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Proyecto e-Math 1
MODELOS DE REGRESIÓN DINÁMICA
Autores: Luis Manzanedo del Hoyo ([email protected]), Ángel Alejandro Juan Pérez
([email protected]), Renatas Kizys ([email protected]).
ESQUEMA DE CONTENIDOS ________________________
INTRODUCCIÓN ___________________
Las formulaciones realistas de los modelos económicos requieren la inserción de variables explicativas retardadas. Así la inversión en bienes de equipo que se realiza en el período actual influirá en la producción de éste y en la de años posteriores, también se da el caso contrario en que la producción de un período esté afectada por el gasto en bienes de equipo realizado con anterioridad.
Este mismo fenómeno se puede observar a nivel microeconómico, al analizar la influencia que sobre las ventas de una empresa tienen los gastos en publicidad realizados en un período, éstos en general suelen influir en las ventas de períodos posteriores.
Representación de Modelos Dinámicos
Endógena correlacionada con la perturbación
Concepto de Estabilidad
Modelos de Regresión
Dinámica
Modelos con retardos en las variables exógenas
Modelos con retardos en las variables exógenas y en las endogenas
Multiplicadores de Impacto
Estimación MCO
Estimación MCO Endógena no correlacionada con la perturbacion
Estimación por Variables Instrumentales
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OBJETIVOS ________________________
- Entender en qué consisten los Modelos de Regresión Dinámica (MRD) y su importancia en la economía aplicada.
- Conocer las causas económicas por las que se presentan los MRD en economía.
- Analizar el problema de los MRD, y comprender los conceptos de estabilidad, multiplicadores y retardo medio.
- Estudiar el problema de estimación de los MRD en las diferentes clases de estos modelos
- Aprender a estimar, con ayuda de Minitab, MRD con especial atención al método de Mínimos Cuadrados en dos Etapas (MC2E).
CONOCIMIENTOS PREVIOS ___________________________________
Aparte de estar iniciado en el uso de Excel y del paquete estadístico Minitab, resulta muy conveniente haber leído con profundidad los siguientes math-blocks :
- Regresión Lineal Múltiple
- Autocorrelación
- Multicolinealidad
CONCEPTOS FUNDAMENTALES_______________________________________
Representación de los modelos dinámicos
En esta presentación diferenciaremos entre los casos en que: (1) en las variables explicativas no hay valores retardados de la endógena, (2) existen retardos de la endógena como variables explicativas.
1.- Variables explicativas con retardos de la variable exógena
La forma de este modelo será:
Yt = μ +δ 0 Xt +δ 1 Xt − 1 +....+δ sXt − s + u t
Siendo μ el término independiente y ut un proceso de ruido blanco.
Este tipo de modelos se les denomina modelos de retardos distribuidos de orden s –RD(s)- Para facilitar el manejo de estos modelos se define el operador de retardo , L, por:
LXt = Xt − 1
t t k
k
t
k L X = L ........... LX = X −
Aplicando el operador de retardo al modelo anterior se tendrá :
t t
s Yt =μ +δ 0 Xt +δ 1 LXt +....+δ sLX + u = (^) t t
s μ+ (δ 0 +δ 1 L +....+ δ s L ) X + u
Yt = μ + D ( L ) Xt + u t (1)
siendo D ( L )el polinomio de orden s,
s D ( L )= δ 0 +δ 1 L +....+ δ s L
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Interpretación de los modelos dinámicos
Un modelo es estable cuando cumple alguna de las dos condiciones siguientes:
1.- Ante una variación puntual en el valor de una variable explicativa, la variable dependiente retorna a su valor de equilibrio.
2.- Ante una variación permanente en el valor de una variable explicativa, la variable dependiente evoluciona hacia un nuevo valor de equilibrio.
Se demuestra que para que un modelo dinámico sea estable las raíces del polinomio A(L) deben ser en valor absoluto mayores que la unidad.
Esta condición de estabilidad nos asegura que al pasar del modelo dinámico (2) al (1) la suma
de los coeficientes del polinomio D(L) es finita, es decir, la serie (^) ∑ <∞
∞
1
δ (^) i es convergente. Por
tanto el impacto sobre la variable endógena es finito, pasado un tiempo se retorna al equilibrio o bien, se tiende hacia un nuevo equilibrio.
