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Las funciones definidas por expresiones de polinomios se denominan funciones
polinomiales. Las gráficas de funciones polinomiales pueden tener numerosos
picos y valles; esto las hace modelos apropiados para muchas situaciones prácti-
cas. Por ejemplo, la propietaria de una fábrica observa que si ella aumenta el nú-
mero de trabajadores, aumenta la productividad, pero si hay demasiados trabaja-
dores entonces la productividad empieza a disminuir. Esta situación está
modelada por una función polinomial de grado 2 (una función cuadrática).
Como otro ejemplo, cuando se golpea un balón de volibol, éste primero sube y
luego baja, siguiendo una trayectoria que también está modelada por una fun-
ción cuadrática. Las gráficas de funciones polinomiales son curvas sin irregulari-
dades que se usan para diseñar muchas cosas. Por ejemplo, los diseñadores de
botes de vela unen partes de las gráficas de diferentes funciones cúbicas (llama-
das curvas paramétricas) para hacer las curvas del casco de un bote de velas.
C A P Í T U L O
FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES
3.1 Funciones y modelos cuadráticos
3.2 Funciones polinomiales y sus gráficas
3.3 División de polinomios
3.4 Ceros reales de funciones polinomiales
3.5 Números complejos
3.6 Ceros complejos y el Teorema Fundamental de Álgebra
3.7 Funciones racionales
ENFOQUE SOBRE MODELADO
Ajuste de datos a curvas con funciones polinomiales
Image 100/Corbis
224 C A P Í T U LO 3 | Funciones polinomiales y racionales
Una función polinomial es una función que está definida por una expresión con polinomios.
Entonces una función polinomial de grado n es una función de la forma
P 1 x 2 an x n^ an 1 x n^^1 p^ a 1 x a 0
Ya hemos estudiado funciones polinomiales de grados 0 y 1. Éstas son funciones de la
forma P 1 x 2 a 0 y P 1 x 2 a 1 x a 0 , respectivamente, cuyas gráficas son rectas. En esta sec-
ción estudiamos funciones de grado 2 que reciben el nombre de funciones cuadráticas.
FUNCIONES CUADRÁTICAS
Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2. Entonces, una
función cuadrática es una función de la forma
f 1 x 2 ax^2 bx c , a 0
Vemos en esta sección la forma en que las funciones cuadráticas modelan muchos fenóme-
nos reales. Empecemos por analizar las gráficas de funciones cuadráticas.
W Graficar funciones cuadráticas usando la forma normal
Si tomamos a 1 y b c 0 en la función cuadrática f 1 x 2 ax^2 bx c , obtenemos
la función cuadrática f 1 x 2 x^2 , cuya gráfica es la parábola graficada en el Ejemplo 1 de la
Sección 2.2. De hecho, la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola ; puede
obtenerse de la gráfica de f 1 x 2 x^2 por las transformaciones dadas en la Sección 2.5.
FORMA NORMAL DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática puede expresarse en la forma normal
completando el cuadrado. La gráfica de f es una parábola con vértice ( h , k ); la
parábola abre hacia arriba si a 0 o hacia abajo si a 0.
f 1 x 2 a 1 x h 22 k
f 1 x 2 ax^2 bx c
y
(^0) x
Ï=a(x-h)™+k, a>
y
(^0) x
Ï=a(x-h)™+k, a<
h
k
h
Vértice ( h, k )
Vértice ( h, k )
k
E J E M P L O 1 Forma normal de una función cuadrática
Sea f 1 x 2 2 x^2 2 12 x 23.
(a) Exprese f en forma normal. (b) Trace la gráfica de f.
3.1 F UNCIONES Y MODELOS CUADRÁTICOS
Graficar funciones cuadráticas usando la forma normal Valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas Modelado con funciones cuadráticas
Las expresiones de polinomios están definidas en la Sección 1.3.
Para una definición geométrica de pa- rábolas, vea la Sección 11.1.
226 C A P Í T U LO 3 | Funciones polinomiales y racionales
E J E M P L O 2 Valor mínimo de una función cuadrática
Considere la función cuadrática f 1 x 2 5 x^2 2 30 x 49.
(a) Exprese f en forma normal.
(b) Trace la gráfica de f.
(c) Encuentre el valor mínimo de f.
S O L U C I Ó N
(a) Para expresar esta función cuadrática en forma normal, completamos el cuadrado.
Factorice 5 de términos en x
51 x 322 4 Factorice y simplifique
Complete el cuadrado: sume 9 51 x (^) dentro de paréntesis, reste 5 # (^) 9 fuera (^2 6) x 92 49 5 # (^9)
51 x^2 6 x 2 49
f 1 x 2 5 x^2 30 x 49
(b) La gráfica es la parábola que tiene su vértice en (3, 4) y abre hacia arriba, como se ve
en la Figura 2.
(c) Como el coeficiente de x^2 es positivo, f tiene un valor mínimo. El valor mínimo es
f 132 4.
AHORA TRATE DE HACER EL EJERCICIO 25 Q
E J E M P L O 3 Valor máximo de una función cuadrática
Considere la función cuadrática f 1 x 2 2 x^2 x 2.
(a) Exprese f en forma normal.
