de esta variable con respecto al tiempo es cero, es decir, su valor permanece constante en el tiempo. Fuera de esta línea con pendiente negativa, la derivada es distinta de cero (o positiva o negativa). Como podemos comprobar, a la derecha de esta línea, la derivada es positiva, lo que indicamos con una echa hacia la derecha, mientras que a la izquierda su derivada es negativa, lo que viene indicado por una echa hacia la izquierda.
6
^ -
x 1 ;t
x 2 ;t
-
@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @
@ (^) x_ 1 ;t = 0
dx 2 ;t dx 1 ;t j^ x_^1 ;t=0=^
Figura 1.3: Diagrama de fases de la variable x 1 ;t
El mismo procedimiento lo aplicaríamos a la variable endógena 2. La representación grá ca del diagrama de fases correspondiente para esta variable aparece en la gura 1.4.
6
^ -
x 1 ;t
x 2 ;t
?
6
x_ 2 ;t = 0
dx 2 ;t dx 1 ;t j^ x_^1 ;t=0=^ >^0
Figura 1.4: Diagrama de fases de la variable x 2 ;t
EJERCICIO 1.4: Considere el siguiente sistema de ecuaciones
x_ 1 ;t x _ 2 ;t
x 1 ;t x 2 ;t
z 1 ;t z 2 ;t
Se pide:
- Valor de las variables en estado estacionario.
- Análisis de estabilidad.
- Representación grá ca de las condiciones de equilibrio dinámicas y diagrama de fases.
- Análisis de los efectos de un aumento en z 1 ;t.
SOLUCIÓN:
- Valor de las variables en Estado Estacionario: El sistema de cuaciones diferenciales planteado tiene la siguiente forma matricial en términos generales:
x_ 1 ;t x _ 2 ;t
= A
x 1 ;t x 2 ;t
+ B
z 1 ;t z 2 ;t
donde A es la matriz de coe cientes asociados a las variables endógenas y B es la matriz de coe cientes asociados a las variables exógenas. El Estado Estacionario se de ne como aquella situación en la cual todas las variables del sistema son constantes, es decir:
x_ 1 ;t x _ 2 ;t
para lo cual se hace necesario que:
A
x 1 ;t x 2 ;t
= B
z 1 ;t z 2 ;t
siendo en este caso x 1 ;t = x 1 ;t y x 2 ;t = x 2 ;t. Por tanto, para calcular el valor de las variables en estado estacionario tenemos que calcular el siguiente vector: x 1 ;t x 2 ;t
= A ^1 Bzt (1.37)
por lo que tendríamos:
x 1 ;t x 2 ;t
z 1 ;t z 2 ;t
y multiplicando ambas matrices obtenemos:
x 1 ;t x 2 ;t
z 1 ;t z 2 ;t
Por tanto, el valor de las variables en estado estacionario sería:
x 1 ;t =
z 1 ;t
z 2 ;t (1.40)
x 2 ;t = +
z 1 ;t +
z 2 ;t (1.41)
Como podemos comprobar el valor de las dos variables endógenas en estado estacionario depende del valor de las dos variables exógenas.
- Análisis de estabilidad del sistema: Para analizar la estabilidad del sistema tenemos que calcular los valores propios asociados al mismo y en concreto, es su signo (positivo o negativo) lo que nos interesa. Para calcular el signo de los valores propios procedemos como sigue. En primer lugar calculamos el siguiente determinante y lo igualamos a cero:
Det [A I] = 0
Det
= Det
a partir del cual obtendríamos la siguiente ecuación de segundo grado:
Vamos a representar x 2 ;t en el eje vertical y x 1 ;t en el eje horizontal, por lo que tendríamos que derivar x 2 ;t respecto a x 1 ;t. Calculamos la pendiente de la primera ecuación diferencial:
x 1 ;t x 2 ;t + z 1 ;t + z 2 ;t = 0 (1.47)
x 2 ;t = x 1 ;t z 1 ;t z 2 ;t (1.48)
x 2 ;t =
x 1 ;t
z 1 ;t
z 2 ;t (1.49)
Por tanto, obtenemos que:
dx 2 ;t dx 1 ;t
j (^) x_ 1 ;t=0=
por lo que la pendiente sería positiva. A continuación realizamos el mismo procedimiento con la segunda ecuación de equilibrio parcial:
x 1 ;t + x 2 ;t z 2 ;t = 0 (1.51)
x 2 ;t =
x 1 ;t +
z 2 ;t (1.52)
por lo que resulta
dx 2 ;t dx 1 ;t
j (^) x_z;t=0=
es decir, la pendiente sería negativa. Esta línea con pendiente positiva nos indica la combinación de valores que tienen que tomar las variables endógenas 1 y 2, para que la variable endógena 1 sea constante en el tiempo, es decir, su derivada con respecto al tiempo sea nula. Por tanto, cualquier combinación de valores que se encuentre fuera de dicha recta nos indicaría que la variable endógena 1 no es constante, y por tanto, o bien estaría aumentando (su derivada respecto al tiempo sería positiva) o bien estaría disminuyendo (su derivada respecto al tiempo sería negativa). A la derecha de dicha condición de equilibrio dinámica nos encontramos con que o bien x 1 ;t es muy grande (respecto al valor que tendría que tener para que existiese equilibrio parcial) o bien x 2 ;t es muy pequeño (respecto al valor que tendría
que tener para que existiese equilibrio parcial). Analizamos los signos que tienen dichas variable sen la ecuación dinámica para la variable x 1 ;t. Como podemos comprobar, el signo asociado a x 1 ;t es positivo, mientras que el signo asociado a x 2 ;t es negativo. Por tanto, si x 1 ;t es muy grande y su signo es positivo, entonces la ecuación es mayor que cero, es decir, la derivada con respecto al tiempo de la varaible endógena x 1 ;t es positiva, por lo que su valor aumentaría. Alternativamente, podemos hacer el mismo análisis en términos de x 2 ;t: Así, a la derecha de esta condición de equilibrio dinámica x 2 ;t es muy pequeño y dado que tiene un signo negativo, este valor negativo sería inferior al que se requiere para que x 1 ;t sea constante, por lo que la ecuación sería positiva. Por tanto, x 1 ;t aumentaría a la derecha de esta condición dinámica mientras que disminuiría en cualquier combinación de valores situados a su izquierda.
