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Tema 5. Modelos Te´oricos de Probabilidad
Nuria Ruiz
Estad´ıstica. Grado en Fisioterapia. Curso 2011-
´Indice
- Introducci´on 1
- Distribuci´on Binomial 1
- Distribuci´on Normal 4
- Otras distribuciones 7
1. Introducci´on
Hay muchos fen´omenos con un comportamiento similar que han dado lu- gar a modelos de probabilidad te´oricos que ser´an aplicables a situaciones con unas determinadas caracter´ısticas y de gran utilidad en inferencia estad´ısti- ca. Definiremos distribuciones de probabilidad te´oricas para v.a. discretas y continuas.
2. Distribuci´on Binomial
Supongamos que realizamos n veces de forma independiente un experi- mento que tiene s´olo dos posibles resultados ´exito y fracaso. Supongamos que
el suceso ´exito ocurre con probabilidad p constante en cada realizaci´on, por tanto, el fracaso ocurrir´a con probabilidad 1 − p. La variable aleatoria X que representa el n´umero de ´exitos en las n realizaciones del experimento se dice que tiene distribuci´on Binomial de par´ametros n y p. Lo denotaremos por X ; B(n, p) La variable aleatoria X podr´a tomar valores 0, 1 ,... , n y cada uno de ellos lo toma con probabilidad:
P [X = x] =
(n p
px(1 − p)n−x, x = 0, 1 , 2 ,... , n
El valor esperado y la varianza de esta variable son:
E[X] = np V ar[x] = np(1 − p)
La funci´on de probabilidad o la funci´on de distribuci´on de los modelos te´oricos usuales est´an tabuladas, en el caso de la Binomial podemos encontrar tablas para distintos valores de n y de p. En el siguiente ejemplo veremos el uso de la funci´on de probabilidad y su tabulaci´on.
Ejemplo 1. Una de cada 10 personas tiene alg´un tipo de alergia. Se seleccio- nan aleatoriamente 20 individuos y se les entrevista.
Hallar la probabilidad de que en la muestra haya 3 al´ergicos a algo.
Hallar la probabilidad de que, como m´aximo 5 sean al´ergicos a algo.
Calcular la probabilidad de que al menos 12 tengan alg´un tipo de aler- gia.
Calcular la probabilidad de que haya entre 4 y 8 al´ergicos.
Calcular la probabilidad de que 15 no sean al´ergicos.
¿Cu´antos al´ergicos se esperan en la muestra?
- Distribuci´on Normal
Entre los modelos te´oricos de probabilidad para variables continuas uni- dimensionales, la m´as importante es la distribuci´on Normal o de Gauss. Si una v.a. X tiene distribuci´on Normal, X ; N (μ, σ), su funci´on de densidad es: f (x) = 1 σ
2 π
exp−^12 (^ x−σ^ μ)^2 , ∀x ∈ R
Esta distribuci´on est´a caracterizada por sus par´ametros μ y σ^2 que son la esperanza y la varianza de la distribuci´on.
m=0,s= m=0,s= m=0,s=
Distribución Normal
Densidad f(x)
-15 -10 -5 0 5 10 15
0
Figura 2: Funci´on de densidad de la distribuci´on Normal
Observaciones
La forma acampanada de la funci´on de densidad le da el nombre de campana de Gauss
El par´ametro μ, la esperanza, indica la posici´on de la campana.
m=0, s= m=-3, s= m=3, s=
Distribución Normal. Distintas posiciones.
Densidad
-9 -6 -3 0 3 6 9
0
Figura 3: Funci´on de densidad de la distribuci´on Normal
La campana es sim´etrica respecto a μ, valores equidistantes a μ son igualmente probables. Los valores entorno a la media son menos pro- bables al alejarnos de ´esta.
La dispersi´on σ es menor si m´as densidad de probabilidad est´a con- centrada entorno a la media (apuntamiento cerca de μ) y es mayor si la densidad de probabilidad se reparte para m´as valores de la variable (mayor aplastamiento).
La probabilidad de que la variable X tome valores entre a y b es el ´area bajo la curva de la funci´on de densidad comprendida entre a y b.
La funci´on de distribuci´on de la distribuci´on Normal est´andar N (0, 1) est´a tabulada. Si la v.a. para la que queremos calcular probabilidades es N (μ, σ), la transfomaremos mediante tipificaci´on para convertirla en una N (0, 1), es decir,
Si X ; N (μ, σ) ⇒ Z = X^ −σ μ; N (0, 1)
Ejemplo 3. La glucemia en ayunas de un diab´etico puede suponerse distribui- da de forma aproximadamente normal con media 106mg/100ml y desviaci´on t´ıpica 8mg/10ml.
- Calcular la probabilidad de que la glucemia en ayunas sea menor de 110mg/100ml.
- Calcular la probabilidad de que en una muestra de 20 diab´eticos haya 16 individuos con glucemia inferior a 110mg/100ml.
- ¿Qu´e porcentaje de diab´eticos tendr´a niveles entre 90 y 120mg/100ml.?
- Encontrar un valor de glucemia (zα), tal que el 25 % de los diab´eticos tenga una glucemia en ayunas por debajo de ´el.
- Otras distribuciones
Existen otras distribuciones continuas asociadas a la distribuci´on Normal. √ (^) Distribuci´on χ 2
√ Distribuci´on t-student √ (^) Distribuci´on F -Snedecor
Distribuci´on χ^2 Si X 1 , X 2 ,... , Xn son v.a. Normales, independientes, Xi ; N (0, 1), ∀i = 1 ,... , n, entonces la v.a.
χ^2 = X 12 + · · · + X n^2 ; χ^2 n
tiene distribuci´on χ^2 con n grados de libertad. La funci´on de densidad de la distribuci´on χ^2 con n grados de libertad se expresa como:
f (x) = (^2) n/ (^21) Γ(n 2 )
xn^2 −^1 e−^ x^2 , x > 0
La media es μ = n y la varianza σ^2 = 2n.
Esta distribuci´on tambi´en est´a tabulada y en la Figura 4 se puede ver la representaci´on de la funci´on de densidad para varios grados de libertad.
dsfsd Distribución chi-cuadrado
Densidad
n=
n= n=
0 10 20 30 40
0
n=
Figura 4: Funci´on de densidad de la distribuci´on χ^2
Distribuci´on t-Student Sean X ; N (0, 1) e Y ; χ^2 n, independientes, entonces:
T = √X Yn
; tn
tiene distribuci´on t-Student con n grados de libertad. La funci´on de densidad de la distribuci´on t-Student con n grados de libertad se expresa como:
f (x) =
Γ(n+1 2 ) √ nπΓ
(n 2
)(t
2 n + 1)
− n+1 (^2) , −∞ < x < ∞
La media es μ = 0 y la varianza σ^2 = (^) nn− 2 para n > 2. La distribuci´on t-Student tiene un comportamiento similar a la N (0, 1). Es sim´etrica respecto a su media. Si n ; ∞, la distribuci´on tn se aproxima a
Obs´ervese que Fn,m 6 = Fm,n, pero si F ; Fn,m ⇒ (^) F^1 ; Fm,n. Esta distribuci´on no es sim´etrica. La funci´on de distribuci´on est´a tabulada para distintos valores de n y m y en la Figura 6 se puede ver la representaci´on de la funci´on de densidad para distintos grados de libertad.
Grados de libertad 10, 5, 10, 20,
Distribución F-Snedecor
x
Densidad
n=10, m=
0 1 2 3 4 5
0
n=20, m=
Figura 6: Funci´on de densidad de la distribuci´on Fn,m
