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INTRODUCCI”N
No es de extraÒar que todo el mundo crea que entiende de EconomÌa y que sin embargo la mucha pasiÛn se acompaÒe a menudo de argumentos pobres. La EconomÌa es una ciencia social y estudia el comportamiento de seres humanos. Se siente como insatisfactoria una ciencia social que no responda a la visiÛn intuitiva que tenemos de nosotros mismos. Y es cierto que ello nos da a menudo material sobre el que construir teorÌas. En eso la EconomÌa se diferencia, por ejemplo, de la FÌsica. Pasar de esto a pensar que cualquier cosa que nos parezca plausible encierra el secreto de la organizaciÛn econÛmica del mundo es una exageraciÛn, en la que a menudo se cae. Pero la EconomÌa es una ciencia y por ello deber· conformar su proceder a las reglas metodolÛgicas que rigen el hacer cientÌÖco en otras disciplinas. Ello conduce a la elaboraciÛn de modelos basados en hipÛtesis de comportamiento lo m·s generales posibles y a la obtenciÛn de conclusiones por un procedimiento enteramente deductivo. AquÌ juegan un papel decisivo las Matem·ticas. El elemento m·s caracterÌstico de las Matem·ticas es el proceder de los supuestos a las conclusiones de un modo enteramente lÛgico mediante un procedimiento enteramente deductivo. La validez y el atractivo del proceso radica en que el ˙nico conocimiento a priori que se exige es el de las reglas del razonamiento deductivo y no necesita para nada del conocimiento de las propiedades del mundo al que se aplica. Que este mundo sea el econÛmico es relevante en el diseÒo del modelo. Si las hipÛtesis son las adecuadas y el razonamiento sin fallos, las conclusiones, que son las predicciones del modelo, son inapelables. Si resultaran falsadas por la realidad de forma sistem·tica, deberÌa reformularse el modelo, es decir reformularse las hipÛtesis. En este curso se pretende que conozc·is mejor el car·cter de los modelos econÛmicos y que se·is capaces de derivar sus predicciones, una condiciÛn necesaria para que, en el futuro pod·is vosotros elaborar teorÌas o saber usar las existentes en vuestro trabajo. (Carmen Carrera)
BIBLIOGRAFIA.
(GR1) Gravelle, H and Rees, R.(1992). Microeconomics. Ed. Longman Group Limited. (GR2) Gravelle, H and Rees, R.(2006). MicroeconomÌa, 3a^ ed. Pearson Prentice Hall. (MC) Mas-Colell y otros (1995). Microeconomic Theoy. Ed. Oxford University Press. (NW) Nicholson, W. (2005). TeorÌa MicroeconÛmica: principios b·sicos y apl. Ed. McGraw Hill. (9a^ ed.). (PR) Pindyck, R, y Rubinfeld, D, (2013). MicroeconomÌa. Ed. Pearson (8a^ ed.) (JS) Segura, J. (1994). An·lisis MicroeconÛmico. Ed. Alianza editorial (3a^ ed.). (HV) Varian, H. (1993). An·lisis MicroeconÛmico. Ed. Antoni Boch (3a^ ed.).
CapÌtulo 1. EL CONJUNTO PRESUPUESTARIO Y LAS PREFERENCIAS.
La Ögura central de la teorÌa de la demanda de bienes es el consumidor. Supondremos que nuestro consumidor es optimizador, es decir tomar· sus decisiones de consumo eligiendo "lo mejor" entre "lo posible". Supondremos que nuestro consumidor puede elegir entre n bienes de consumo (inÖnitamente divisibles), X 1 ; : : : ; Xn: Sea X el conjunto de todas las posibles de cestas de consumo. IdentiÖcaremos el espacio X con el conjunto Rn + = fx 2 Rn^ : xi 0 g : Un bien se deÖne como una mercancÌa o servicio disponible en un lugar y tiempo dados. Por ello, puede identiÖcarse el vector x 2 X con los consumos de distintos perÌodos, con consumos en distintos lugares y tiempo, etc. Si lo que el consumidor entiende por "lo mejor" puede cuantiÖcarse mediante una funciÛn u : Rn +! R; el consumidor determinar· las cantidades a consumir de los distintos bienes resolviendo el problema de optimizaciÛn maxx u(x) s. a: x 2 CP
donde CP ser· el conjunto de "lo posible". En la primera parte del curso, nos centraremos en el problema (1) y problemas de optimizaciÛn duales asociados. Estudiemos previamente con algo m·s de detalle cada una de las partes del problema de optimizaciÛn anterior.