Multiplicadores y retardos
Estos conceptos son importantes al analizar el efecto que, sobre la variable explicada, tiene una variación unitaria de la variable explicativa.
Multiplicador de Impacto o Contemporáneo – m 0 – representa el cambio que se produce en la variable endógena (Y (^) t) ante una variación unitaria de la exógena en el período actual (X (^) t).
0 =^ β 0 ∂
t
t
X
Y
m
En términos del polinomio D ( L )se tendrá que para L = 0, (^0 ) ( 0 )
( 0 ) m A
B
D =δ = =β =
Yt
Xt
f. Modelo RD estable
t (^0)
t
t
Proyecto e-Math 5
Multiplicador de Retardo j – m (^) j – cuantifica el efecto que sobre la variable endógena (Yt) tiene
una variación unitaria de la exógena en el período t-j (X (^) t-j ).
j t j
t j X
Y
m ≠ β ∂
−
Observación: en este caso no coincide con β (^) j , porque existe una dependencia implícita de las
variables dependientes retardadas.
Considerando el polinomio D ( L )se tendrá que (^) j t j
t j X
Y
m = δ ∂
−
Multiplicador Total – mT – es la suma de todos los multiplicadores = ∑
∞
j = 0
mT mj
Si en el polinomio D ( L )se hace L=1, (^) T j
m A
B
D = ∑ j = =
∞
1
δ
Observación: para que un modelo tenga sentido económico el multiplicador total debe ser finito. Esto ocurrirá siempre que el proceso sea estable y viceversa.
Retardo Medio se define como la media ponderada, por el retardo, de todos los coeficientes del
polinomio D ( L )es decir,
Retardo Medio
∑
∞
=
∞
=
1
1
j
j
j
j j
δ
δ
Derivando el polinomio D ( L ) se tiene ( ) 2 3 ....
2 1 2 3
' D L = δ + δ L + δ L + ; y el retardo medio
queda :
Retardo Medio
∑
∞
=
∞
=
1
1
j
j
j
j j
δ
δ
= ( 1 )
A
A
B
B
D
D
La idea del retardo medio es informarnos si el impacto, sobre la variable endógena de una variación de la exógena, está muy concentrado o diluido en el tiempo.
Retardo Mediano se define como el instante en que se alcanza el 50% del impacto total que se
produce en Yt debido a una variación en Xt
Proyecto e-Math 7
Como se observa en el apartado anterior el multiplicador total es 10 en consecuencia el 50% del
impacto se habrá alcanzado para un valor de 5. Por tanto el Retardo Mediano estará será inferior a 2. Más exactamente teniendo en cuenta que para el retardo de orden 2 el impacto es 5,5 se tendrá, vía una proporcionalidad:
Re tardo _ Mediano = =
( c) Los coeficientes de xt (^) − j para j = 0,1, 2, 3
Teniendo en cuenta el polinomio D (^ L ) el modelo dinámico que nos ocupa puede ponerse en la
forma:
yt =( 3 L + 2 , 7 L + 1 , 8 L + 1 , 1 L + 0 , 6 L +........) xt + u t
2 3 4 5
yt = 3 x (^) t − 1 + 2 , 7 xt − 2 + 1 , 8 xt − 3 + 1 , 1 xt − 4 + 0 , 6 xt − 5 +...+ u t
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Estimación de modelos dinámicos
Si intentamos la estimación de estos modelos con el método de los mínimos cuadrados ordinarios (MCO) vamos a encontrar una serie de problemas al no cumplirse alguna de las hipótesis “ideales” para que las estimaciones obtenidas sean “buenas” (insesgadez, mínima varianza). Por ello será necesario analizar la problemática que se presenta en cada caso para aplicar el método de estimación más adecuado.
Un problema que se presentará en estos modelos se debe a la existencia de valores retardados de la variable exógena (Xt, Xt-1, ......., Xt-s) como variables explicativas. Es de esperar que esta variable esté correlacionada con sus retardos y en consecuencia, estaremos ante un problema de multicolinealidad, tanto más importante cuanto más correlacionada esté Xt con sus retardos.
