¡Descarga Probabilidad y variable aleatoria y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
Tema 4. Probabilidad y Variable Aleatoria
Nuria Ruiz
Estad´ıstica. Grado en Fisioterapia. Curso 2011-
´Indice
- Introducci´on 1
- Experimentos aleatorios. Sucesos 2
- Definici´on de Probabilidad 4
- Propiedades de la probabilidad 5
- Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos 6
- Teoremas fundamentales 8
- Variable aleatoria 9
- Caracter´ısticas de una variable aleatoria 12
1. Introducci´on
La descripci´on de los resultados de un experimento puede no ser sufi- ciente si el objetivo es extraer conclusiones para todos los individuos del tipo de los que han sido estudiados, bajo estas condiciones de incertidumbre es
imprescindible el uso de la Teor´ıa de la probabilidad. Usando modelos proba- bil´ısticos apropiados y las reglas del c´alculo de probabilidades, la Inferencia estad´ıstica permitir´a el mejor conocimiento de los fen´omenos aleatorios. En este tema y el siguiente se establece la terminolog´ıa y los modelos proba- bil´ısticos, se definen tambi´en las variables aleatorias que representan num´eri- camente los resultados de un espacio muestral y sus caracter´ısticas.
- Experimentos aleatorios. Sucesos
Cualquier fen´omeno observable da lugar a un resultado, si realizamos el experimento bajo id´enticas condiciones y el resultado no cambia decimos que el experimento es determin´ıstico, en caso de que los resultados sean impredecibles y dependan del azar se denomina experimento aleatorio. Los resultados indivisibles de un experimento aleatorio se denominan sucesos elementales. Se denomina espacio muestral, E, al conjunto de to- dos los sucesos elementales, puede ser finito o infinito. El espacio muestral se dice discreto si est´a formado por un conjunto finito o infinito numerable de sucesos elementales y es continuo si tiene un conjunto no numerable de ellos.
Lanzamientos de un dado. E = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Extracci´on de un n´umero de un bombo de loter´ıas. E = { 1 , 2 , 3 , · · · , 99999 }
N´umero diario de individuos que acuden a una ventanilla. E = { 1 , 2 , 3 , 4 , · · · }
Longitud del f´emur a las 12 semanas de gestaci´on. E = {[0cm, 2 cm]}
Un suceso es un conjunto de sucesos elementales. Se dice que ocurre el suceso cuando alguno de los sucesos elementales ocurre. Los sucesos se suelen denotar con letras may´usculas.
En el lanzamiento de dos dados la suma es 5. A={(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}
La longitud del f´emur a las 12 semanas de gestaci´on es mayor de 0.7cm. A = {(longitud > 0 ,7)}
- Definici´on de Probabilidad
La incertidumbre existente sobre los resultados de un experimento aleato- rio se puede medir, evaluar la posibilidad de que ocurra un suceso al realizar un experimento es calcular su probabilidad de ocurrencia.
Definici´on cl´asica de probabilidad
Dado un espacio muestral finito, en el que todos los sucesos elemen- tales tienen la misma posibilidad de ocurrir (son equiprobables), la Regla de Laplace define la probabilidad de ocurrencia de un suceso A como:
P (A) = N
o (^) casos favorables a que ocurra A No^ casos posibles
Esta regla no es aplicable a espacios no finitos y a sucesos elementales con probabilidades distintas.
Definici´on frecuentista de probabilidad
Realizando el experimento un n´umero elevado de veces, se asigna al suceso la frecuencia relativa de aparici´on del mismo.
P (A) = l´ n→∞ım^ n nA
Definici´on subjetiva de probabilidad
Hay experimentos que no se pueden repetir en las mismas condiciones, en- tonces se asignan probabilidades a los sucesos mediante un criterio intuitivo, atendiendo al grado de confianza que el individuo tenga en su ocurrencia.