(b) Trace la gráfica de f.
(c) Encuentre el valor máximo de f.
S O L U C I Ó N
(a) Para expresar esta función cuadrática en forma normal, completamos el cuadrado.
Factorice 1 de los términos en x
A x^12 B^2 94 Factorice y simplifique
A x^2 x^14 B 2 1
x^2 x 2
x 2
x^2 x 2
Complete el cuadrado: Sume dentro de paréntesis, reste 1 1 214 fuera
1 4
f
(b) De la forma normal vemos que la gráfica es una parábola que abre hacia abajo y tiene
vértice A^12 , 94 B. Como ayuda para trazar la gráfica, encontramos los puntos de intersec-
ción. El punto de intersección en y es f 102 2. Para hallar los puntos de intersección
en x , hacemos f 1 x 2 0 y factorizamos la ecuación resultante.
Haga y = 0
Multiplique por –
1 x 2 2 1 x 12 0 Factorice
x^2 x 2 0
x^2 x 2 0
Así, los puntos de intersección en x son x 2 y x 2 1. La gráfica de f se traza en la
Figura 3.
(c) Como el coeficiente de x^2 es negativo, f tiene un valor máximo, que es fA^12 B 94.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 27 Q
Expresar una función cuadrática en forma normal nos ayuda a trazar su gráfica así como
a hallar su valor máximo o mínimo. Si estamos interesados en hallar el valor máximo o
F I G U R A 3 Gráfica de
f 1 x 2 x^2 x 2
y
x
4
_1 2
Valor máximo
y
3 x
Ï=5(x-3)™+
Valor mínimo 4
F I G U R A 2
S E CC I Ó N 3.1 | Funciones y modelos cuadráticos 227
mínimo, entonces existe una fórmula para hacerlo. Esta fórmula se obtiene completando el
cuadrado para la función cuadrática general como sigue:
Factorice a de los términos en x
a a x Factorice
b
2 a
b
2
c
b^2
4 a
a a x^2
b
a
x
b^2
4 a^2
b c a a
b^2
4 a^2
b
a a x^2
b
a
x b c
f 1 x 2 ax^2 bx c
Complete el cuadrado: sume dentro de paréntesis, reste
a a b fuera
2 4 a^2
b
b^2 4 a^2
Esta ecuación está en forma normal con h 2 b / 12 a 2 y k c 2 b^2 / 14 a 2. Como el valor
máximo o mínimo se presenta en x h , tenemos el siguiente resultado.
VALOR MÁXIMO O MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
El valor máximo o mínimo de una función cuadrática
se presenta en
Si a 0, entonces el valor mínimo es.
Si a 0, entonces el valor máximo es f a.
b
2 a
b
f a
b
2 a
b
x
b
2 a
f 1 x 2 ax^2 bx c
E J E M P L O 4 Hallar valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas
Encuentre el valor máximo o mínimo de estas funciones cuadráticas.
(a ) f 1 x 2 x^2 4 x (b ) g 1 x 2 2 x^2 4 x 5
S O L U C I Ó N
(a) Ésta es una función cuadrática con a 1 y b 4. Entonces, el valor máximo o mí-
nimo se presenta en
x
b
2 a
2 #^1
Como a > 0, la función tiene el valor mínimo.
f 1 22 1 222 41 22 4
(b) Ésta es una función cuadrática con a 2 2 y b 4. Entonces, el valor máximo o mí-
nimo se presenta en
x
b
2 a
2 #^1
Como a < 0, la función tiene el valor máximo
f 112 21122 4112 5 3
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 33 Y 35 Q
_
_5 2
El valor mínimo ocurre en x = _2.
_
_2^4
El valor máximo ocurre en x = 1.
S E CC I Ó N 3.1 | Funciones y modelos cuadráticos 229
Establezca el modelo. El modelo que buscamos es la función R que da el ingreso
para un determinado precio de boleto x.
R 1 x 2 23,500 x 1000 x^2
R 1 x 2 x 1 23,500 1000 x 2
R 1 x 2 x 39500 1000114 x 2 4
ingreso precio del boleto asistencias
(b) Use el modelo. Como R es función cuadrática con a 2 1000 y b 23,500, el
máximo ocurre en
x
b
2 a
Por lo tanto, el precio de boleto de $11.75 da el máximo ingreso.
(c) Use el modelo. Deseamos hallar el precio del boleto por el que R 1 x 2 0.
Haga R ( x ) = 0
Divida entre 1000
Factorice
x 0 o x 23.5 Despeje x
x 1 23.5 x 2 0
23. 5 x x^2
23 , 500 x 1000 x^2
Por lo tanto, de acuerdo con este modelo, el precio del boleto de $23.50 es simple-
mente demasiado alto; a ese precio, nadie va a ver jugar a su equipo. (Desde luego, el
ingreso también es cero si el precio del boleto es cero.)