Otro obstáculo a superar estriba en el elevado número de parámetros a estimar cuando existen muchos retardos, para reducir el número parámetros se recurre a formular hipótesis acerca del comportamiento de los coeficientes de los retardos asociados a la variable exógena del modelo. En este sentido, las hipótesis más utilizadas son: el esquema de Koyck, la hipótesis de las Expectativas Adaptativas, Expectativas Racionales, los Modelos de Ajuste Parcial, o bien combinaciones de ellos.
Una de las hipótesis “ideales” para aplicar los MCO era que las variables explicativas son deterministas (no estocásticas). Sin embargo, cuando en un modelo dinámico figuren como variables explicativas retardos de la variable endógena (Yt), estaremos incumpliendo esta hipótesis con lo que las estimaciones por MCO no son las “buenas”. Este problema introduce una doble casuística según que la variable explicativa esté o no correlacionada con el término de perturbación asociado al modelo.
1. Los retardos son de la variable exógena
Como dijimos anteriormente los problemas que se presentan son: (1) multicolinealidad por la correlación que existe entre la variable y sus retardos, (2) excesivo número de parámetros a estimar lo que afectaría a su fiabilidad, la solución estriba en efectuar hipótesis sobre la evolución del parámetro que permita simplificar el modelo.
Por tanto, obviando los problemas anteriores podemos aplicar MCO y obtener “buenos” estimadores.
2. Los retardos son de la variable endógena que no está correlacionada con la perturbación
Considerando el modelo
Yt = η +β 0 Xt +β 1 Xt − 1 +.... +β qXt − q +α 1 Yt − 1 +....+α pYt − p + u t
En forma matricial, suponiendo que se tienen n observaciones para la estimación, se expresa:
Y = XB + U
Siendo B = (η ,β 0 ,β 1 ,...,β q ,α 1 ,..., α p )', y X la matriz de observaciones de las variables
explicativas (entre ellos los de la variable endógena).
Aplicando el método de MCO al modelo se obtienen los estimadores
B MCO ( X ' X ) X ' Y
− 1
∧
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Una posible solución será utilizar como variable instrumental de Yt (^) − 1 una combinación lineal
( Z (^) t − 1 ) de los retardos de un período del resto de explicativas X (^) it − 1. La matriz W asociada al
método de VI será:
W = [ 1 , X 1 t , X 2 t , X 3 t , Zt − 1 ] y el estimador B VI ( W ' X ) W ' Y
− 1
∧ = ,
siendo X = [ 1 , X 1 t , X 2 t , X 3 t , Yt − 1 ].
Se demuestra que entre todas las combinaciones lineales la más eficiente (la que proporciona el
estimador de menor varianza) es la que se obtiene estimando por MCO el modelo
Yt = α 0 +α 1 X 1 t +α 3 X 2 t +α 4 X 3 t + ε t (5)
El método de MC2E se basa en esta propiedad y se implementa en las siguientes etapas:
Etapa 1
Se genera la variable Yt
∧ utilizando la estimación MCO del modelo (5). Esta estimación verifica:
(1) no está como explicativa en el modelo (4), (2) es combinación lineal de Yt y por ello
correlacionada con ella, (3) es combinación lineal de las variables deterministas ( X (^) it ) y en
consecuencia no correlacionada con la perturbación.
Por tanto verifica las condiciones de ser una buena variable instrumental de Yt (^) − 1.
