MODULO DE EJERCICIOS DE MATEMATICA, Ejercicios de Matemáticas

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MATEMÁTICA PARA

LOS NEGOCIOS

GUIA TEORICA PRÁCTICA

SESIÓN 3

INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO

GRADO

INECUACIONES

2.1.1. DEFINICION

Se conoce con el nombre de desigualdad a toda proposición donde aparece la relación “<”

(es menor que) o cualquiera de las relaciones: “>” (es mayor que), “

¿

” (es menor o igual

que) y “

¿

” (es mayor o igual que) definidas de la manera siguiente para a, b y c que

∈ R

(conjunto de números reales).

2.1.2. PROPIEDADES

1. Un número

a ∈ R

se llama positivo si

a > 0

2. Un número

a ∈ R

es negativo si

a < 0

5. La relación “Menor o igual que” (

¿

), se define por:

a ≤ b ⇔ [ a < b ∨ a = b ]

3. La relación “Mayor que”, denotada por >, se define como:

a > b ⇔ a − b es positivo

4. La relación “Menor que”, denotada por <, se define como:

a < b ⇔ a − b es negativo

6. La relación “Mayor o igual que” (

¿

), se define por:

a ≥ b ⇔ [ a > b ∨ a = b ]

7. La cadena de desigualdades

a < b < c

se define como:

a < b < c ⇔ [ a < b ∧ b < c ]

8. La cadena de desigualdades

a < b ≤ c

se define como:

a < b ≤ c ⇔ [ a < b ∧ b ≤ c ]

⇔ [ a < b ∧ ( b < c ∨ b = c ) ]

9. Si a > b y

c ∈ R

se puede escribir: a + c > b + c y a - c > b - c

10. Si a > b y siendo c una cantidad positiva, puede escribirse:

ac > bc

y

a

c

b

c

INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

Ejemplo:

Resolver:

− 12 < 2 x − 4 ≤ 4

Solución:

Gráficamente:

− 12 + 4 < 2 x − 4 + 4 ≤ 4 + 4

− 8 < 2 x ≤ 8

− 4 < x ≤ 4

C.S=

⟨− 4 , ∞⟩∩⟨−∞ , 4 |

C.S=

⟨−4,4|

2.2.2. APLICACIÓN

Un parque de diversiones tiene

dos planes de boletos.

Plan A : tarifa fija de entrada de 1 sol más 30 céntimos

cada vuelta en los juegos.

Plan B : tarifa fija de entrada de 60 céntimos más 50

céntimos cada vuelta en los juegos.

¿Cuántas vueltas tendría que dar para que el plan A

resultara menos caro que el plan B?

Solución:

Se pide el número de vueltas en los juegos para que el plan

A sea menos caro que el plan B. Entonces sea x: número

de vueltas.

La información en el problema se podría organizar como

sigue.

En palabras En lenguaje algebraico

Número de vueltas

Costo con el plan A

Costo con el plan B

x

1+0.30x

0.60+0.50x

Ahora planteamos el modelo.

Costo con el plan A < costo con el plan B

1 + 0.30x < 0.60 + 0.50x

1 – 0.60 < 0.50x – 0.30x

0.40 < 0.20x

2 < x

De modo que si planea dar más de dos vueltas, el plan A es menos caro.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

I. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado:

1. 5(x + 6) - 5 (3 – 2x) > - 10

5x + 30 - 5 (3 – 2x) > - 10

5x + 30 - 15 + 10x > - 10

15x + 15 > - 10

15x + 15 – 15 > - 10 - 15

15x > - 25

15 x

x >

2. 6x –3 > 5x – 7

6x –3 + 3 > 5x – 7 + 3

6x > 5x – 4

6x – 5x > – 4

x > – 4

3. 10x – 9 (2x + 1) – 3x > 5 (x–5)

10x – 18x - 9 – 3x > 5x – 25

11x - 9 > 5x – 25

16 > 16x

1 > x

4. –2 (x–2) + 5 ≤ 4 (2x – 7) – 3

–2x – 4 + 5 ≤ 8x – 28 – 3

–2x + 9 ≤ 8x – 31

40 ≤ 10x

4 ≤ x

5. ( x - 2 )

2

 (x + 2) ( x - 2) + 8

x

2

• 4x + 4  x

2

• 4x + 4  – 4 + 8
• 4x + 4  4

-4x > 0

X < 0 x ∈ ← ∞ , 0 >¿

6. 3 - ( x - 6)  4x – 5

3 - x + 6  4x – 5

9 - x  4x – 5

9 - x – 4x  – 5

• x – 4x  – 5 – 9
• x – 4x  – 5 – 9

5x  – 14

x 

x ∈ [

11. Un administrador debe de pagar en garantía una cantidad entera de soles, además se

sabe que la tercera parte de la cantidad que le precede disminuida en una decena, es

mayor que 14, y que la cuarta parte del que le sigue, aumentada en una decena es menor

que 29. ¿A cuánto asciende la deuda?

12. Suponga que una compañía le ofrece un puesto en ventas y usted podrá elegir entre 2

métodos para determinar su salario. Un método paga $ 12 600 más un bono del 2%

sobre sus ventas anuales. El otro método paga una sóla comisión del 8% sobre sus

ventas ¿Para qué nivel de ventas anuales es mejor seleccionar el primer método?

X = Ventas anuales

Primer método: 12 600 + 0.02x

Segundo método: 0.08x

12 600 + 0.02x > 0.08x

12 600 > 0.08x – 0.02x

12 600 > 0.06x

12 600/0.06 > x

210 000 > x

RPTA: El primer método es mejor para las ventas anuales de menos de $. 210 000.

2.3. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

2.3.1. DEFINICIÓN

Son aquellas expresiones que se reducen a la forma general:

a x

2

• bx + c > 0 ≥ , < o ≤ a , b , c ∈ R ; a≠ 0

2.3.2. PROPIEDADES

1. Si a ≥ 0 y b ≥ 0 , entonces a

2

b

2

⇔ a > b

2. Si

b ≥ 0

, entonces:

a

2

b⇔

[ a > √ b o a ←√ b

]

3. Si

b > 0

, entonces:

a

2

< b⇔ −√ b < a < √ b

2.3.3. METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS

Resolución de una inecuación de segundo grado. Se puede resolver con los mismos

métodos usados para resolver ecuaciones de segundo grado:

 Método de Factorización.

 Uso del discriminante.

5.3.3.1. MÉTODO DE FACTORIZACIÓN.

Ejemplo 4.

Determinar el conjunto solución de la inecuación: x

2

− 5 > 3 − 2 x

PROCEDIMIENTO PROCESO

Se debe llegar a la forma a x

2

• bx + c > 0 x

2

• 2 x − 8 > 0

Factorizando el trinomio por el método del aspa X 4

X -

Obtenemos factores ( x + 4 ) ( x − 2 )> 0

Igualamos a 0 los factores para hallar los valores de

“x”

x + 4 = 0 ∧ x − 2 = 0

x

1

=− 4 x

2

Los puntos críticos son: -4 y 2

Ubicamos los puntos críticos en la recta numérica

obteniendo tres intervalos

De derecha a izquierda se ubican los signos + y

menos (-) en forma alternativa en cada intervalo

Se forma el conjunto solución tomando aquellos

intervalos en relación con el signo de la inecuación

Así tenemos que para

x

2

• 2 x − 8 > 0

, su conjunto

solución es formada por los intervalos abiertos con

signos (+)

Luego C.S=

2.3.3.2. USO DEL DISCRIMINANTE

Dada la inecuación: a x

2

• bx + c > 0 ≥ , < ,≤ a , b y c ∈ R ∧ a≠ 0

Su Discriminante es: D = b

2

− 4 ac

PRIMER CASO:

Cuando el discriminante es cero (D = 0). Entonces

ax

2

• bx + c

es un trinomio cuadrado

perfecto, es decir al factorizar dicha expresión, forma el cuadrado de un binomio

( a ± b )

2

Su conjunto solución se forma basándose en el análisis de los valores que puede tomar x

para que verifique la desigualdad en la inecuación planteada.