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 77 Q
CONCEPTOS
1. Para poner la función cuadrática f 1 x 2 ax^2 bx c en forma normal, completamos el________. 2. La función cuadrática f 1 x 2 a 1 x 2 h 22 k está en forma nor- mal. (a) La gráfica de f es una parábola con vértice (,). (b) Si a > 0, la gráfica de f abre hacia ______. En este caso f 1 h 2 k es el valor ______de f. (c) Si a < 0, la gráfica de f abre hacia ______. En este caso f 1 h 2 k es el valor ______de f. 3. La gráfica de f 1 x 2 221 x 2 322 5 es una parábola que abre hacia _____, con su vértice en (,), y f (3 2 ____es el valor (mínimo/máximo)____de f. 4. La gráfica de f 1 x 2 221 x 2 322 5 es una parábola que abre hacia _____, con su vértice en (,),
y f 132 ____ es el valor (mínimo/máximo)____ de f.
HABILIDADES 5-8 Q Nos dan la gráfica de una función cuadrática f. (a) Encuentre las coordenadas del vértice. (b) Encuentre el valor máximo o mí- nimo de f. (c) Encuentre el dominio y rango de f. 5. f 1 x 2 x^2 6 x 5 6. f 1 x 2 12 x^2 2 x 6
(^0 1) x
y
0 1 x
y
- 1 E J E R C I C I O S
La asistencia máxima ocurre cuando el precio del boleto es $11.75.
230 C A P Í T U LO 3 | Funciones polinomiales y racionales
7. f 1 x 2 2 x^2 4 x 1 8. f 1 x 2 3 x^2 6 x 1
(^0 1) x
y
0 1 x
y
9-22 Q Nos dan una función cuadrática. (a) Exprese la función cuadrática en forma normal. (b) Encuentre su vértice y su(s) punto(s) de intersección x y y. (c) Trace su gráfi ca.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. f 1 x 2 4 x^2 16 x 3 22. f 1 x 2 6 x^2 12 x 5
f 1 x 2 2 x^2 20 x 57 f 1 x 2 2 x^2 x 6
f 1 x 2 2 x^2 4 x 3 f 1 x 2 3 x^2 6 x 2
f 1 x 2 x^2 6 x 4 f 1 x 2 x^2 4 x 4
f 1 x 2 x^2 4 x 3 f 1 x 2 x^2 2 x 2
f 1 x 2 2 x^2 6 x f 1 x 2 x^2 10 x
f 1 x 2 x^2 6 x f 1 x 2 x^2 8 x
23-32 Q Nos dan una función cuadrática. (a) Exprese la función cuadrática en forma normal. (b) Trace su gráfica. (c) Encuentre su valor máximo o mínimo.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. h 1 x 2 1 x x^2 32. h 1 x 2 3 4 x 4 x^2
g 1 x 2 3 x^2 12 x 13 g 1 x 2 2 x^2 8 x 11
f 1 x 2 x^2 3 x 3 f 1 x 2 1 6 x x^2
f 1 x 2 3 x^2 6 x 1 f 1 x 2 5 x^2 30 x 4
f 1 x 2 x^2 2 x 1 f 1 x 2 x^2 8 x 8
33-42 Q Encuentre el valor máximo o mínimo de la función.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
41. f 1 x 2 3 x^12 x^2 42. g 1 x 2 2 x 1 x 42 7
f 1 x 2
x^2 3
h 1 x 2 12 x^2 2 x 6 2 x 7
f 1 s 2 s^2 1.2 s 16 g 1 x 2 100 x^2 1500 x
f 1 t 2 100 49 t 7 t^2 f 1 t 2 10 t^2 40 t 113
f 1 x 2 x^2 x 1 f 1 x 2 1 3 x x^2
43. Encuentre una función cuya gráfica es una parábola con vértice (1, 2 2) y que pasa por el punto (4, 16). 44. Encuentre una función cuya gráfica es una parábola con vértice (3, 4) y que pasa por el punto (1, 2 8).
45-48 Q Encuentre el dominio y rango de la función.
45. 46.
47. f 1 x 2 2 x^2 6 x 7 48. f 1 x 2 3 x^2 6 x 4
f 1 x 2 x^2 4 x 3 f 1 x 2 x^2 2 x 3
49-50 Q Nos dan una función cuadrática. (a) Use una calculadora graficadora para hallar el valor máximo o mínimo de la función cuadrática f , correcta a dos lugares decimales. (b) Encuentre el valor exacto máximo o mínimo de f , y compárelo con su respuesta de la parte (a). 49.
50. f 1 x 2 1 x 12 x^2
f 1 x 2 x^2 1.79 x 3.
51-54 Q Encuentre todos los valores máximo y mínimo de la fun- ción cuya gráfica se muestra.
51.
0 1 x
y (^) 52.
(^0 1) x
y
x
y (^) 54.
1 (^0 1) x
y
55-62 Q Encuentre los valores máximo y mínimo locales de la fun- ción y el valor de x en el que se presenta cada uno. Exprese cada respuesta correcta a dos lugares decimales.
**55.
59.**
60.
61.
62. V 1 x 2
x^2 x 1
V 1 x 2
1 x^2 x^3
U 1 x 2 x 2 x x^2
U 1 x 2 x 16 x
g 1 x 2 x^5 8 x^3 20 x
g 1 x 2 x^4 2 x^3 11 x^2
f 1 x 2 3 x x^2 x^3
f 1 x 2 x^3 x
APLICACIONES
63. Altura de una pelota Si una pelota es lanzada directa-
mente hacia arriba con una velocidad de 40 pies/s, su altura (en pies) después de t segundos está dada por y 40 t 2 16 t^2. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?
