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TEMA 4: Análisis de sistemas
4.1.- Introducción. 4.2.- Efecto de los polos en el comportamiento. 4.3.- Estabilidad 4.4.- Señales de prueba, tipos de respuestas respuesta y comportamientos. 4.5.- Análisis de la respuesta transitoria de un sistema de primer orden. 4.6.- Análisis de la respuesta transitoria de un sistema de segundo orden. 4.7.- Respuesta en frecuencia 4.8.- Análisis de comportamientos
4.1 Introducción
4.2 Efecto de los polos en el comportamiento
Como se describió en el tema anterior, la función de transferencia que caracteriza un sistema puede ser descompuesta en fracciones parciales, donde el denominador de cada una de las fracciones es un monomio con el polo correspondiente:
2 1
2 1
1 1 2
1 2 3 m
m n
m s p
r s p
r s p
r s p s p s p G s ks z s z s z s z − ⋅ − ⋅ − = − + − + + −
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ − K
De esta forma, la respuesta del sistema a una señal determinada puede considerarse como la suma de las respuestas de cada uno de las fracciones obtenidas en la descomposición:
( ) () () ( ) () ( ) () ( ) () 2 1
2 1
(^1) F s s p Fs r s p F s r s p Y s Gs F s r m
m = ⋅ = − ⋅ + − ⋅ +K+ −
Este hecho cobra un especial interés ya que solo pueden presentarse cinco tipo de polos o grupos de polos (ver Figura.-1.1: real negativos, real positivo, imaginarios
conjugados , complejos conjugados con parte real negativa y complejos conjugados con parte real negativa ).
Figura.-1.1 Posibles grupos de polos que pueden presentarse Por tanto, si previamente se ha hecho un estudio de la respuesta que presenta cada uno de estos cinco tipos de polos; dado un sistema y sus polos correspondientes, será muy sencillo estimar, sin realizar ningún tipo de simulación o cálculo, el comportamiento final del mismo. A continuación se presentan el tipo de respuesta de cada uno de los tipos de polos a la señal escalón :
Polos Reales Cuando la función de transferencia presenta polos reales, en la descomposición en fracciones aparecen términos en la forma:
( s p )
r − con^ p^ ∈^ R
Los dos casos posibles son p > 0 o p < 0; En el caso de ser p > 0 (el polo es positivo), considerando como entrada la señal escalón se obtendrá una respuesta como la mostrada en la Figura.-1.2.
Figura.-1.2 Respuesta a la señal escalón para un polo real positivo
Img. (^) Img. Img.^ Img.^ Img.
Real Real^ Real^ Real^ Real
Como puede observarse se trata de una oscilación mantenida. Ya se verá más adelante que la frecuencia de dicha oscilación coincide con ω. Por tanto, cada vez que aparezcan una pareja de este tipo de polos el sistema presentará un comportamiento oscilatorio.
Polos complejos conjugados Por último la función de transferencia puede presentar polos que tengan parte real e imaginaria. Aparecen también en parejas de conjugados en la forma:
( s p j ω ) ( s p j ω)
r − − + − + con^ p^ y^ ω^ ∈^ R En este caso, el comportamiento del sistema será una combinación del efecto de parte real y de la parte imaginaria. Cabe señalar dos casos. En el primero p < 0, la respuesta es como la que se muestra en la figura:
Figura.-1.5 Respuesta a la señal escalón para dos polo imaginarios con parte real positiva Dado que el sistema presenta parte real negativa, tenderá a estabilizarse alrededor de un valor determinado, pero como el polo tiene parte imaginaria, dicha tendencia presentará un comportamiento oscilatorio. En consecuencia el sistema contendrá algún bucle de realimentación negativo que presenta comportamiento oscilatorio. El segundo caso se presenta cuando p > 0, la respuesta es como la que se muestra en la figura:
Figura.-1.6 Respuesta a la señal escalón para dos polo imaginarios con parte real negativa En este caso, debido a la parte real positiva, el sistema presentará un bucle de realimentación positiva con comportamiento oscilatorio.
4.3 Estabilidad
4.3.1 Definición
Pueden encontrarse distintas definiciones que establecen el concepto de estabilidad. Dependiendo del modelo de representación utilizado (representación externa o interna) la definición se hará de un modo u otro. En cualquier caso, el resultado al caracterizar la estabilidad de un sistema debe ser equivalente para cualquiera de los criterios utilizados.
Cuando se utiliza un modelo de representación externa se suele utilizar el concepto de estabilidad BIBO ( Bounded Imput Bounded Output).
Definición Un sistema inicialmente en reposo es estable si para cualquier señal de entrada acotada la respuesta del sistema es acotada.