Definici´on axiom´atica de probabilidad
Esta definici´on est´a basada en las regularidades que se observan en la ocurrencia de un fen´omeno aleatorio. Seg´un ella, dado un espacio muestral
E, una funci´on de probabilidad es cualquier funci´on que asigne a cada suceso A un n´umero en el intervalo [0, 1] y que verifique:
- P (A) ≥ 0, para cualquier suceso A.
- P(E)=
- Dados dos sucesos A y B incompatibles, se verifica:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
- Propiedades de la probabilidad
Las propiedades m´as importantes de la probabilidad, que adem´as nos permitir´an calcular probabilidades obtenidas mediante operaciones sobre los sucesos, son las siguientes:
X Para cualquier suceso A,
0 ≤ P (A) ≤ 1
X P (E) = 1
X Si A y B son sucesos disjuntos entonces:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
De ellas se obtienen las siguientes:
X P (∅) = 0
X Dado un suceso cualquiera A, P ( A¯) = 1 − P ( A¯).
X Para dos sucesos cualesquiera A y B se tiene
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
X Si A ⊆ B entones P (A) ≤ P (B).
Ejemplo 2. En un instituto el 25 % de los alumnos de un curso suspen- di´o Matem´aticas, el 15 % Qu´ımica y el 10 % suspendi´o las dos asignaturas. Se elige un alumno al azar.
Si un alumno suspendi´o Qu´ımica, ¿cu´al es la probabilidad de que sus- pendiera tambi´en Matem´aticas?
Si suspendi´o Matem´aticas, ¿cu´al es la probabilidad de que suspendiera Qu´ımica?
¿Cu´al es la probabilidad de que el alumno suspendiera alguna de las asignaturas?
Ejemplo 3. Se sabe que un 68 % de los individuos diagnosticados con os- teoporosis la tienen clasificada como primaria y el resto como secundaria. De los individuos diagnosticados con osteoporosis, el 60 % son mujeres y se sabe adem´as que para ellas es primaria en el 85 % de los casos, mientras que lo es en el 45 % para los varones. Se selecciona al azar un individuo con osteoporosis,
¿Qu´e probabilidad hay de que sea un individuo con osteoporosis secun- daria si se sabe que es mujer?
¿Qu´e probabilidad hay de que sea hombre con osteoporosis primaria?
¿Qu´e probabilidad hay de que sea mujer si tiene osteoporosis secun- daria?
Independencia de sucesos Si nos planteamos valorar la ocurrencia de un suceso A, supuesto que ha ocurrido B, es porque creemos que pueden estar relacionados y la creencia en que A ocurra se modifica por la observaci´on de B. Si esto no fuese as´ı es- tar´ıamos en una situaci´on de independencia, la observaci´on de B no modifica la evaluaci´on de la creencia en que ocurra A.
Definici´on 2. Dados dos sucesos cualesquiera A y B, se dicen independi- entes si P (A/B) = P (A), o bien si P (B/A) = P (B) o de forma equivalente si P (A ∩ B) = P (A)P (B).
Ejemplo 4. ¿Se puede decir en el Ejemplo 2 que suspender Matem´aticas es independiente de suspender Qu´ımica?
- Teoremas fundamentales
Teorema de la probabilidad total
Sean los sucesos A 1 , A 2 , · · · , An que constituyen una partici´on del es- pacio muestral asociado a un experimento, es decir, sucesos disjuntos y uno de ellos ocurre seguro al realizar el experimento. Se supone que son conocidas sus probabilidades:
P (Ai), i = 1, 2 ,... , n
Sea B otro suceso del espacio muestral del que se conoce su probabilidad de ocurrencia condicionada a cada uno de los sucesos anteriores, es decir, son conocidas:
P (B/Ai), i = 1, 2 ,... , n
Entonces:
P (B) =
∑^ n i=
P (B/Ai)P (Ai)
Ejemplo 5. Supongamos que la probabilidad de tener una fractura es de 0.7 si se tiene osteoporosis primaria y de 0.85 si es secundaria. ¿Qu´e probabilidad hay de que un individuo con osteoporosis sufra una fractura? (Utilizar la informaci´on del Ejemplo 3 que sea necesaria).
