Modelación matricial, Apuntes de Modelación Matemática y Simulación

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Numéricas Cuando haya más variables que ecuaciones, hay soluciones

Igualdad 2 +^3 =^5 infinitas.

x + y = 58 - 1 ecuación

Algebraicas

2 e variables

Identidades Ecuaciones^ En^ un sistema de^ ecuaciones, el valor de^ las variables^ soluciona

3x + 2x =5x x + 2 = 5 cada ecuación.

5x = 5x

Formas (^) de (^) expresar la solución a un sistema

(3,2) X = 3 X I 3

y =^2 y 2

y ordenadas

X

a

ordenada - X y = 5 - x

al origen

• X y =x^ -^1 Método^ gráfico (^) para solucionar^ sistemas^ de
• ecuaciones -^ ⑱

X

* I I I

!

X abscisas

abscisa al

origen

1. 2x^ + 3y = 1 2)^ 2x^ + 3y = 1 ⑪ 3)^ 2x^ + 3y = 1 3x + 2y = 4 4x^ + 6y =^52 4x^ + 6y = 2 2

0 x (- 3) - 6x - 9y = - 3 1 x(- 2) -^ 4x^ - by =^ - z

② x 2 6x^ + 4y =^8 4x^ + 6y=^5 ·^ Sistema^ consistente con 5y =^5

+ 0 = 3 infinidad de soluciones,

y

= - 1 Se eliminan las variables, también llamado sistema

En (^) 2x +3(-1) = 1 no (^) hay solución (^) equivalente.

· Sistema consistente. 2x - 3 = 1 · 2 es el doble de 1

· Tiene solución única. 2x = 4 · Sistema inconsistente:

y aplicando^ el^ método^ de

· Gráficamente es un par de^ X^ =^2 carece^ de^ solución.^ reducción,todo^ se^ elimina rectas que se ·^ Gráficamente^ son rectas y 0 = 0 se cumple.

intersectan. paralelas. ·^ Gráficamente, están^ sobrepues

tas

Determinante de nxn

Sea (^) A una matriz denxn. Entonces (^) el determinante de (^) A, denotado (^) por detA=IAl = ExAk

Calcula el determinante de A:

4 - I 2

2

-ne

1 2 -^1 2 -^2 I^ -^1

det A =^ -

E,A1Ait=AeAn +GenAiz +^ ans^ Ass^ Determinante^ de^ I- 3 1.1^1

M., de^ A^ = ?

• An=1'*det^ Me det^ = ,asA3 = ag, Ag, +AscAsz + gAss + 934Aa Al = 1(1-^ 4)^ =^ -^3 Mas =-^11 Miz de^ A =^4 2 - D Alz =^ 7-1)"^ det^ Miz -21^ -^1 -D A31 =^ (-1)"det^ M3, 1 -1 (^) A, = - 1(- 4 - 2) = 6 - (^1 2 1) Az, = - 9 Mis de^ A^ =^ 4-1^ - A1s=(-1)"det^ Mis det^ M31 =^ -^ I^ I^3 -^1

W - ~^ ~

-- (^1 2) Ans = 1(8 + 1) = 9 -2^ I -^ I^ -^2

-12 1 - 1 2

de+ A = (2)(- 3) + (3)(6) + (0)(9) = - 6 + 18 = 12

de+ M31 = [- 1 + 1 - 12] - [- 3 + 2 - 2]

2 - 132 - 1 = - 12 +^3 = - 9

detMas =2 -^2 -12 - 2

1 - 11 1 - 1 M32 = 213

21 -^1 - As=(1)det Msz

det M33 = (- 4 + 1 - 6) - (-^6 +^2 - 2) = - 9 + 6 =^ - 3 12 1 A32 =^ -^12

A33 =^ (- x873) = -^3 2 - 112 - 1 det^ M32 = (^2 1 3 )

detB

• (^2) - 12 1 1 2 det (^) Myz =(2-1 + 12) - (3 - 4 +^ 2) det (^) Myy = (- 8 - 1 - 2) - ( - 2 - 2 - 4) = - 11 + 8 = - 3 =13 -1 = 12

Asy =^ (-^ 14)-^ 3)^ =^3

det = (3)(- 9) + (1)(12) + (- 1)(- 3) + (1)(3) =^ -^27 - 12 + 3 + 3 = - 33

Regla de^ Crammer

2x1 + 3x2 - xy = 8

x (^) +2xn + x = 5x = is Determinante de (^) I =

-x+Xz - 3x3 = 1

Det sistema y =

sis. 1 - 12 1

23 -^123 det = ,937A3 = Ag1As, + az Asz + ass A33 + 234A

1 2 ·I 2

-11 -^3 - 11 Aij =E*det Mij

=(- 12 -^3 -^ 1)^ - (2 +^2 -^ 9)

= -^16 + 5 = - 11

r X2 x 3

I

= 3 - 21 I - 1 2 1 - 21

Det de xx - 121 - 12 I 21 1 2

8 3 - 1 83 232-1- I 2 + 12 - 1

5215 2 - 1 2 - 2 -12 -^2 - I 2 - 212-

1 1 - 317 1 + 11-1 I -21^ -

= - 50 + 39 = - 11 = 3((- 1 + 1 - 12) - ( - 3 + 2 - 21] - 1[(2- 1 + 12) - (3 - 4 + 2)) - 1[)- 4 + 1 - 6) - (- 6 + 2 - z)] - 1[)- 0 - 1 - 2) - (- 2 - 2 - 4)]

= 3)-^12 + 3) - 113 - 1) - 1) - 9 + 6) - 1) -^11 + 8) = - 27 - 12 + 3 + 3 =^ - 33

x1 = 4 = 1

Det de x2 Det xs

X1 r X3 X, x2 L

=(- 30 - 8 - 1) - (5 + 2 - 24) x3 =

1 =^0

x2 =^2 = 2

Propiedades de^ los^ determinantes

2 3 5 23 I 23623

A (^) I - I 2 =4 B 1 - 13 = 25 - C (^) I - 151-

1 - 21 1 - 2 - 1 1 -^2 0 I -

Suponga (^) que A,^ B^ y C^ son^ idénticas^ excepto (^) por la^ columna^ det^ (^ =(-^6 +^ 10)^ +^ (9^ +^ 16)

j y que la^ columna;de^ C^ es^ la^ suma^ de^ las^ j-ésimas =^4 +^25 =^29

columnas de A y B, entonces:det C =det A+det B

Calcule el área del paralelogramo formado por los puntos P(1,2), Q(2,3), R(5,5) y 5(6,6)

Traslademos el paralelogramo de manera que uno de sus vértices sea ), J. Para ello elegimos cualquiera de sus vértices

y se^ lo^ restamos^ a^ sus^4 esquinas.^ Digamos^ que^ se^ elije^ P(1,2).^ Asi^ el^ paralelogramo^ trasladado^ tendracomo^ esquinas

F (0,0) = P(1,2) - P(1,2)

9',1) = Q(2,3) - P(1,2) R'(4,3) = R (5,5) - P(1,2) 5'(5,4) = 5(6,6) - p(1,2)

Observamos que efectivamente^ es^ un paralelogramo al^ cumplirse S'(5,4)^ = 0 (1,1) + R(Y,^ 3). Por^ tanto,^ el^ área^ del

paralelogramo original es:

A =^14 = 13 - 4) = 1

Webassign Obtenga el^ área^ del^ paralelogramo definido^ por los^ siguientes puntos:

4 (1,4) Q (5,5) R (4,12) 5(8,13) &

p(1,4) - P(1,4) = p (0,0) (^) y - ⑥

Q(5,5) - P(1,4) = Q(4,1) 8 - ⑧

R (4, 12) - 4(1,4) = R(3,8)^6 -

&

5(8,13)- 4(1,4) = S'(7,9) 4 - - det z

5'(7,9) = Q'(4,1) + R'(3,8) 2- X^ y^ r

⑥ 7 y^ -^1

A =^43 = 32 - 3 = 29

Insio I^ I^ X^ =(

• 16 + 60)

18 2 -^3 -^11 -^1 - 3 -

• (44 - 20 + 24)

Crummerpara resolver el sistema (^) Regla de^ Crammer^ - I 40 - 14

z =^18

det X

x + 2y =^4 Solución x^ + Hy =^ -^1 -1^ - 114 -^1 -^11 = (187 -^ 32)^ -^1 -^80 - 68)

• 4x - 4y = 4 X = 44 = 44

y =^10 =-^20

• 3x - 11y +4z = - 1 - 2 2017 - (^220) = 155 + 148 = 303
• 1 - (^1) ~y 2

det sistema det X det y 4x^ + 20y +^172 =^ -^2 X = - 303 = 303

1

12 4 2 I^4 X^ I Z det sistema x Z

I (^) - 4 - 9 4 - 9 - 4 4 1 40 I Y (^) I - I 0 1 1 det

X y L y

y X^

r

= - 9 + 8 = - 1 = - 36 - 8 = - 44 = 4 + 16 = 20 -^3 -^114 -^3 -^ Il^ -^3 - 14 - 3 - 1 = (- 17 -^ 16) - )- 8 + 51)

Comprobación 4 20 174 20 4 -^2174 -^2 =^ -^33 -^43 =^ -^76

44 + 2(- 20) = 4 - 4(44) - 4(- 20) = 4 = (- 187 + 64) - (80 - 204) =^ - 123 + 124 = 1 y == 6 = - 76

1

44 - 40 = 4 - 176 + 180 = 4 Comprobación

4 = 4V 4 = 4 v^ - 3(303) - 11(- 76) + 4(18) = - 909 + 836 + 72 = - 1