232 C A P Í T U LO 3 | Funciones polinomiales y racionales
77. Ingresos en un estadio Un equipo de béisbol juega en
un estadio con capacidad para 55,000 espectadores. Con el pre- cio del boleto en $10, el promedio de asistencia en partidos re- cientes ha sido de 27,000. Un estudio de mercado indica que por cada dólar que baje el precio del boleto, la asistencia au- menta en 3000. (a) Encuentre una función que modele el ingreso en términos del precio del boleto. (b) Encuentre el precio que lleve al máximo los ingresos por venta de boletos. (c) ¿Qué precio del boleto es tan alto como para no generar in- gresos?
78. Maximizar utilidades Una sociedad observadora de aves
en cierta comunidad hace y vende alimentadores sencillos de aves, para recaudar dinero para sus actividades de conservación. Los materiales para cada alimentador cuestan $6, y la sociedad vende un promedio de 20 por semana a un precio de $10 cada uno. La sociedad ha estado considerando elevar el precio, de modo que lleva a cabo un estudio y encuentra que por cada dó- lar de aumento, pierde 2 ventas por semana. (a) Encuentre una función que modele las utilidades semanales en términos del precio por alimentador. (b) ¿Qué precio debe cobrar la sociedad por cada alimentador para maximizar las utilidades? ¿Cuáles son las utilidades máximas semanales?
DESCUBRIMIENTO Q^ DISCUSIÓN Q^ REDACCIÓN
79. Vértice y puntos de intersección x Sabemos que la
gráfica de la función cuadrática f 1 x 2 1 x 2 m 21 x 2 n 2 es una pa- rábola. Trace una gráfica aproximada del aspecto que tendría esa parábola. ¿Cuáles son los puntos de intersección x de la grá- fica de f? ¿Puede el lector saber de su gráfica cuál es la coorde- nada x del vértice en términos de m y n? (Use la simetría de la parábola.) Confirme su respuesta al expandir y usar las fórmulas de esta sección.
80. Máximo de una función polinomial de cuarto
grado Encuentre el valor máximo de la función
f 1 x 2 3 x^2 2 x^4
3 Sugerencia: Sea t x^2. 4
En esta sección estudiamos funciones polinomiales de cualquier grado. Pero antes de traba-
jar con funciones polinomiales, debemos estar de acuerdo con cierta terminología.
FUNCIONES POLINOMIALES
Una función polinomial de grado n es una función de la forma
donde n es un entero no negativo y.
Los números a 0 , a 1 , a 2 , p , an se llaman coeficientes del polinomio.
El número a 0 es el coeficiente constante o término constante.
El número an , el coeficiente de la mayor potencia, es el coeficiente principal , y
el término a n x n^ es el término principal.
a n 0
P 1 x 2 an x n^ an 1 x n^^1...^ a 1 x a 0
Con frecuencia nos referimos a funciones polinomiales simplemente como polinomios. El
siguiente polinomio tiene grado 5, coeficiente principal 3 y término constante 2 6.
3 x^5 6 x^4 2 x^3 x^2 7 x 6
Coeficiente Grado 5 principal 3
Término principal 3 x^5
Coeficientes 3, 6, 2, 1, 7 y 6
Término constante 6
3.2 F UNCIONES POLINOMIALES Y SUS GRÁFICAS
Graficar funciones polinomiales básicas (^) Comportamiento final y el término principal Uso de ceros para graficar funciones polinomiales Forma de la gráfica cerca de un cero Máximos y mínimos locales de funciones polinomiales
246 C A P Í T U LO 3 | Funciones polinomiales y racionales
83. Volumen de una caja Se ha de construir una caja con una
pieza de cartón de 20 cm por 40 cm, cortando cuadrados de lon- gitud x de lado de cada esquina y doblando los lados hacia arriba, como se ve en la fi gura. (a) Exprese el volumen V de la caja como función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de V? (Use el dato de que la longitud y el volumen deben ser positivos.) (c) Trace una gráfica de la función V , y úsela para estimar el volumen máximo para esa caja.
20 cm
40 cm x x
84. Volumen de una caja Una caja de cartón tiene base cua-
drada, con cada arista de la caja con longitud de x pulgadas, como se ve en la figura. La longitud total de las 12 aristas de la caja es de 144 pulgadas. (a) Demuestre que el volumen de la caja está dado por la fun- ción V 1 x 2 2 x^2118 2 x 2. (b) ¿Cuál es el dominio de V? (Use el dato de que la longitud y el volumen deben ser positivos.) (c) Trace una gráfica de la función V y úsela para estimar el volumen máximo para esa caja.
x
x
DESCUBRIMIENTO Q^ DISCUSIÓN Q^ REDACCIÓN
85. Gráficas de potencias grandes Grafique las funciones
y x^2 , y x^3 , y x^4 y y x^5 , para 21 ≤ x ≤ 1, en los mismos ejes de coordenadas. ¿Cómo piensa usted que se verá la gráfica de y x^100 en este mismo intervalo? ¿Qué se puede decir de y x^101? Haga una tabla de valores para confirmar sus respuestas.