Coincidiendo con los resultados presentados en la sección anterior, es posible afirmar que la condición necesaria y suficiente para que un sistema sea estable es que todos los polos de su Función de Transferencia tengan parte real negativa. De esta forma , hallando las raíces de la Ecuación Característica se puede estudiar si el sistema es estable o no.
Definición Se dice que un estado de equilibrio x (^) e es global y asintóticamente estable , si para un valor de la entrada constante o cero, toda solución converge asintóticamente hacia x (^) e al incrementar indefinidamente la variable tiempo ( t ).
En el caso de un sistema lineal es muy fácil caracterizar si el punto de equilibrio es estable o no:
Condición de estabilidad sistema lineal Un estado de equilibrio de un sistema L.T.I es asintóticamente estable si los autovalores de la matriz A tienen parte real negativa. (salvo cancelación interna de polos).
Los autovalores de la matriz [A] son las raíces de la ecuación: det (I·s-A) = 0 Como se vio en el tema anterior, esta ecuación se corresponde con la ecuación característica del sistema, o lo que es lo mismo, la ecuación resultante de igualar a cero el denominador de la función de transferencia. Por tanto es inmediato establecer que los autovalores de la matriz [A] son los polos de la función de transferencia que representa el sistema; lo cual es lógico, pues de todo lo expresado hasta ahora se podía intuir que un sistema con un punto de equilibrio inestable presentará un comportamiento inestable según el criterio BIBO. Los puntos de equilibrio estable suelen denominarse atractores , ya que las trayectorias del sistema en el espacio de estado suelen converger hacia dichos puntos tal y como si fueran atraídos por los mismos. Por el contrario, los puntos de equilibrio inestables suelen denominarse repulsores ya que las trayectorias en el espacio de estados suelen alejarse de ellos, tal y como si fueran repelidos por dichos puntos.
4.3.2 Test de estabilidad
La forma más sencilla de determinar la estabilidad de un sistema es pues estudiando las raíces de su ecuación característica. Desde Matlab esto representa una tarea muy sencilla: Ejemplo: Sea la ecuación característica : s^3 + 4· s^2 +100· s + 500 encontrar sus raíces. Con el comando: Pol = [ 1 4 100 500] introducimos el polinomio. Las raíces se encuentran con: root(pol) la respuesta del sistema: ans = 0.4060 +10.1854i 0.4060 -10.1854i -4.
También es fácil conocer los polos del sistema si este viene representado por un modelo de estado, basta con encontrar los autovalores de la matriz [A]. Ejemplo: Sea el sistema cuya matriz de transición [A] es de la forma:
[A]=
encontrar los polos del sistema. A=[1 0 0;2 -3 0;0 1 -1];Los polos son los autovalores de la matriz, que se calculan con el comando: eig(A), la respuesta del sistema es: ans =
1 3 1 6 0 7
1 2 1 4 0 5
1 1 1 2 0 3
B
U BB BB
B
U BB BB
B
U BB BB
=^ −
1 2 1 5 1 3
1 1 1 3 1 2
U
V UB BU
U
V UB BU
=^ −
Los cálculos se continúan en cada fila hasta que se produzca algún coeficiente igual a cero. Todas las filas se calculan siguiendo el mismo procedimiento, cuando sea necesario, se añade un cero al final de una fila. El conjunto completo de los coeficientes es triangular. La estabilidad se evalúa observando la primera columna:
- Si todos los coeficientes de la primera columna tienen el mismo signo, el sistema es estable.
- Si se producen n cambios de signo, entonces, existen n raíces en el semiplano derecho.
- Si aparece una fila entera de ceros indica que existen raíces en el eje imaginario o en el de signo opuesto en el eje real.
- Si en alguna fila el primer término es cero mientras que las demás no, se por un valor ε arbitrario, se continúa el algoritmo según el procedimiento habitual y luego se evalúan todos los términos para ε → 0.
Ejemplo : Sea la ecuación característica s^3 + 4 s^2 + 100 s + 500 = 0 La aplicación del algoritmo da como resultado:
s^31 100
s^24 500
s -25 0 4 ⋅^04 −^1 ⋅^0 = 0 4 ⋅^1004 −^500 =− 25
s^0500 25
1º- El sistema es inestable ( no todos los coeficientes tienen el mismo signo). 2º- Tiene dos raíces en el semiplano derecho (Observar que hay dos cambios de signo, de positivo a negativo y de negativo a positivo)
Ejemplo : Sea la ecuación característica s^3 + 10 s^2 + 16 s + 160 = 0 La aplicación del algoritmo produce:
1
2
3
s
s
s
0
El sistema presentará pues o un comportamiento oscilatorio o inestable. Para determinar si las raíces son conjugadas imaginarias o presentan parte real positiva se utiliza un polinomio auxiliar formado por los coeficientes de la última fila no nulos (Polinomio Auxiliar F ( s ) = 10 s^2 + 160 = 0 ) A continuación se sustituyen los coeficientes de la fila nula por los coeficientes obtenidos al derivar dicho respecto a s ( dFds^ ( ) s^ = 20 s ) y se continúa el algoritmo según el procedimiento habitual.
