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La imagen de un elemento del dominio de g o f es igual a la imagen, respecto de g, de la imagen de dicho elemento respecto de f. En el caso que E = ∅, no definiremos la composición de g y f; diremos, simplemente que “la composición no está definida” rec f ⊆ dom g o C = B, entonces E = A y, por tanto, g o f : A −→ D Si y es la imagen de x respecto de g, entonces, y solo allí, x es la imagen de y respecto de f; y = g(x) ≡ x = f(y) Si existe esta función g, aunque no vamos a probarlo en este curso, esta función es única; es decir, solo hay una función g con estas características. Y, justamente a esta g, se le denomina la función inversa de f y se le representa mediante 𝑓−^1 Se dice que f: A −→ B es invertible si y solo si existe g : B −→ A tal que para todo x ∈ B y todo y ∈ A, es válida la equivalencia lógica y = g(x) ≡ x = f(y).
Si f: A −→ B es invertible, existe una única función g : B −→ A tal que para todo x ∈ B y todo y ∈ A, es válida la equivalencia lógica y = g(x) ≡ x = f(y). A esta función g se le denomina la función inversa de f y se le representa con 𝑓−^1 Por tanto, es válida la equivalencia lógica para todo x ∈ B y todo y ∈ A, y = 𝒇−𝟏^ (x) ≡ x = f(y). La función f: A −→ B es inyectiva si para todo x ∈ A y todo y ∈ A tales que x ≠ y, entonces f(x) ≠ f(y); o, de manera equivalente, si f(x) = f(y), entonces x = y. La función f: A −→ B es s obreyectiva si rec f = B; es decir, si para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que y = f(x). Una función f: A −→ B que es sobreyectiva e inyectiva se denomina biyectiva. Una función f: A −→ B es invertible si y solo si f: A −→ B es biyectiva. Dadas las funciones f: A −→ B y g: C −→ D tales que dom f ∩ dom g ≠∅, son verdaderas las siguientes proposiciones:
- Suma: 𝜑: A ∩ C −→ R ley de asignación x −→ f(x) + g(x).
Sean f: A −→ B y g: C −→ D de manera que esté definida la composición g o f. Sea I ⊆ dom(g o f). Las siguientes proposiciones son verdaderas:
- Si f es c reciente (estrictamente) en I, g o f será c reciente (estrictamente) o decreciente (estrictamente) en I, según sea g creciente (estrictamente) o (decreciente) en J, donde J es un subconjunto de todos los elementos del dominio de g que son imagen de algún elemento de I respecto de f, respectivamente.
- Si f es decreciente (estrictamente) en I, g o f será decreciente (estrictamente) o creciente (estrictamente) en I, según sea g c reciente (estrictamente) o decreciente (estrictamente) en J, donde J es un subconjunto de todos los elementos del dominio de g que son imagen de algún elemento de I respecto de f , respectivamente.
- Si f es invertible, entonces 𝑓−^1 será creciente estrictamente o decreciente estrictamente en el recorrido de f, según f sea creciente estrictamente o decreciente estrictamente en su dominio, respectivamente. FUNCIONA COMO LEY DE SIGNOS Este concepto de funciones también aplica únicamente a funciones reales. Antes, requerimos la siguiente definición. Un conjunto A ⊆ R es simétrico si para todo x ∈ A, el inverso aditivo de x, −x, también pertenece a A. (−a, a) y [−a, a] son simétricos. Los conjuntos [0, +∞), (−∞, 0], (−a, a] no son simétricos, como es fácil confirmar
Sean A ⊆ R, un conjunto simétrico, y f: A −→ R.
- f es par si para todo x ∈ A, la proposición f(−x) = f(x) es verdadera.
- f es im par si para todo x ∈ A, la proposición f(−x) = −f(x) es verdadera Toda función f: R −→ R es la suma de una función par y una función impar. Y estas funciones son únicas. Sean f: R −→ R y g: R −→ R. Las siguientes proposiciones son verdaderas:
- Si g es par, f o g es par.
- Si g es impar, f o g tiene la misma paridad que f.
- Una función par nunca es inyectiva; por tanto, no es invertible.
- Si f es invertible e impar, entonces 𝑓−^1 también es impar.