86. Número máximo de extremos locales ¿Cuál es el
grado más pequeño posible que puede tener la función polino- mial cuya gráfica se muestra? Explique.
0 x
y
87. Número posible de extremos locales ¿Es posible que
una polinomial de tercer grado tenga exactamente un extremo local? ¿Una polinomial de cuarto grado puede tener exacta- mente dos extremos locales? ¿Cuántos extremos locales pueden tener polinomiales de tercero, cuarto, quinto y sexto grados? (Considere el comportamiento final de esas funciones polino- miales.) A continuación, dé un ejemplo de una función polino- mial que tenga seis extremos locales.
88. ¿Situación imposible? ¿Es posible que una función poli-
nomial tenga dos máximos locales y no tenga un mínimo lo- cal? Explique.
3.3 D IVISIÓN DE POLINOMIOS
División larga de polinomios (^) División sintética (^) Los teoremas del residuo y factor
Hasta este punto en este capítulo hemos estado estudiando funciones polinomiales gráfi ca-
mente. En esta sección empezamos por estudiar polinomios algebraicamente. La mayor
parte de nuestro trabajo se ocupará de factorizar polinomios y, para factorizar, necesitamos
saber cómo dividir polinomios.
W División larga de polinomios
La división de polinomios es muy semejante al conocido proceso de dividir números.
Cuando dividimos 38 entre 7, el cociente es 5 y el residuo es 3. Escribimos
Dividendo
Cociente
Residuo
Divisor
248 C A P Í T U LO 3 | Funciones polinomiales y racionales
E J E M P L O 2 División larga de polinomios
Sean P 1 x 2 8 x^4 6 x^2 3 x 1 y D 1 x 2 2 x^2 x 2 .Encuentre polinomiales Q 1 x 2
y R 1 x 2 tales que (^) P 1 x 2 D 1 x 2 #^ Q 1 x 2 R 1 x 2.
S O L U C I Ó N Usamos división larga después de insertar primero el término 0 x^3 en el di-
videndo para asegurar que las columnas queden alineadas correctamente.
Multiplique el divisor por 4 x^2 Reste Multiplique el divisor por 2 x Reste
4 x^2 2 x
2 x^2 x 2 8 x^4 0 x^3 6 x^2 3 x 1
8 x^4 4 x^3 8 x^2
4 x^3 2 x^2 3 x
4 x^3 2 x^2 4 x
7 x 1
El proceso se completa en este punto porque 27 x 1 es de menor grado que el divisor
2 x^2 2 x 2. De la división larga de líneas antes vemos que Q 1 x 2 4 x^2 2 x y R 1 x 2 27 x
1, de modo que
8 x^4 6 x^2 3 x 1 12 x^2 x 2 2 1 4 x^2 2 x 2 1 7 x 12
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 19 Q
W División sintética
La división sintética es un método rápido de dividir polinomios; se puede usar cuando el
divisor es de la forma x 2 c. En división sintética escribimos sólo las partes esenciales de
la división larga. Compare las siguientes divisiones larga y sintética, en las que dividimos
2 x^3 7 x^2 5 por x 3. (Explicaremos cómo realizar la división sintética en el
Ejemplo 3.)
Cociente
Residuo
División larga División sintética
2 x^2 x 3
x 3 2 x^3 7 x^2 0 x 5
2 x^3 6 x^2
x^2 0 x
x^2 3 x
3 x 5
3 x 9
144424443
Cociente Residuo
Observe que en la división sintética abreviamos 2 x^3 2 7 x^2 5 al escribir sólo los coefi-
cientes: 2, 2 7, 0, 5 y en lugar de x 2 3 escribimos simplemente 3. (Escribir 3 en lugar de
2 3 nos permite sumar en lugar de restar, pero esto cambia el signo de todos los números
que aparecen en las cajas color oro.)
El siguiente ejemplo muestra cómo se realiza la división sintética.
E J E M P L O 3 División sintética
Use división sintética para dividir 2 x^3 2 7 x^2 5 entre x 2 3.
S O L U C I Ó N Empezamos por escribir los coeficientes apropiados para representar el di-
visor y el dividendo.
Dividendo Divisor x – 3 2 x (^3) – 7 x (^2) + 0 x + 5
S E CC I Ó N 3.3 | División de polinomios 249
Bajamos el 2, multiplicamos 3 2 6 y escribimos el resultado en el renglón de en medio.
A continuación, sumamos.
Multiplique: 3 (^) · 2 = 6
Sume: –7 + 6 = –
Repetimos este proceso de multiplicar y luego sumar hasta completar la tabla.
Cociente 2 x^2 – x – 3
Residuo
Multiplique: 3(–1) = –
Sume: 0 + (–3) = –
Multiplique: 3(–3) = –
Sume: 5 + (–9) = –
Del último renglón de la división sintética vemos que el cociente es 2 x^2 2 x 2 3 y el residuo
es 2 4. Por lo tanto,
2 x^3 7 x^2 5 1 x 3 2 1 2 x^2 x 32 4
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 31 Q
W Los teoremas del residuo y factor
El siguiente teorema muestra la forma en que la división sintética se puede usar para evaluar
funciones polinomiales fácilmente.