6
^ -
x 1 ;t
x 2 ;t
-
x_ 1 ;t = 0
dx 2 ;t dx 1 ;t j^ x_^1 ;t=0=^ >^0
Figura 1.6: Representación de la dinámica de la variable 1
A continuación repetimos el mismo análisis en término de la ecuación dinámica de equilibrio parcial para la variable endógena
- En primer lugar representamos grá camente dicha condición de equilibrio dinámica parcial, observando que tiene pendiente negativa. En este caso, para que x 2 ;t sea constante en el tiempo, se requiere que la relación entre las dos variables endógenas sea inversa, es decir
el comportamiento de nuestras variables en cada situación, a la vez que podemos de nir el estado estacionario en términos grá cos.
6
^ -
x 1 ;t
x 2 ;t
6 -
?
6
?
@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @
@
x _ 2 ;t = 0
x_ 1 ;t = 0
EE 0
x 1
x 2
Figura 1.8: Representación del diagrama de fases
- Análisis de los efectos de un aumento en z 1 ;t: Para analizar los efectos temporales de una perturbación, en primer lugar, tenemos que calcular el nuevo estado estacionario una vez que se ha producido dicha perturbación, que correspondería con sus efectos en el largo plazo. El nuevo estado estacionario puede ser calculado de dos formas. O bien derivamos el valor de las variables en estado estacionario respecto a la perturbación y vemos cuáles son sus signos, o bien analizamos como cambian las condiciones de equilibrio dinámicas, para representar su nueva solución. Así, dados los valores de estado estacionario obtenemos que:
x 1 ;t =
z 1 ;t
z 2 ;t (1.54)
x 2 ;t = +
z 1 ;t +
z 2 ;t (1.55)
Por tanto, derivando respecto a la perturbación que se ha producido obtenemos:
@x 1 ;t @z 1 ;t
@x 2 ;t @z 1 ;t
Vemos como la derivada del valor de estado estacionario de x 1 ;t respecto a la perturbación es negativa, mientras que la derivada de x 2 ;t es positiva. Esto signi ca que, a largo plazo, en el nuevo estado estacionario esta perturbación ha provocado una disminución de x 1 ;t y un aumento de x 2 ;t, respecto al estado estacionario inicial. Por tanto, el nuevo equilibrio se situaría hacia arriba y hacia la izquierda del punto de equilibrio inicial. Otra forma de calcular el nuevo estado estacionario es a través del análisis grá co, analizando cómo cambia la solución particular igual a cero de nuestras condiciones de equilibrio dinámicas. Tal y como podemos observar, la variable exógena z 1 ;t sólo aparece en la ecuación correspondiente a la variable endógena x 1 ;t. Esto signi ca que la representación grá ca para la ecuación diferencial de la variable endógena x 2 ;t no experimenta ninguna variación, pero si cambia la correspondiente a x 1 ;t, ya que cambia la constante de la misma (representada por las variables exógenas). Esto signi ca que únicamente se va a producir una alteración en la representación grá ca de la condición de equilibrio dinámica parcial de la variable x 1 ;t, mientras que la correspondiente a la variable x 2 ;t permanece sin alteración. Para conocer la nueva representación grá ca de esta ecuación diferencial, tenemos que observar el signo de la perturbación y el signo de una de las variables endógenas. Así, vemos que el signo de z 1 ;t es positivo. Por tanto, la ecuación, que partía de un valor de cero, al aumentar su constante (que tiene signo positivo) se hace positiva. Para volver a representar su solución para la cual la ecuación es cero, tenemos que volver a equilibrarla, es decir, o algo positivo dentro de dicha ecuación tiene que disminuir o algo negativo tiene que aumentar. Si observamos el signo asociado a x 1 ;t vemos que este es positivo, por lo que x 1 ;t tendría que disminuir para que esta ecuación volviese a ser cero. Esto signi ca que ahora para cada valor de x 2 ;t, el valor de x 1 ;t tiene que ser menor para que para que su valor se mantenga constante en el tiempo. En términos grá cos es como si esta condición de equilibrio dinámica se hubiese desplazado hacia la izquierda.
