Modelo de regresión lineal múltiple, Apuntes de Administración de Empresas

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ECONOMETRIA DE L’EMPRESA

Grau ADE

MODELO DE REGRESIÓN

LINEAL MÚLTIPLE (II)

1. INTRODUCCIÓN. TIPOS DE ERROR DE ESPECIFICACIÓN.

En sentido amplio, entendemos por errores de especificación todos los errores cometidos

en la especificación del modelo, que afectan a la definición de los regresores y a las

hipótesis que suponemos que cumple perturbación.

Por ejemplo, estimar un modelo por MCO suponiendo que las perturbaciones son ruido

blanco cuando en realidad están autocorrelacionadas.

Sin embargo, en este tema nos limitamos a considerar los errores de especificación en un

sentido más restringido: errores cometidos al especificar la matriz X de regresores.

Incluyen tres casos:

a. Omisión de variables relevantes.

b. Inclusión de variables irrelevantes

c. Errores en la forma funcional del modelo

En este tema analizaremos cuáles son las consecuencias para la estimación por MCO:

cómo se ven afectadas las propiedades de los estimadores y los contrastes.

También estudiaremos los contrastes para seleccionar entre modelos alternativos

(contrastes de especificación), bajo los principios generales de contrastación.

1. CONSECUENCIAS PARA LA ESTIMACIÓN MCO: EXCLUSION

VARIABLES RELEVANTES.

Es un caso particular del planteamiento general que acabamos de ver.

En este caso, estimamos un modelo que contiene únicamente r regresores (matriz X 1 ) pero el modelo verdadero tiene K (K> r) variables explicativas, incluyendo además de X 1 otro conjunto de variables a las que llamamos X 2 :

M. VERDADERO: Y = Xβ + U = X 1 β 1 + X 2 β 2 + U (4.4)

M. ESTIMADO; (^) Y = X * 1 = X 1 b *

∧ β X * (^) = [ X 1 X 2 ... Xr ] = X 1

X = [ X 1 X 2 ... Xr Xr + 1 ... XK ] =[ X 1 X 2 ]

En este caso, teniendo en cuenta M. VERDADERO: Y = Xβ + U = X 1 β 1 + X 2 β 2 + U podemos

ver que:

( X '* X )− 1 X ' X = ( X ' 1 X ' 1 ) −^1 X ' 1 [ X 1 X 2 ] =( X ' 1 X 1 ) −^1 [ X ' 1 X 1 X ' 1 X 2 ] =[ I (^) r ( X ' 1 X 1 )^ −^1 X ' 1 X 2 ] (4.5)

La última matriz de [4.5] tiene r filas y K columnas.

Sus primeras r columnas forman una matriz identidad.

Las otras K-r columnas son los estimadores MCO de la regresión de cada una de las

variables en X 2 (dependientes) contra X 1 (independientes).

Sustituyendo [4.5] en E ( b (^) * ) = ( X '* X )− 1 X ' Xβ ≠ β , que es válida en general, vemos que

los estimadores MCO son sesgados.

Sabemos desde el tema 2 que el vector de residuos MCO para el modelo estimado [4.l] es:

e = M 1 Y =[ I − X 1 ( X ' 1 X 1 )^ −^1 X ' 1 ]· Y (4.7)

siendo M, una matriz simétrica e idempotente de rango N-r.

Teniendo en cuenta [4.7] y que M 1 es ortogonal con X 1 , es decir, que: X 1 'M 1 =M 1 X 1 = podemos obtener la expresión de la suma de cuadrados de los errores para nuestro modelo, en función de las perturbaciones U, de las exógenas X y de los parámetros ß:

( ) ( ) ( X U ) M ( X U ) UMU X M X X MU

SCERR ee YMY X X U M X X U 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

' ' = + ′ + = ′ + ′ ′ + ′^ ′

= = = + + ′ + + = β β β β β

β β β β

(4.8)

Aplicando esperanzas a [4.8] obtenemos la expresión de la esperanza de la suma de cuadrados de los residuos MCO:

E ( e ′ e^ ) = E ( U ′ M 1 U ) + β (^) 2 ′ X 2 ′ M 1 X 2 β 2 = σ^2 ( N − r ) + β 2 ′ X 2 ′ M 1 X 2 β 2 (4.9)

El estimador MCO de la varianza de la perturbación es, como sabemos, la suma de cuadrados de los residuos dividida entre los grados de libertad (N-r). Es un estimador sesgado, ya que:

N r

ee −

σ^ ˆ^2 = (4.10)

( σ ˆ^2 ) σ^21 β 2 X 2 M 1 X 2 β 2 N r

E ′ ′ −

= +

El sesgo, que es el segundo sumando, es positivo.

RESUMEN:

En caso de excluir del modelo variables relevantes, los estimadores MCO de ß son

sesgados.

El sesgo depende de la correlación entre las variables excluidas y las omitidas, y de la

influencia de estas últimas sobre Y.

Los estimadores son inconsistentes.

El estimador de la varianza de la perturbación también es sesgado, por lo que el

proceso de inferencia estadística puede proporcionar resultados erróneos.

Teniendo en cuenta E ( b (^) * ) = ( X '* X )− 1 X ' Xβ ≠ β y Y = X 1 β 1 + U podemos ver que los

estimadores MCO

( ) K

I

X X X X

1

( )

+ K =

I

E b

El sesgo es nulo, porque los coeficientes de la regresión de X 1 contra X 1 y X 2 son la

unidad (cuando una variable se regresa contra sí misma) o cero (cuando se regresa contra

las demás).

Por lo tanto, los estimadores de los coeficientes de las variables relevantes (X 1 ) son

insesgados, mientras que los estimadores de los parámetros correspondientes a las

variables irrelevantes tienen media nula (en general, resultarán no significativos).

El estimador de la varianza del error también es insesgado. En efecto, en este caso el vector de residuos MCO es el siguiente:

e = MY con M = I − X * ( X *′ X *) −^1 X *′ (4.13)

y, teniendo en cuenta que MX 1 = MX* = 0, vemos que la suma de cuadrados de los errores de la regresión es U'M U:

( ) ( ) ( ) UMU X MX X MU U MU

SCERR ee YMY X U M X U M X U = ′ + ′ ′ + ′ ′ =^ ′

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 2

β β β

β β β

La esperanza matemática de la suma de cuadrados de los errores es:

E(eé) =E(U’MU) =s 2 tr(M)=s 2 (N-K-s) (4.15)

donde, como de costumbre, tr indica traza.

La traza de M es el número de columnas de M linealmente independientes, que coincide con el de grados de libertad del modelo estimado: N-K-s.

El estimador MCO de la varianza del error es insesgado, ya que:

N K s

ee − −

σ^2 = (4.16)

( σ ˆ^^2 ) σ^2 = σ^2 − −

= − − N K s

E N K s

1. CONSECUENCIAS PARA LA ESTIMACIÓN MCO: FORMA FUNCIONAL

INCORRECTA DEL MODELO.

Se trata de un error de especificación asimilable a la omisión de variables relevantes.

Sus consecuencias son, por lo tanto, estimadores sesgados e inconsistentes.

Para ilustrar este caso, supondremos que el verdadero modelo es cuadrático en la (única) variable explicativa X 2 pero que, incorrectamente, estimamos un modelo lineal. Estamos

omitiendo la variable relevante X (^) 22 i :

M. VERDADERO: Y (^) i = β 1 (^) + β 2 X 2 i + β 3 X 22 i + U (4.17)

M. ESTIMADO: (^) Yi = β 1 + β 2 X 2 i + Ui

Deduzcamos la expresión del estimador MCO de ß2:

( ) ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

= ∑^ = + + = + + = + + 2 2

2 2 2

3 2 2 2 3 2

2 2 2

2 2 2 2 2 3 2

2 2 2 2 3 2 2 2

2 2 i

i i i

i i

i i i

i i i

i i i i i

i i x

x u x

x x

x u x

x x x

x x x u x

x y b β β β β

β β

donde u (^) i = Ui − U (4.18)

Aplicando esperanza a ∑

∑ ∑

= + ∑^ + 2 2

2 2 2

3 2 2 2 3 i

i i i

i x

x u x

x b β β descubrimos que el estimador en general

es sesgado.

El sesgo será nulo únicamente cuando la distribución muestral de la variable X 2 sea simétrica, y por tanto cuando su momento centrado de tercer orden sea nulo.

A mayor asimetría de la distribución, mayor sesgo:

( ) ∑

= + ∑ 2 2

3 2 2 2 3 i

i x

x E b β β (4.19)