TEOREMA DEL RESIDUO
Si la función polinomial P 1 x 2 se divide entre x c , entonces el residuo es el valor P 1 c 2.
D E M O S T R A C I Ó N Si el divisor del Algoritmo de División es de la forma x 2 c para
algún número real c , entonces el residuo debe ser constante (porque el grado del residuo
es menor que el grado del divisor). Si a esta constante la llamamos r , entonces
P 1 x 2 1 x c 2 #^ Q 1 x 2 r
Sustituyendo x por c en esta ecuación, obtenemos P 1 c 2 1 c c 2 #^ Q 1 x 2 r 0
r r , esto es, P 1 c 2 es el residuo r. Q
E J E M P L O 4 Uso del Teorema del Residuo para hallar el valor
de una función polinomial
Sea P 1 x 2 3 x^5 5 x^4 4 x^3 7 x 3.
(a) Encuentre el cociente y residuo cuando P 1 x 2 se divide entre x 2.
(b) Use el Teorema del Residuo para hallar P 1222.
S E CC I Ó N 3.3 | División de polinomios 251
Sea
x^4 3 x^3 13 x^2 15 x
P 1 x 2 1 x 3 2 1 x 0 2 1 x 1 2 1 x 52
Como P 1 x 2 es de grado 4, es una solución del problema. Cualquiera otra solución del pro-
blema debe ser un múltiplo constante de P 1 x 2 , porque sólo una multiplicación por una cons-
tante no cambia el grado.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 59 Q
La función polinomial P del Ejemplo 6 está graficada en la Figura 1. Observe que los
ceros de P corresponden a los puntos de intersección x de la gráfica.
CONCEPTOS
1. Si dividimos la polinomial P entre el factor x 2 c y obtenemos la ecuación P 1 x 2 1 x 2 c 2 Q 1 x 2 R 1 x 2 , entonces decimos que x 2 c es el divisor, Q 1 x 2 es el ______, y R 1 x 2 es el _______. 2. (a) Si dividimos la polinomial P 1 x 2 entre el factor x 2 c y obte- nemos un residuo de 0, entonces sabemos que c es un _____ de P. (b) Si dividimos la polinomial P 1 x 2 entre el factor x 2 c y obtenemos un residuo de k , entonces sabemos que P 1 c 2 ____.
HABILIDADES
3-8 Q Nos dan dos funciones polinomiales P y D. Use cualquier di- visión sintética o larga para dividir P 1 x 2 entre D 1 x 2 , y exprese P en la forma P 1 x 2 D 1 x 2 Q 1 x 2 R 1 x 2.
3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. P 1 x 2 2 x^5 4 x^4 4 x^3 x 3 , D 1 x 2 x^2
P 1 x 2 x^4 x^3 4 x 2 D 1 x 2 x^2
P 1 x 2 4 x^3 7 x 9 D 1 x 2 2 x 1
P 1 x 2 2 x^3 3 x^2 2 x D 1 x 2 2 x 3
P 1 x 2 x^3 4 x^2 6 x 1 D 1 x 2 x 1
P 1 x 2 3 x^2 5 x 4 D 1 x 2 x 3
9-14 Q Nos dan dos funciones polinomiales P y D. Use cualquier división sintética o larga para dividir P 1 x 2 entre D 1 x 2 , y exprese el co- ciente P 1 x 2 / D 1 x 2 en la forma
P 1 x 2 D 1 x 2
Q 1 x 2
R 1 x 2 D 1 x 2
9. P 1 x 2 x^2 4 x 8 , D 1 x 2 x 3
14. P 1 x 2 x^5 x^4 2 x^3 x 1 , D 1 x 2 x^2 x 1
P 1 x 2 2 x^4 x^3 9 x^2 D 1 x 2 x^2
P 1 x 2 6 x^3 x^2 12 x 5 D 1 x 2 3 x 4
P 1 x 2 4 x^2 3 x 7 D 1 x 2 2 x 1
P 1 x 2 x^3 6 x 5 D 1 x 2 x 4
15-24 Q Encuentre el cociente y residuo usando división larga.
2 x^5 7 x^4 4 x^2 6 x 8
x^6 x^4 x^2 x^2
9 x^2 x 5 3 x^2 7 x
6 x^3 2 x^2 22 x 2 x^2
3 x^4 5 x^3 20 x 5 x^2 x 3
x^3 6 x 3 x^2 2 x 2
x^3 3 x^2 4 x 3 3 x 6
4 x^3 2 x^2 2 x 3 2 x 1
x^3 x^2 2 x 6 x 2
x^2 6 x 8 x 4
25-38 Q Encuentre el cociente y residuo usando división sintética.
x^3 9 x^2 27 x 27 x 3
x^5 3 x^3 x 1
x^4 x^3 x^2 x 2 x 2
x^3 8 x 2 x 3
3 x^3 12 x^2 9 x 1 x 5
x^3 2 x^2 2 x 1 x 2
4 x^2 x 5
3 x^2 5 x x 6
x^2 5 x 4 x 1
x^2 5 x 4 x 3
- 3 E J E R C I C I O S
F I G U R A 1
P 1 x ) 1 x 32 x 1 x 121 x 52 tiene ceros 2 3, 0, 1 y 5.
y
_3 0 5 x
252 C A P Í T U LO 3 | Funciones polinomiales y racionales
x^4 x 2
x^3 x 3
6 x^4 10 x^3 5 x^2 x 1 x^23
2 x^3 3 x^2 2 x 1 x^12
39-51 Q Use división sintética y el Teorema del Residuo para eva- luar P 1 c 2.