Etapa 2
Utilizando (^) − 1
∧ Y (^) t como instrumento de Yt (^) − 1 se calcula el estimador de VI tomando, como matriz
W , la matriz
∧ X dada por:
[ 1 , 1 , 2 , 3 , − 1 ]
∧ ∧ X = Xt X t X t Yt t=1, 2......n
el estimador MC2E será:
B MC E ( X ' X ) X ' Y
1 2
∧ −
∧ ∧
y su varianza aproximada, para muestras grandes, vendrá dada por:
2 1 1 V( (^) MC2E ) ( ' ) ( ' )( ' )
−
∧ ∧ ∧ −
∧ ∧ B ≈ σ X X X X X X
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CASOS PRÁCTICOS__________________________________________________
El profesor Luis Ángel Rojo en su libro “Renta, precios y balanza de pagos” hace depender el
consumo de los hogares ( c (^) t ) de: (a) la renta disponible de los hogares ( )
d yt , (b) la riqueza al
comienzo del período ( wt (^) − 1 ), y (c) tipo de interés de los bonos ( rt ). Formalmente se expresa por:
( , t 1 , t )
d ct = f yt w − r con fy > 0 , fw > 0 , fr < 0
suponiendo la función lineal
t t t
d c (^) t = β 0 +β 1 yt +β 2 w − 1 + β 3 r + u (6)
En la realidad no todo el incremento de la renta disponible se incorpora de manera inmediata al
consumo, ni de otra parte tampoco ocurre que ante una variación en la renta el consumo responda de
una forma inmediata sino que mas bien se va adaptando paulatinamente al nuevo nivel de renta. En
los modelos económicos para contemplar las situaciones anteriores se formulan diferentes hipótesis
acerca de cómo se incorpora la renta al consumo (entre ellas el modelo de expectativas adaptativas),
o bien de cómo se ajusta el consumo a la nueva renta (entre ellas el modelo de ajuste parcial). En lo
que sigue exponemos la formulación en que deriva el modelo (6) bajo cada uno de estos supuestos.
Hipótesis de Expectativas Adaptativas
Esta hipótesis es consecuente con la teoría de la Renta Permanente, en la cual se supone que el
consumo se planifica en función de una renta esperada ( )
p y (^) t ( renta permanente) a lo largo del
período de análisis, en vez de planificarlo con la renta corriente (la disponible). Con esta nueva renta se plantean dos cuestiones: ¿Cómo se comporta la renta permanente ante las variaciones de la corriente? ¿Cómo aproximar empíricamente la renta permanente?. Al objeto de solventar este problema se supone que la renta permanente de los hogares se ajusta con retraso a las variaciones de la renta corriente, según la relación (hipótesis de Expectativas Adaptativas):
− (^) − 1 =λ[ - − 1 ]; 0 <λ< 1
p t
d t
p t
p yt y y y
siendo λ el parámetro que regula el ajuste. Otra forma de expresar lo anterior es:
= λ +( 1 −λ) − 1 ; 0 <λ< 1
p t
d t
p yt y y
Es decir, sólo una parte de la variación de la renta corriente queda incorporada a la renta permanente del período t. Se demuestra que bajo esta hipótesis se verifica:
d t
p t y L
y λ
λ
= ; que sustituyéndola en el modelo (6) se obtiene:
t t
t
d t t
Lr Lu
Lc L y Lw
[ 1 ( 1 ) ] [ 1 ( 1 ) ]
[ 1 ( 1 ) ] [ 1 ( 1 ) ] [ 1 ( 1 ) ]
3
0 1 2 1
β λ λ
λ β λ βλ β λ
de donde
1
3 3 1
0 1 1 2 1 2 2
−
−
− − −
t t t
t t t
t t
d t t t
u u
r r
c c y w w
ε λ
β β λ ε
λβ λ βλ β β λ
(7)
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proceso ruido blanco, por serlo u (^) t , es decir, no presenta autocorrelación de orden uno como en
el caso de la HEA.
Por tanto como la perturbación no presenta autocorrelación tampoco estará correlada la variable
explicativa c (^) t − 1 con la perturbación aleatoria ( ε (^) t ). En consecuencia, según lo expuesto en la
estimación de modelos dinámicos podemos aplicar los MCO que nos garantizan la consistencia de los estimadores.
Estimación del modelo de Hipótesis de Expectativas Adaptativas para el consumo
de los hogares españoles
Las variables utilizadas, con datos del periodo 1964-2000, son:
LCH95: el logaritmo neperiano del consumo de los hogares a precios de 1995
LCH951: el logaritmo neperiano del consumo de los hogares a precios de 1995 retardado un periodo
LYD95: el logaritmo neperiano de la renta disponible de los hogares a precios de 1995
LWH951: el logaritmo neperiano de la riqueza de los hogares a precios de 1995
LWH951: el logaritmo neperiano de la riqueza de los hogares a precios de 1995 retardada un periodo
LWH952: el logaritmo neperiano de la riqueza de los hogares a precios de 1995 retardada un periodo
RL: tipo de interés a largo plazo
RL1: tipo de interés a largo plazo retardado un periodo
Como se expuso anteriormente en este caso se presenta correlación entre el consumo de los hogares y la perturbación asociada al modelo, y en consecuencia debemos aplicar el método de VI, más concretamente la versión de MC2E.