El algoritmo de Routh-Hurwitz con frecuencia se utiliza se utiliza para evaluar la influencia de un parámetro sobre la estabilidad del sistema.
Ejemplo:
Evaluar los valores de k para los que la ecuación característica s^3 + 2 s^2 + s + k = 0 presenta polos estables.
Aplicando el algoritmo:
0
1
2
3
s
s
s
s
k
k 2
k
Si el sistema es estable no debe haber cambios en la primera columna. Para el caso de la tercera fila: 2 − 2 k^ > 0 → k < 2. Para el caso de la cuarta fila: k > 0. Por tanto, el sistema es estable para: 0 < k < 2
4.4 Señales de prueba, tipos de respuestas y comportamientos.
La señal de entrada a un Sistema Dinámico no suele conocerse por anticipado. Además, en la mayoría de las situaciones la entrada no puede expresarse analíticamente. Sin embargo se puede disponer de señales de prueba típicas que permitan analizar el comportamiento del sistema. Las señales típicas de prueba fueron introducidas en el capítulo anterior: función escalón, función rampa, función impulso, función senoidal. Dependiendo del sistema o situación a analizar se usa con preferencia un tipo u otro de señal:
- Sistemas con entradas de choque → Función impulso
- Perturbaciones Súbitas y prolongadas en el tiempo → Función escalón
- Entradas crecientes con el tiempo → Función rampa
- Sistemas con entradas oscilatorias → Función senoidal Usando estas señales es posible sistematizar el análisis de los sistemas.
En términos estrictos, el comportamiento de un sistema viene dado por las trayectorias de sus variables de estado en el espacio de estado. Es decir, en un espacio de dimensión igual al número de variables de estado, se dibujan las sucesivas configuraciones que va presentando el sistema. Esta gráfica determina una curva que representa el comportamiento del sistema. Su estudio cobra especial interés cuando se están utilizando técnicas de representación interna (ver Figura.-1.7).
x·
x
Condiciones Iniciales
x(0)
x· ( (^0) )
en el Espacio de Estados^ Trayectoria
x
t
x 0( )
x·
t
x· ( (^0) )
Respuesta Temporal
Figura.-1.7 Relación entre la respuesta temporal y la trayectoria de estado
Por otra parte, la evolución temporal seguida por cada una de la salidas de un sistema reciben el nombre de respuesta temporal (ver Figura.-1.7). Como se describió en el tema anterior, la respuesta temporal puede dividirse en dos partes Respuesta estacionaria y Respuesta transitoria. La estimación del valor final alcanzado por la respuesta estacionaria de un sistema lineal estable puede realizarse aplicando el Teorema del valor final (para el caso de utilizar un modelo de representación externa) o bien determinando el punto de equilibrio (cuando se hace uso de un modelo de estado).
Los sistemas lineales estables pueden presentar tres tipos de comportamientos o de respuesta temporal:
al flujo de calor w (^) i (medido en julios por segundo), y el termómetro está caracterizado por su capacidad térmica C ( medida en julios por grado) que indica la energía calorífica necesaria para que el termómetro aumente su temperatura un grado. Por tanto, ya que la temperatura alcanzada por el termómetro depende de la energía calorífica acumulada y ésta, a su vez, varía con el flujo de calor entrante w (^) i , es posible
escribir: C ddt θ^ = wi. Además, el flujo de energía calorífica depende de la diferencia de
temperatura entre el termómetro y el líquido, es decir: wi = θ^ lR −^ θ. En consecuencia es
posible escribir la siguiente ecuación diferencial:
dt^ b RCd θ^ +θ= θ
la cual representa un sistema de primer orden. Está claro que el modelo de estado coincide con esta misma ecuación. La función de transferencia es:
1
s RC s
s b
4.5.1 Respuesta a la señal escalón
Considérese el caso en que la temperatura del baño se mantiene constante o sea θ (^) b = cte y el termómetro se deja sumergido en el líquido a partir de t = 0. La constante
de tiempo τ del sistema se define como τ = RC. Se trata de encontrar la respuesta cuando la señal de entrada responde a la señal
escalón: ( )
Si t t Si t b θ b θ
Como θ ( ) 0 = 0 solo hay que considerar la respuesta forzada ( ) ( ) s s s Θ b ⋅ +
τ Dado que θ (^) b ( ) t = θ bu ( ) t se trata de una Función Escalón : Θ b ( ) s =^ θ sb
Por tanto
( ) →
Θ = ⋅ + b = − b s s s s s θ τ
θ τ 1
(^1) Expansión en Fracciones Simples.
