Estabilidad de Sistemas Dinámicos: Apuntes de Control Automático, Diapositivas de Sistemas de Control Avanzados

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

SISTEMAS DE CONTROL

DEPARTAMENTO DE AUTOMATIZACIÓN

Y CONTROL INDUSTRIAL

ÚLTIMA REVISIÓN: MARZO 2009

ESTABILIDAD

Estabilidad de sistemas dinámicos: Estabilidad Absoluta Es la característica más importante de los sistemas de control, se refiere a que si el sistema es: Un sistema de control es estable si ante cualquier entrada acotada , el sistema posee una La condición de estabilidad se analiza sobre puntos de equilibrio , un sistema de control se encuentra en un punto de equilibrio si la salida permanece en el mismo estado en ausencia de cualquier perturbación o entrada. Los sistemas tienen puntos de equilibrio estables e inestables. Para encontrar los puntos de equilibrio en un modelo de un sistema, se igualan las dinámicas a cero y se despejan las variables de interés. La estabilidad es una característica propia de cada sistema y no depende de las entradas

Estabilidad de sistemas dinámicos^1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Por ejemplo en las ecuaciones del péndulo simple: Dos puntos de equilibrio: 1 2 Estable Inestable     

m

k

sen

l

g

dt

d

dt

d

  0 ,   0  ,   0  dt d   

EFECTOS DE POLOS Y CEROS

 Función en lazo cerrado:

 Polinomio característico: P(s)=1+GH

ceros polos

EFECTOS DE POLOS Y CEROS  Los POLOS determinan la respuesta mientras que los CEROS influyen sobre la magnitud de la respuesta.  (^) Los Sistemas Estables tienen POLOS en lazo cerrado a la izquierda del plano “s”, mientras que los Sistemas de Fase No Mínima tienen CEROS a la derecha (ganancia negativa).

Estabilidad de sistemas dinámicos^1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Plano s

Estabilidad de sistemas dinámicos^1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Comentarios:

1. Un sistema de lazo abierto también tiene características de estabilidad.
2. Un sistema de lazo abierto no puede cambiar sus características de estabilidad a menos que se cambien sus parámetros, se agregue otro elemento dinámico o usando realimentación
3. Un sistema inestable puede estabilizarse usando realimentación.
4. Un sistema estable puede hacerse inestable con una cierta realimentación.

ESTABILIDAD DEL SISTEMA

• (^) La condición necesaria y suficiente para que un sistema sea estable es que la parte real de los polos sea negativa.
• (^) Se usan los criterios de estabilidad de NYQUIST (frecuencia) y ROUTH – HURWITZ (intervalo de variación de ganancia K).

CRITERIO DE ROUTH HURWITZ  (^) Es un método algebraico para determinar si existen (y cuantos) polos reales positivos en la ecuación característica del sistema.  (^) El criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de raíces de P(s) con parte real positiva es igual al número de cambios de signo de los coeficientes en la primera columna del arreglo.  (^) Este método no puede ser usado si tiene retardos

CRITERIO DE ROUTH HURWITZ  Los elementos de las columnas se determinan a partir de las dos filas precedentes de la siguiente forma:

TEOREMA DE ROUTH HURWITZ  (^) Para que el sistema sea estable la primera columna del arreglo deber ser positiva y diferente de cero

Si algún elemento de la

primera columna es negativo

el número de polos con parte

real positiva es igual al número

de cambios de signo

 0

Casos Especiales de Ruth Hurwitz Primer Caso  (^) Cuando el primer elemento en cualquier de los reglones de la tabulación de Ruth es cero, pero los otros no. 0 2 0 3 6 0 1 2 2 3 2 6 2 0 2 3 4 4 3 2 s s s s  s  s  s  

Primer Caso Especial  (^) Debido a que el primer elemento del renglón s^2 es cero, los elementos del siguiente renglón serán infinito.  (^) Para superar este inconveniente se remplaza el cero por un numero pequeño positivo ε y entonces se continua con la tabulación. 2 0 0 6 6 6 0 2 0 1 2 s s s        