39. , c 1 40. , 41. , c 2 42. , c 1 43. , c 2 44. , c 11 45. , c 7 46. , c 2 47. , c 3 48. , c 3 49. , 50. , 51. , c 0. 52. Sea
60 x^3 69 x^2 13 x 139
P 1 x 2 6 x^7 40 x^6 16 x^5 200 x^4
P 1 x 2 x^3 2 x^2 3 x 8
P 1 x 2 x^3 x 1 c^14
P 1 x 2 3 x^3 4 x^2 2 x 1 c^23
P 1 x 2 2 x^6 7 x^5 40 x^4 7 x^2 10 x 112
P 1 x 2 x^7 3 x^2
P 1 x 2 6 x^5 10 x^3 x 1
P 1 x 2 5 x^4 30 x^3 40 x^2 36 x 14
P 1 x 2 2 x^3 21 x^2 9 x 200
P 1 x 2 x^3 2 x^2
P 1 x 2 x^3 x^2 x 5
P 1 x 2 x^3 3 x^2 7 x 6
P 1 x 2 2 x^2 9 x 1 c^12
P 1 x 2 4 x^2 12 x 5
Calcule P 172 (a) usando división sintética y (b) sustituyendo x 7 en la función polinomial y evaluando directamente.
53-56 Q Use el Teorema del Factor para demostrar que x 2 c es un factor de P 1 x 2 para el (los) valor(es) dado(s) de c.
53. , c 1 54. , c 2 55. , 56. P 1 x 2 x^4 3 x^3 16 x^2 27 x 63 , c 3, 3
P 1 x 2 2 x^3 7 x^2 6 x 5 c^12
P 1 x 2 x^3 2 x^2 3 x 10
P 1 x 2 x^3 3 x^2 3 x 1
57-58 Q Demuestre que el (los) valor(es) dado(s) de c son ceros de P 1 x 2 , y encuentre todos los otros ceros de P 1 x 2.
57. , c 3 58. P 1 x 2 3 x^4 x^3 21 x^2 11 x 6 , c^13 , 2
P 1 x 2 x^3 x^2 11 x 15
59-62 Q Encuentre una función polinomial del grado especificado que tenga los ceros dados.
59. Grado 3: ceros 2 1, 1, 3 60. Grado 4: ceros 2 2, 0, 2, 4 61. Grado 4: ceros 2 1, 1, 3, 5 62. Grado 5: ceros 2 2, 2 1, 0, 1, 2 63. Encuentre una función polinomial de grado 3 que tenga ceros 1, 2 2 y 3 y en el que el coeficiente de x^2 sea 3. 64. Encuentre una función polinomial de grado 4 que tenga coefi- cientes enteros y ceros 1, 2 1, 2 y 12. 65-68 Q Encuentre la función polinomial del grado especificado cuya gráfica se muestra. 65. Grado 3 66. Grado 3
y
1 x
y
1 x
67. Grado 4 68. Grado 4
y
1 x
y
1 x
DESCUBRIMIENTO Q^ DISCUSIÓN Q^ REDACCIÓN
69. ¿División imposible? Supongamos que nos piden resolver
los siguientes dos problemas en un examen: A. Encuentre el residuo cuando 6 x^1000 17 x^562 12 x 26 se divide entre x 1. B. ¿ x 2 1 es factor de x^567 3 x^400 x^9 2? Obviamente, es imposible resolver estos problemas al hacer una división, porque los polinomios son de grado muy alto. Use uno o más de los teoremas de esta sección para resolver estos pro- blemas sin hacer realmente la división.
70. Forma anidada de una función polinomial Expanda
Q para demostrar que las polinomiales P y Q son iguales.
Q 1 x 2 1113 x 52 x 12 x 32 x 5
P 1 x 2 3 x^4 5 x^3 x^2 3 x 5
Trate de evaluar P 122 y Q 122 mentalmente, usando las formas da- das. ¿Cuál es más fácil? Ahora escriba la función polinomial R 1 x 2 x^5 2 x^4 3 x^3 2 x^2 3 x 4 en forma “anidada”, como la polinomial Q. Use la forma anidada para hallar R 132 mentalmente. ¿Ve usted cómo calcular con la forma anidada sigue los mis- mos pasos aritméticos que calcular el valor de una función poli- nomial usando división sintética?
254 C A P Í T U LO 3 | Funciones polinomiales y racionales
S O L U C I Ó N Como el coeficiente principal es 1, cualquier cero racional debe ser un di-
visor del término constante 2. Entonces los ceros racionales posibles son 1 y 2. Pro-
bamos cada una de estas posibilidades.
P 1 22 1 223 31 22 2 0
P 122 1223 3122 2 4
P 1 12 1 123 31 12 2 4
P 112 1123 3112 2 0
Los ceros racionales de P son 1 y 2 2.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 15 Q
En el siguiente recuadro se explica cómo usar el Teorema de Ceros Racionales con divi-
sión sintética para factorizar un polinomio.
HALLAR LOS CEROS RACIONALES DE UN POLINOMIO
1. Hacer una lista de los ceros posibles. Haga una lista de todos los ceros
racionales posibles, usando el Teorema de Ceros Racionales.
2. Dividir. Use división sintética para evaluar la función polinomial de cada
uno de los candidatos para los ceros racionales que usted encontró en el Paso 1.
Cuando el residuo sea 0, observe el cociente que haya obtenido.
3. Repetir. Repita los Pasos 1 y 2 para el cociente. Deténgase cuando obtenga
un cociente que sea cuadrático o se factorice con facilidad, y use la fórmula
cuadrática o factorice para hallar los ceros restantes.
E J E M P L O 2 Hallar ceros racionales
Factorice la función polinomial P 1 x 2 2 x^3 x^2 2 13 x 6, y encuentre todos sus ceros.
S O L U C I Ó N Por el Teorema de Ceros Racionales, los ceros racionales de P son de la
forma
posible cero racional de P
factor de término constante
factor de coeficiente principal
El término constante es 6 y el coeficiente principal es 2, y
posible cero racional de P
factor de 6
factor de 2
Los factores de 6 son 1, 2, 3, 6 y los factores de 2 son 1, 2. Por lo tanto, los
posibles ceros racionales de P son
Simplifi cando las fracciones y eliminando duplicados, obtenemos la siguiente lista de posi-
bles ceros racionales:
EVARISTE GALOIS (1811-1832) es uno de los muy pocos matemáticos de te- ner toda una teoría a la que se ha dado nombre en su honor. Murió cuando to- davía no cumplía 21 años, pero ya ha- bía resuelto por completo el problema central de la teoría de ecuaciones al describir un criterio que revela si una ecuación con polinomios se puede re- solver con operaciones algebraicas. Ga- lois fue uno de los más grandes mate- máticos de su tiempo, aunque casi no fue conocido. Repetidas veces envió su trabajo a los eminentes matemáticos Cauchy y Poisson, quienes o bien per- dieron las cartas o no entendieron sus ideas. Galois escribía en un estilo terso e incluía pocos detalles, lo cual es pro- bable desempeñó un papel para no aprobar los exámenes de admisión de la Ecole Polytechique de París. Político radical, Galois pasó varios meses en pri- sión por sus actividades revoluciona- rias. Su corta vida llegó a su fin cuando murió en un duelo por un lío de faldas y, temiendo esto, escribió la esencia de sus ideas y las confió a su amigo Au- guste Chevalier. Concluyó escribiendo “habrá, espero, personas que encuen- tren ventaja en descifrar todo este des- orden.” El matemático Camille Jordan hizo justamente esto, 14 años después.
Library of Congress
S E CC I Ó N 3.4 | Ceros reales de funciones polinomiales 255
Para comprobar cuál de estos posibles ceros en realidad son ceros, necesitamos evaluar P
en cada uno de estos números. Una forma eficiente de hacerlo es usar división sintética.
Pruebe con 1 como cero Pruebe si 2 es un cero
El residuo no es 0, por lo que 1 no es un cero
El residuo es 0, por lo que 2 es un cero
De la última división sintética vemos que 2 es un cero de P y que P se factoriza como
Función polinomial dada De división sintética
1 x 2 2 1 2 x 1 2 1 x 32 Factorice 2 x^2 + 5 x – 3
1 x 2 2 1 2 x^2 5 x 32
P 1 x 2 2 x^3 x^2 13 x 6
De la forma factorizada vemos que los ceros de P son 2, 12 y 2 3.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 27 Q
E J E M P L O 3 Uso del Teorema de Ceros Racionales y la Fórmula Cuadrática
Sea P 1 x 2 x^4 5 x^3 5 x^2 23 x 10.
(a) Encuentre los ceros de P. (b) Trace la gráfica de P.
S O L U C I Ó N
(a) El coeficiente principal de P es 1, de modo que todos los ceros racionales son enteros:
son divisores del término constante 10. Entonces, los posibles candidatos son
Usando división sintética (vea al margen), encontramos que 1 y 2 no son ceros pero
que 5 es un cero y que P se factoriza como
x^4 5 x^3 5 x^2 23 x 10 1 x 5 2 1 x^3 5 x 22
Ahora tratamos de factorizar el cociente x^3 2 5 x 2 2. Sus posibles ceros son los divi-
sores de 2 2, es decir,
Como ya sabemos que 1 y 2 no son ceros de la función polinomial original P , no ne-
cesitamos probarlos otra vez. Verificando los candidatos restantes, 2 1 y 2 2, vemos
que 2 2 es un cero (vea al margen), y P se factoriza como
1 x 5 2 1 x 2 2 1 x^2 2 x 12
x^4 5 x^3 5 x^2 23 x 10 1 x 5 2 1 x^3 5 x 22
A continuación use la fórmula cuadrática para obtener los dos ceros restantes de P :
x
Los ceros de P son 5, 2, 1 12 , y 1 12.