Haciendo la Transformada Inversa de Laplace:
θ ( ) t = (^) ^1 − e − t τ^ θ b t ≥ 0
Se comprueba que en t = 0 θ( ) 0 = ( 1 − e^0 ) θ (^) b = 0 y el valor final para t =∞ lim t ⇒∞θ( ) t = (^) t lim⇒∞^1 − e − t τ^ θ b = θ b
El valor en equilibrio se alcanza cuando d dt^ θ^ = 0 por lo tanto sustituyendo en la
ecuación diferencial θ (^) e = θ b. Lo cual coincide con el resultado de aplicar el teorema del
valor final. La gráfica que representa el resultado obtenido es la siguiente
x (^) ( )τ =^23 ---
xe
Figura.-1.9 Respuesta a la señal escalón de un sistema de primer orden con C.I. nulas
Una de las características más importantes es que para t = τ θ ( τ ) = 0 , 632 θ b ; o sea se
alcanza el 63,2 % de la temperatura final.
4.5.2 Puntos de Equilibrio en sistemas de 1er^ Orden
De acuerdo con todo lo expuesto, el punto de equilibrio del sistema de lineal de primer
orden: dxdt^ = A ⋅ x + B ⋅ f es : x (^) e = − BA^ ⋅ f.
Es fácil estudiar la estabilidad del punto de equilibrio al representar la variación de la
derivada de x ( dxdt^ ) respecto de x. La gráfica obtenida es una recta , donde el punto de
equilibrio viene determinado por el corte con el eje de ordenadas. Si el valor de A es mayor que cero, dicha gráfica se corresponde con una recta de pendiente positiva ver Figura.-1.12.
Figura.-1.12 Puntos de equilibrio de un sistema de primer orden Es posible analizar la naturaleza estable o inestable del punto de equilibrio a partir de dicha gráfica. En efecto, si el sistema parte de una condición inicial x(0) mayor que el
punto de equilibrio, la gráfica proporciona un valor dxdt^ >0 lo que supone que el sistema
tenderá a hacer x cada vez mayor, siendo repelido del punto de equilibrio. Si se da el caso de que la condición inicial es menor que el punto de equilibrio la gráfica asocia un valor
dt
dx (^) < 0 lo que significa el valor de x tenderá a hacerse cada vez menor; de nuevo el punto
de equilibrio actúa como repulsor. Por tanto, nos encontramos ante un caso de equilibrio inestable. Este resultado es consecuente con el análisis de estabilidad realizado con anterioridad. Basta con encontrar la ecuación característica de la ecuación diferencial para comprobar que si A >0 el polo es real positivo y por tanto, se trata de un sistema inestable. Por el contrario, si A<0 la gráfica que se obtiene es una recta de pendiente negativa ( ver Figura.-1.12). En este caso, si el sistema parte de una condición inicial mayor que el
punto de equilibrio, la gráfica proporciona un valor dxdt^ <0 lo que supone que el sistema
tenderá a hacer que x se acerque cada vez más al punto de equilibrio, es decir atraído hacia él. Si se da el caso de que la condición inicial es menor que el punto de equilibrio
la gráfica proporciona un valor dt
dx (^) > 0, lo que significa que, de nuevo, el valor de x
tenderá a acerque cada vez más al punto de equilibrio; el punto de equilibrio actúa como un atractor. Por tanto, nos encontramos ante un caso de equilibrio estable. Observe que la estabilidad o inestabilidad no dependen del valor de B. Dicho valor sólo determina, junto con A, cuál será el punto de equilibrio. La estabilidad solo depende de A.
4.6 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS
DE SEGUNDO ORDEN
Para analizar la repuesta transitoria de un sistema de 2º orden se utilizará una masa con un resorte que presenta una amortiguación. Este modelo se presentó en el apartado 2.3.5 del tema 2.
Figura.-1.13 Masa con resorte y amortiguación
Para este sistema la ecuación diferencial que modela la evolución de la salida es: m x + ⋅ x + k ⋅ x = F
- • • μ Es costumbre escribir el modelo de segundo orden en la forma:
