a) Verdadero
Sea 𝐴 ∈ 𝑀𝑛×𝑛:
Como A es simétrica implica que 𝐴 = 𝐴𝑡
Como A es ortogonal implica que 𝐴 ⋅ 𝐴𝑡= 𝐼
Partiendo de la propiedad de ortogonalidad:
𝐴 ⋅ 𝐴𝑡= 𝐼
Si reemplazamos la propiedad de simetría en esta, obtenemos que:
𝐴 ⋅ 𝐴= 𝐼
Simplificando se obtiene:
𝐴2= 𝐼
La anterior propiedad se conoce como la propiedad involutiva. Por lo tanto, es correcto
afirmar que, si una matriz es ortogonal y simétrica, esta a su vez es involutiva.
Por ejemplo:
𝐴 = (−1 0
0 1)
𝐴𝑡= (−1 0
0 1) = 𝐴
𝐴 ⋅ 𝐴𝑡= 𝐴2= (1 0
0 1) = 𝐼2×2
b) Verdadero
𝐴 = 𝑃−1 ⋅ 𝐵 ⋅ 𝑃 = 𝑃−1 ⋅ (𝑄−1 ⋅ 𝐶 ⋅ 𝑄) ⋅ 𝑃
det(𝐴) = det(𝑃−1) ⋅ det(𝑄−1) ⋅ det(𝐶) ⋅ det(𝑄) ⋅ det(𝑃)
det(𝑃−1)=1
det(𝑃)
det(𝑄−1)=1
det(𝑄)
det(𝐴) = 1
det(𝑃)⋅1
det(𝑄)⋅ det(𝐶) ⋅ det(𝑄) ⋅ det(𝑃)
det(𝐴)= det(𝐶)