- El conjunto presupuestario.
Supongamos un consumidor que dispone de una renta m que puede gastar entre n bienes de consumo X 1 ; : : : ; Xn con precios p 1 ; : : : ; pn: En este caso, el conjunto de "lo posible" es el llamado conjunto presupuestario y viene dado por
CP = f(x 1 ; : : : ; xn) 2 Rn^ : p 1 x 1 + + pnxn m; x 1 0 ; : : : ; xn 0 g
x 2 Rn + : px m :
Observe que, dados m; p > 0 ; el conjunto presupuestario es cerrado y acotado. Si la funciÛn u(x) fuese continua, el teorema de Weierstrass garantizar· la existencia de soluciÛn del problema de optimizaciÛn (1). En todos los desarrollos teÛricos siempre consideraremos conjuntos presupuestarios deÖnidos a partir del hiperplano px = m: Sin embargo, en muchas ocasiones los conjuntos presupuestarios pueden tener otras formas. Consideraremos aquÌ un ejemplo concreto.
Ejemplo 1. Considere dos bienes de consumo X 1 y X 2 con precios p 1 y p 2 y suponga que las primeras x 1 unidades del bien X 1 est·n subvencionadas con s u.m. por unidad consumida. En este caso, si la cantidad x 1 consumida de bien X 1 es inferior o igual a x 1 ; se pagar· un precio p 1 s por unidad. Las unidades compradas por encima de x 1 se siguen pagando a precio p 1 : El conjunto presupuestario ser·, ver gr·Öco 1,
(p 1 s)x 1 + p 2 x 2 m; si x 1 x 1 (p 1 s)x 1 + p 1 (x 1 x 1 ) + p 2 x 2 m; si x 1 > x 1 :
(p 1 s)x 1 + p 2 x 2 m; si x 1 x 1 p 1 x 1 + p 2 x 2 m + sx 1 ; si x 1 > x 1 :
Se tendrÌan conjuntos presupuestarios "similares" a los del ejemplo anterior si hubiese, adem·s, restricciones temporales, cuando alguno de los bienes estÈ racionado, si se establecen impuestos "parciales", si los precios pagados dependen de las cantidades compradas, etc.
preferencias % que nos permitan asegurar la existencia de una funciÛn de utilidad y que, adem·s, nos faciliten la resoluciÛn del problema de optimizaciÛn (1).
HipÛtesis 1. Completitud. Para cualquier par de cestas x e y; se tendr· que o bien x % y o y % x (o ambos).
HipÛtesis 2. Transitividad. Dadas tres cestas x; y; z 2 Rn +; si x % y e y % z entonces x % z:
Si una relaciÛn de preferencias % cumple las hipÛtesis de completitud y transitividad se dice que las prefer- encias % son racionales. Aparentemente, la hipÛtesis de racionalidad siempre deberÌa cumplirse. Sin embargo existen situaciones, en apariencia racionales, que no cumple la hipÛtesis de transitividad. Por ejemplo, en problemas de elecciÛn social (ver p·ginas 7-8 de Mas-Colell). Como consecuencia de las hipÛtesis anteriores se tiene
ProposiciÛn 1. Si las preferencias % son racionales entonces: a) Si x y % z o x % y z entonces x z: b) La relaciÛn es transitiva. c) La relaciÛn es reáexiva y transitiva. DemostraciÛn. Queda como ejercicio para el lector.
DeÖniciÛn 1. Dada la cesta x^0 2 Rn +; los conjuntos de cestas preferidas o indiferentes (S+(x^0 )), no preferidas o indiferentes (S (x^0 )) y de indiferencia (S(x^0 )) a x^0 son:
S+(x^0 ) =
x 2 Rn + : x % x^0 S (x^0 ) =
x 2 Rn + : x % x^0 S(x^0 ) =
x 2 Rn + : x x^0
ProposiciÛn 2. Sean % unas preferencias racionales y sean x^0 ; y^0 2 Rn +: Entonces, o bien S(x^0 ) = S(y^0 ) o S(x^0 ) \ S(y^0 ) = ?: DemostraciÛn. Queda como ejercicio para el lector.