- N´umero de caras en 4 lanzamientos de una moneda
- N´umero de consultas al tel´efono de la esperanza al d´ıa.
- N´umero de sesiones terap´euticas necesarias hasta considerar su- perada una dolencia.
Variable aleatoria continua, si puede tomar cualquier valor en un inter- valo.
- Longitud de las unidades de una especie capturadas en una zona mar´ıtima para un control de capturas legales.
- Tiempo transcurrido hasta la efectividad de una dosis de anestesia.
- Volumen de orina producida por hora.
- Duraci´on de la ca´ıda de un servidor.
Los valores o conjuntos de valores de las variables aleatorias tendr´an aso- ciada una probabilidad de ocurrencia, unos resultados ser´an m´as probables que otros. Para caracterizar a las variables aleatorias de forma expl´ıcita, lo haremos indicando los valores que pueden tomar y definiendo una funci´on que describa c´omo se distribuyen las probabilidades asociadas a ellos. En el caso de variables aleatorias discretas definiremos la funci´on masa de pro- babilidad y para variables aleatorias continuas su funci´on de densidad.
Funci´on masa de probabilidad
Definici´on 3. Dada una variable aleatoria (v.a.) discreta, X, se define su funci´on masa de probabilidad como
p(xi) = P [X = xi] = pi
Esta funci´on verifica:
pi ≥ 0 , ∀i ∑ i pi^ = 1
Ejemplo 7. La siguiente tabla representa la funci´on de probabilidad del n´umero de personas diario que solicita un tratamiento innecesario en un servicio de urgencias en un peque˜no hospital.
xi 0 1 2 3 4 5 p(xi) 0.01 0.1 0.3 0.4 0.1? Calculamos e interpretamos p(5), P [X > 2], P [X ≤ 2] y P [X > 3]
Ejemplo 8. Escribir el espacio muestral asociado al experimento consistente en lanzar una moneda tres veces. Sea X la variable aleatoria que representa el n´umero de caras obtenidas, establecer los valores que puede tomar y la funci´on de probabilidad asociada.
Observaci´on: ¿A qu´e figura se parece la representaci´on gr´afica de la funci´on masa de probabilidad?
Funci´on de densidad
Definici´on 4. Dada una variable aleatoria (v.a.) continua, X, se define su funci´on de densidad como una funci´on f (x) que verifica:
f (x) ≥ 0 ∫ (^) ∞ −∞ f^ (x)dx^ = 1
Adem´as, dados a, b ∈ R, con a < b, se tiene
P [a ≤ X ≤ b] =
∫ (^) b
a
f (s)ds
Nota: Para variables continuas P [X = x] = 0, por lo que la inclusi´on o no de los extremos del intervalo (a, b) no afecta al c´alculo de la probabilidad, es decir, P [a < X < b] = P [a ≤ X < b] = P [a < X ≤ b] = P [a ≤ X ≤ b].
Varianza
Definici´on 6. Dada una v.a. X su varianza se define como
σ^2 = V ar[X] = E[(X − EX)^2 ]
y se calcula como:
Si la v.a. es discreta:
V ar[X] =
i
(xi − EX)^2 p(xi)
Si la v.a. es continua:
V ar[X] =
−∞
(x − EX)^2 f (x)dx
En la pr´actica se utiliza la expresi´on: σ^2 = V ar[X] = E[X^2 ] − (EX)^2
Definici´on 7. La ra´ız cuadrada de la varianza, σ =
V ar[X], se denomina desviaci´on t´ıpica de la variable X.
La interpretaci´on de la varianza es igual que para las variables estad´ısti- cas, mide la dispersi´on de los valores de la variable respecto a su valor prome- dio o esperado.
Ejemplo 10. Calcular la esperanza y la varianza de la variable “N´umero de caras en tres lanzamientos de una moneda”.