1ª Etapa
Estimamos por MCO el consumo de los hogares retardado un periodo en función de las otras variables explicativas y guardamos el valor estimado en FITS1.
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Los resultados obtenidos son:
Regression Analysis: LCH951 versus LYDH95; LWH951; LWH952; RL; RL
The regression equation is
LCH951 = 0.357 + 0.685 LYDH95 + 0.003 LWH951 + 0.250 LWH952 + 0.769 RL- 0.381 RL
Predictor Coef SE Coef T P
Constant 0.3565 0.4690 0.76 0.
LYDH95 0.6852 0.1031 6.65 0.
LWH951 0.0030 0.1877 0.02 0.
LWH952 0.2499 0.1502 1.66 0.
RL 0.7694 0.2606 2.95 0.
RL1 -0.3806 0.2622 -1.45 0.
S = 0.01807 R-Sq = 99.7% R-Sq(adj) = 99.6%
2ª Etapa
Estimamos por MCO el consumo de los hogares en función de la estimación de su retardo, y del resto de variables explicativas. La ecuación que se obtiene es la siguiente:
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Estimación del modelo de Hipótesis de Ajuste Parcial para el consumo de los
hogares españoles
En este caso en el modelo obtenido la variable dependiente consumo de los hogares, si bien tiene como explicativa su propio retardo, no está correlacionada con la perturbación aleatoria y en consecuencia el estimador MCO será consistente.
Aplicando MCO se obtendrá la estimación adjunta:
Regression Analysis: LCH95 versus LCH951; LYDH95; LWH951; RL
The regression equation is
LCH95 = - 0.420 + 0.650 LCH951 + 0.457 LYDH95 - 0.0661 LWH951 - 0.304 RL
36 cases used 1 cases contain missing values
Predictor Coef SE Coef T P
Constant -0.4201 0.3414 -1.23 0.
LCH951 0.6497 0.1414 4.59 0.
LYDH95 0.4575 0.1168 3.92 0.
LWH951 -0.06611 0.05641 -1.17 0.
RL -0.3040 0.1028 -2.96 0.
S = 0.01493 R-Sq = 99.8% R-Sq(adj) = 99.7%
En consecuencia el modelo a analizar será
(1-0.65L)LCH95 = -0,420 + 0.457 LYDH95 - 0.0661 LWH951 - 0.304 RL
Este modelo es estable pues L = 1,54 > 0
El multiplicador contemporáneo será: el coeficiente asociado a cada variable
Los multiplicadores de diferentes retardos serán:
para LYDH
AL L
B L
D L L L L
3 3
2 0 1 2 −
=δ +δ +δ +δ + = =
de donde
3 3 2
2 = δ 0 + δ 1 − δ 0 L +δ 2 − δ 1 L +δ − δ L +
que resolviendo
δ 0 = 0 , 457
δ 1 = 0 , 457 δ 0 = 0 , 297
δ 2 = 0 , 457 δ 1 = 0 , 193
nos darían los multiplicadores de los diferentes retardos. Análogamente se calculan para el resto de las variables exógenas.
Como se observa en el apartado siguiente el multiplicador total es 1,31 en consecuencia el 50% del impacto se habrá alcanzado para un valor de 0,655. Por tanto el Retardo Mediano será
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inferior a 1. Más exactamente teniendo en cuenta que para el retardo de 1
er orden el impacto es 0,754 se tendrá que
Re tardo _ Mediano = =.
El multiplicador total será
para LYDH
A
B
mT
Por cada cada punto porcentual que aumenta la renta disponible de los hogares se da un incremento total 1,31 puntos porcentuales en el consumo de éstos.
para LWH
A
B
mT
Un incremento en un punto porcentual de la riqueza del periodo anterior de los hogares provoca una caída total de 0.19 puntos porcentuales en el consumo de éstos.
para RL
A
B
mT
Un incremento en un punto porcentual en el tipo de interés de los hogares provoca una caída total de 0.89 puntos porcentuales en el consumo de éstos.
Cálculo del Retardo Medio
Como todas las exógenas están sin retardos será el mismo para todas
Re _ = −
A
A
B
B
tardo Medio