SerÌa f·cil probar que si unas preferencias % vienen representadas por una funciÛn de utilidad entonces seguro que las preferencias % son racionales. Sin embargo, la racionalidad de las preferencias no garantiza la existencia de una funciÛn de utilidad y es necesario aÒadir hipÛtesis adicionales.
HipÛtesis 3. Continuidad. Si xk % yk; 8 k 1 entonces x % y; donde limk!1 xk = x y limk!1 yk = y:
La hipÛtesis de continuidad tambiÈn puede establecerse en tÈrminos de los conjuntos S+(x) y S (x): Puede probarse que las preferencias % son continuas si y solo si los conjuntos S+(x) y S (x) son cerrados. Las tres hipÛtesis anteriores garantizan la existencia de una funciÛn de utilidad.
Teorema 1. Si las preferencias % deÖnidas en Rn + son racionales y continuas entonces existe una funciÛn de utilidad continua u : Rn +! R que representa a % : DemostraciÛn. Ver "TeorÌa del Valor", G. Debreu (1959). Debreu da una demostraciÛn en un contexto m·s general cuando las preferencias est·n deÖnidas en un conjunto X conexo. Otra demostraciÛn para X convexo puede verse en "http://press.princeton.edu/rubinstein/lecture2.pdf".
En estas notas daremos una demostraciÛn al teorema 1 aÒadiendo una hipÛtesis adicional. Dadas dos cestas x = (x 1 ; : : : ; xn) e y = (y 1 ; : : : ; yn) ; denotamos por x > y cuando xi > yi; 8 i: Si xi yi; 8 i; pondremos x y:
HipÛtesis 4. MonononÌa. Las preferencias % son monÛtonas si 8 x; y 2 Rn + con x > y; se cumple que x y: Se dice que % son estrictamente (fuertemente) monÛtonas si 8 x; y 2 Rn + con x y y x 6 = y; se cumple que x y:
A veces en lugar de hablar de monotonÌa se establece la hipÛtesis m·s dÈbil de no-saciabilidad local. Las preferencias % presentan no-saciabilidad local si 8 x 2 Rn + y 8 " > 0 ; 9 y 2 Rn + tal que kx yk < " e y x: Es
decir, en cualquier entorno de x siempre existe una cesta preferida a x:
Ejercicio 2. Demuestre que: a) Si % son estrictamente monÛtonas entonces % son monÛtonas. b) Si % son monÛtonas entonces % presentan no-saciabilidad local.
Una consecuencia de la no-saciabilidad local (y por tanto de la monotonÌa) es que los conjuntos de indiferencia tienen interior vacÌo, es decir, los conjuntos de indiferencia no son "gordos". Probaremos a continuaciÛn el teorema 1.
DemostraciÛn teorema 1 (con monotonÌa). Lo probaremos en dos partes. (1) Probaremos que 8 x 2 Rn + existe una cesta con todas las coordenadas iguales, que denotaremos por (^1) x = ( (^) x; : : : ; (^) x) ; que es indeferente a x: (2) La funciÛn u(x) = (^) x es una funciÛn de utilidad continua. (1) Dada una cesta x = (x 1 ; : : : ; xn) ; sean
xmax = max fx 1 ; : : : ; xng xmin = min fx 1 ; : : : ; xng
y consideremos las cestas 1 xmax = (xmax; : : : ; xmax) y 1 xmin = (xmin; : : : ; xmin) : Si xmax = xmin; entonces x tiene todas sus coordenadas iguales (est· en la diagonal principal, ver gr·Öco 2). En este caso, (^1) x = x: Si xmax > xmin; por monotonÌa se tendr· que 1 xmax 1 xmin; 1 xmax % x; x % 1 xmin: Como las preferencias son completas y monÛtonas debe existir (^) x 2 [xmin; xmax] tal que x (^1) x = ( (^) x; : : : ; (^) x) : Es decir, ver gr·Öco 2, la curva de indiferencia S(x) debe cortar a la diagonal principal en alg˙n punto del intervalo [xmin; xmax] : Supongamos que no existe (^) x 2 [xmin; xmax] : En este caso, por monotonÌa y completitud de las preferencias, se tendrÌa que (^1) x x o x (^1) x; (^8) x 2 [xmin; xmax] : Si (^1) x x entonces, por continuidad, 1 xmin x: De manera an·loga, si x (^1) x; por continuidad se tendr· que x 1 xmax: Luego, necesariamente existe (^) x 2 [xmin; xmax] tal que x (^1) x:
Gr·Öco 2
Con algo m·s de rigor: Sea A+ = f 2 R+ : 1 % xg y sea A = f 2 R+ : x % 1 g : Los conjuntos A+ y A son conjuntos cerrados (pues preferencias continuas) y no vacÌos. Como las preferencias son completas, R+ A+ [ A : Adem·s, A+ \ A 6 =? pues A+ y A son cerrados. Como R+ es un conjunto conexo, entonces (^9) x 2 [xmin; xmax] ; (^) x 2 A+ \ A ; con (^1) x x: Observe que, por monotonÌa, A+ \ A contiene un ˙nico elemento. (2) Veamos que la funciÛn u(x) = (^) x es una funciÛn de utilidad, es decir, x % y () (^) x (^) y :
Nosotros adoptaremos la segunda de las deÖniciones. La primera de ellas tendrÌa m·s sentido cuando fuesemos a considerar la posibilidad de curvas de indiferencia tanto crecientes como decrecientes. Pero como siempre trabajaremos con la hipÛtesis de monotonÌa, nunca tendremos curvas de indiferencia crecientes.
En el caso de n bienes de consumo, la diferencial de la funciÛn u es
du =
X^ n
i=
ui(x^0 )dxi:
Supuesto que del punto x^0 pasasemos a otro punto de la misma curva de indiferencia modiÖcando (inÖnitesi- malmente) solo las variables xi y xj ; se tendrÌa que
0 = ui(x^0 )dxi + uj (x^0 )dxj ) dxi dxj (^) u 0
uj (x^0 ) ui(x^0 )
que es la valoraciÛn que hace el consumidor del bien Xj en tÈrminos del bien Xi: Ahora pondremos
RM Sij =
dxi dxj (^) u 0
uj (x^0 ) ui(x^0 )
La continuidad de la funciÛn de utilidad junto con un conjunto presupuestario cerrado y acotado, garantiza la existencia de soluciÛn para el problema de optimizaciÛn (1). Si las preferencias son monÛtonas, se tendr· que la soluciÛn de (1) estar· en la "recta" de balance px = m: øCu·ndo se podr· garantizar que los puntos crÌticos del lagragiano asociado al problema (1) son los que maximizan la utilidad del consumidor? Para este propÛsito imponemos la hipÛtesis de convexidad.
HipÛtesis 5. Convexidad. Las preferencias % son convexas si cuando x^0 % x y x^1 % x; se tiene que x^0 + (1 ) x^1 % x; 8 2 [0; 1] : Si cuando x^0 % x y x^1 % x; se tiene que x^0 + (1 ) x^1 x; 8 2 (0; 1) ; se dice que % son estrictamente convexas. Esta hipÛtesis puede establecerse en tÈrminos del conjunto S+(x): Se tiene que:
Preferencias convexas () El conjunto S+(x) convexo Preferencias estrictamente convexas () El conjunto S+(x) es estrictamente convexo
(Diremos que un conjunto es estrictamente convexo cuando no tiene tramos lineales en su frontera). Si las preferencias son, adem·s, monÛtonas se tiene que
Preferencias convexas () La superÖcie de nivel S(x) es convexa Preferencias estrictamente convexas () La superÖcie de nivel S(x) es estrictamente convexa
Gr·Öco 3A. Pref. estrictamente convexas (^) Gr·Öco 3B. Pref. convexas
Gr·Öco 3C. Pref. no convexas
ObservaciÛn 3. Una manera equivalente de deÖnir preferencias convexas serÌa como sigue. Las preferencias % son convexas si cuando x^0 % x^1 ; se tiene que x^0 + (1 ) x^1 % x^1 ; 8 2 [0; 1] : SerÌan estrictamente convexas si x^0 + (1 ) x^1 x^1 ; 8 2 (0; 1) : El lector interesado puede probar la equivalencia entre estas dos deÖniciones.
En el caso de dos bienes de consumo, la convexidad de las preferencias puede establecerse en tÈrminos de la RSM: Se tendr· que unas preferencias representadas por la utilidad u ser·n convexas (estrictamente) si y solo si la RM S es no creciente (decreciente) respecto de x 1 : Para el caso general de n bienes de consumo, la condiciÛn RSMij decreciente para todo i; j no garantiza la convexidad de las preferencias (ver teorema 3).
DeÖniciÛn 2. Sea u : Rn +! R: La funciÛn u se dice que es cuasicÛncava (estrictamente) si y solo si tiene conjuntos "sobrenivel" convexos (estrictamente). Es decir los conjuntos S+ =
x 2 Rn + : u(x) c son convexos (estrictamente) 8 c 2 R:
DeÖniciÛn 3. Sea u : Rn +! R: La funciÛn u se dice que es cuasicÛncava si dados x^0 ; x^1 2 Rn + con u
x^0
u
x^1
; siempre se tiene que u
x^0
u
x^0 + (1 ) x^1
; 8 2 [0; 1] : Si u
x^0
u
x^0 + (1 ) x^1
8 2 (0; 1) ; la funciÛn u ser· estrictamente cuasicÛncava.
El lector interesado puede probar la equivalencia de las dos deÖniciones anteriores. Observe que la deÖniciÛn de funciÛn cuasicÛncava es idÈntica a la deÖniciÛn de preferencias convexas cuando Èstas sean representables mediante una funciÛn de utilidad. Luego, unas preferencias representadas por una funciÛn de utilidad u son convexas (estrictamente) si y solo si la funciÛn u es cuasicÛncava (estrictamente). Veamos algunas propiedades de las funciones cuasicÛncavas.
ProposiciÛn 3. Si u es cÛncava (estrictamente) entonces u es cuasicÛncava (estrictamente). DemotraciÛn. Sean x^0 y x^1 dos puntos del conjunto S+: Entonces, u
x^0
c y u
x^1
c: De la deÖniciÛn de funciÛn cÛncava se tiene
u
x^0 + (1 ) x^1
u
x^0
x^1
Como u
x^0
c y u
x^1
c; se tendr· que u
x^0 + (1 ) x^1
c + (1 ) c = c y por tanto x^0 + (1 ) x^1 2 S+: Luego, el conjunto S+ es convexo y por tanto u ser· cuasicÛncava.
ProposiciÛn 3. Sea F : R! R una funciÛn creciente. Si u es cuasicÛncava (estrictamente) entonces F u es cuasicÛncava (estrictamente). DemotraciÛn. Si u
x^1
u
x^0
) u
x^1
u
x^1 + (1 ) x^0
pues u es cuasicÛncava. Como F es creciente ) F
u
x^1
F
u
x^1 + (1 ) x^0
Teorema 4. Sea u : A Rn^! R; u 2 C^1 (A): La funciÛn u es cuasicÛncava (estrictamente) en A , 8x^0 ; x^1 2 A; x^0 6 = x^1 ; tales que u
x^0
u
x^1
se tiene que ru(x^1 )
x^0 x^1
Lema 1. Si la funciÛn u es diferenciable en el punto x^1 entonces el vector ru(x^1 ) representa la direcciÛn de m·ximo aumento de la funciÛn u desde el punto x^1 : DemotraciÛn. La derivada direccional de la funciÛn u seg˙n el vector unitario v en un punto x^1 es ru(x^1 )v = ru(x^1 ) cos ; donde es el ·ngulo formado por los vectores ru(x^1 ) y v: Ahora ru(x^1 )v toma el mayor valor cuando cos = 1; es decir cuando v tiene la misma direcciÛn y sentido que ru(x^1 ):
DemotraciÛn teorema 4. El vector ru(x^1 ) representa la direcciÛn de m·ximo aumento de la funciÛn u desde el punto x^1 (lema 1). Entonces debe estar orientado hacia el conjunto S+
x^1
; ver gr·Öco 4. Como u 2 C^1 (A) entonces existe hiperplano tangente a la superÖcie u(x) = c en cada punto x^1 y viene dado por ru(x^1 )
x x^1
= 0: Si u es cuasicÛncava (estrictamente), el conjunto S+ ser· convexo (estrictamente) y el ·ngulo formado por los vectores ru(x^1 ) y x^0 x^1 ; x^0 2 S+(x^1 ); no puede ser superior a 90o^ (< 90 o): Por tanto ru(x^1 )
x^0 x^1
Gr·Öco 4
Si ru(x^1 )
x^0 x^1
0 ; 8 x^0 ; x^0 2 A; x^0 6 = x^1 ; tales que u
x^0
u
x^1
; se tendr· que el conjunto S+(x^1 ); 8 x^1 2 A; siempre queda a un lado del hiperplano tangente (hiperplano soporte) y, por tanto, debe ser necesari- amente un conjunto convexo.
ObservaciÛn 5. A veces tambiÈn se habla de funciones cuasiconvexas. Una funciÛn f es cuasiconvexa si y solo si f es cuasicÛncava. Queda como ejercicio, para el lector interesado, establecer todos los resultados anteriores para funciones cuasiconvexas.
- Algunas funciones de utilidad.
En esta secciÛn describiremos algunos tipos de preferencias a partir de algunos ejemplos de funciones de utilidad. En esta secciÛn siempre consideraremos dos bienes de consumo X e Y:
Bienes sustitutivos perfectos. Sea la funciÛn de utilidad
u(x; y) =
x a
y b
siendo a y b constantes positivas. Las cesta (x; y) es indiferente a la cesta (x + a; y b) pues
u(x + a; y b) =
x + a a
y b b
x a
y b
x a
y b = u(x; y):
Luego, un consumidor con unas preferencias representables por la anterior funciÛn de utilidad, siempre (inde- pendientemente de x e y) cambiarÌa a unidades del bien X por b del bien Y: Decimos en este caso que los bienes son sustitutos perfectos uno del otro. Las utilidades marginales son ux = 1=a > 0 y uy = 1=b > 0 (preferencias monÛtonas) y la relaciÛn subjetiva de intercabio ser· constante (preferencias convexas no estrictamente) y viene dada por
RM S =
ux uy
b a
Luego, las curvas de indiferencia ser·n rectas con pendiente b=a; ver gr·Öco 5.
Gr·Öco 5. Curvas de indiferencia para sustitutos perfectos.
Gr·Öco 6. Curvas de indiferencias para complementarios perfectos.
Bienes complementarios perfectos. En este caso, suponemos que el individuo consume los bienes X e Y en la misma proporciÛn: siempre consume a unidades de X por cada b unidades de bien Y: De esta forma, la cesta (a; b) es indiferente a las cestas de la forma (a + x; b) ; x > 0 ; y a las cestas (a; b + y) ; y > 0 : Luego las cestas que est·n en la linea vertical por encima de la cesta (a; b) y en la linea horizontal a la derecha de (a; b) est·n en la misma curva de indiferencia. Por tanto, la curva de indiferencia que contiene a la cesta (a:b) es una îLî con vÈrtice en el punto (a; b) : De manera an·loga, la curva de indiferencia que contiene a la cesta (2a; 2 b) ser· otra îLî con vÈrtice en el punto (2a; 2 b) : Por tanto, las curvas de indiferencia tendr·n forma de îLî con vÈrtices en los puntos de la recta y = (b=a) x; ver gr·Öco 6. Estas preferencias suelen representarse mediante la funciÛn de utilidad u(x; y) = min
n (^) x a
y b
o :
Observe que, las cestas de la forma (a; b) ; (a + x; b) y (a; b + y) son indiferentes pues
min
a a
b b
= min
a + x a
b b
= min
a a
b + y b
Observe que estas preferencias son monÛtonas y convexas (no estrictamente). Para estas preferencias no tiene sentido hablar de la relaciÛn marginal de sustituciÛn pues no est· deÖnida en los vÈrtices de las curvas de indiferencia.
Preferencias Cobb-Douglas. Diremos que las preferencias de un consumidor son Cobb-Douglas cuando vengan representadas por la funciÛn de utilidad u(x; y) = Ax y ; donde A; y son constantes positivas. Las utilidades marginales son ux = A x ^1 y > 0 y uy = A x y ^1 > 0 (preferencias monÛtonas). Las curvas de indiferencia son hipÈrbolas con los ejes de coordenadas como asÌntotas y pendiente y= ( x). Por tanto, las preferencias Cobb-Douglas son estrictamente convexas, ver gr·Öco 7. Las funciones de utilidad Cobb-Douglas son muy utilizadas en la teorÌa del consumo (tambiÈn en producciÛn). Uno de los motivos de su frecuente uso est· en la simplicidad de los c·lculos con este tipo de funciones.
la utilidad marginal de X ser· positiva para x < x 0 y negativa para x > x 0 : Una posible funciÛn de utilidad representando este hecho serÌa u(x; y) = y (x x 0 )^2 : Las curvas de indiferencia est·n dibujadas en el gr·Öco
- Observe que, para x < x 0 las preferencias son monÛtonas y estrictamente convexas.
Gr·Öco 11. Saciabilidad en bien X:
Gr·Öco 12. Saciabilidad en ambos bienes.
PodrÌa ocurrir que el consumidor se saciase de ambos bienes. Por ejemplo, con la utilidad u(x:y) = (x x 0 )^2 (y y 0 )^2 ; el punto de saciabilidad serÌa (x 0 ; y 0 ) : Cuando x > x 0 ; la utilidad marginal del bien X ser· negativa y si y > y 0 ; la utilidad marginal del bien Y ser· negativa. En el gr·Öco 12 hemos dibujado algunas curvas de indiferencia para estas preferencias. En general, estas preferencias no son monÛtonas ni convexas pero sÌ que lo son cuando x < x 0 e y < y 0 :
Preferencias de Stone-Geary. Estas preferencias vienen caracterizadas por funciones de utilidad de la forma u(x; y) = A (x x 0 ) (y y 0 ) ; donde A; y son constantes positivas. Las constantes x 0 e y 0 representan unos îmÌnimos de supervivenciaî, es decir, el consumo de los bienes X e Y debe siempre estar por encima de estos niveles mÌnimos. Las curvas de indiferencia ser·n como las curvas de indiferencia de las Cobb-Douglas pero desplazadas al punto (x 0 ; y 0 ) ; ver gr·Öco 13.
GrÖco 13. Curvas de indiferencia para preferencias de Stone-Geary.
Preferencias CES. Una funciÛn de utilidad tipo CES (constant elasticity of sustitution) es de la forma
u(x; y) = A (ax^ + by)m=^ ;
donde A; a; b y m son constantes positivas y < 1 ( 6 = 0) : Las utilidades marginales son
ux = Aamx ^1 (ax^ + by)(m=) ^1 > 0 uy = Abmy ^1 (ax^ + by) (m=) 1
0
y, por tanto, siempre representan preferencias monÛtonas. La RM S ser·
RM S =
ux uy
a b
x y
Observe que lim ! 1 A (ax^ + by)m=^ = A (ax + by)m
que es una transformaciÛn creciente de ax+by: Luego, cuando " 1 ; las utilidades CES convergen a las asociadas a bienes sustitutivos perfectos. Si ! 0 ; la RM S de la CES converge a (ay) =(bx) que es la RM S asociada a preferencias Cobb-Douglas. Con algo m·s de rigor, tomando logaritmos, puede probarse que si a + b = 1;
lim ! A (ax^ + by)m=^ = A
xayb
m
que es una funciÛn de utilidad Cobb-Douglas. Veamos ahora que ocurre cuando ! 1: Si x < y; podemos poner
lim ! A (ax^ + by)m=^ = Axm^ lim !
a + b
(^) y x
m= :
Como y=x > 1 se tem°ndr· que (y=x)^! 0 y por tanto
lim ! A (ax^ + by)m=^ = Axm^
(^) y x
m = Axm:
Actuando de manera an·loga cuando x > y; se tiene que
lim ! A (ax^ + by)m=^ = Axm^
(^) y x
m = Aym:
Luego lim ! A (ax^ + by)m=^ = A min fx; ygm
y por tanto los bienes son complementarios perfectos. El coeÖciente es una especie de medida del grado de sustituibilidad entre los bienes, teniÈndose los casos extremos de m·xima sustituibilidad (sustitutos perfectos) y mÌnima sustituibilidad (bienes complementarios perfectos) cuando " 1 y cuando # 1 respectivamente.
Gr·Öco 14. Curvas de indiferencia para preferencias CES con = 1= 2 :
Gr·Öco 15. Curvas de indiferencia de preferencias CES con = 1 = 2 :
Gr·Öco 16. Curvas de indiferencia para preferencias CES con = 4 :