Ejemplo. Hallar el conjunto solución para: x

2

− 6 x + 9 > 0 :( ≥ ; <: o ;≤ )

Solución:

Discriminante Factorizamos para obtener la Su conjunto solución de

Cuando el discriminante es menor que cero (D<0). Entonces a x

2

• bx + c con

a ≠ 0

, se debe

cumplir que: a x

2

• bx + c > 0 ∀ x ∈ R ⇔ a > 0 ∧ D < 0

Ejemplo 6. Hallar el conjunto solución para: 2 x

2

− 3 x + 4 < 0 ;

≥ ; < o ≤

Solución:

Discriminante Observaciones De acuerdo al signo

D =(− 3 )

2

D = 9 − 32

D =− 23 ⇒ D < 0

∴ 2 x

2

− 3 x + 4 > 0

Analizando los valores que se

dan a “x”, la inecuación:

2 x

2

− 3 x + 4 > 0

Es siempre positiva

Así tenemos que:

Si

a = 2 ⇒ a > 0

Luego:

Si D =− 23 ⇒ D < 0

2 x

2

− 3 x + 4 > 0 ;⇔ C. S = R

2 x

2

− 3 x + 4 ≥ 0 ;⇔ C. S = R

2 x

2

− 3 x + 4 < 0 ;⇔ C. S = Φ

2 x

2

− 3 x + 4 ≤ 0 ;⇔ C. S = Φ

Ejemplo 7.

Si un fabricante de joyas vende x unidades de brazaletes, sus

ingresos R y sus costos C todos en dólares, son

R = 20 x

C= 2000 +8 x +0.0025 x

2

Aplique el hecho de que ganancia = ingreso – costo, para determinar cuántas unidades

debe vender para disfrutar de una ganancia de por lo menos 2400 dólares.

Solución

Ganancia

¿

Ingreso menos costo total : 20 x- (2000 +8 x +0.0025 x

2

¿

Eliminando términos semejantes: 12 x- 0.0025 x

2

¿

0

Ordenando y multiplicando por -1 se tiene 0.0025 x

2

• 12 x -

¿

Dividiendo entre 0.00025 obtenemos x

2

• 4800 x -17600 00

¿

0

( x -4400)( x - 400)

¿

¿

x

¿

Debe vender entre 400 y 4400 unidades para disfrutar de una ganancia de por lo menos

2400 dólares.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

I. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

1. x

2

• x  0

x ( x − 1 ) ≤ 0

0 ≤ x ≤ 1

2. x

2

x

2

x

2

− 1 ≤ x ≤ 1

3. x

2

• x – 6  0

( x + 2 )( x − 3 ) ≤ 0

x + 2 = 0 o x − 3 = 0

x =− 2 o x = 3

− 2 ≤ x ≤ 3

4. 2x

2

• 13x + 15  0

( 2 x + 3 )( x + 5 ) ≤ 0

2 x + 3 = 0 o x + 5 = 0

x =

o x =− 5

x ≤ − 5 o x ≥

5. x

2

• 3x + 15 < 0

x =

√

2

x =

√

x = NULO

6. m

2

• m – 2 > 0

(m + 2 ) (m - 1) > 0

m < -2 o m > 1

m∈ <− ∞ , − 2 > u < 1 , + ∞ >¿

14. Alcanzar objetivos de venta.

La comisión mensual de un agente de ventas es de 15% de las ventas por arriba de

$12000. Si su objetivo es lograr una comisión de al menos $3000 por mes, ¿cuál es el

volumen mínimo de ventas que debe alcanzar?

• X = Volumen de ventas que debe alcanzar
• Comisión: x – 12 000
• Esas ventas por el 15% deben ser igual a los $3 000 que es su objetivo

LA ECUACIÓN:

( x − 12000 ) 15 / 100 = 3000

( x − 12000 ) 15 = 3000 ∗ 100

15 x − 180 000 = 300 000

15 x = 300 000 + 180 000

15 x = 480 000

x = 32 000

RPTA: El volumen mínimo de ventas que debe alcanzar es de $32 000.

15. Margen de ganancia de un auto.

El margen de ganancia para un auto usado era de al menos 30% de su precio actual al

por mayor. Si el auto fue vendido en $6500, ¿cuál fue el precio máximo al por mayor?

• $6 500 incluye la ganancia del 30%
• X será el precio del auto al por mayor 16. Alcanzar metas de ganancia.

El fabricante de cierto artículo ha estimado que su ganancia en miles de dólares está

dada por la expresión: − 6 x

2

• 30 x − 10

, donde x es el número de unidades

producidas (en unidades de millar). ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una

ganancia de al menos $14000?

• Las ganancias serán en miles de dolares.
• Dterminar el valor de x para que el resultado sea 14

− 6 x

2

• 30 x − 10 = 14

− 6 x

2

• 30 x − 10 − 14 = 0

− 6 x

2

• 30 x − 24 = 0

x =

√

2

x =

√

x =

√

x =

− 30 ± √ 18

2

x =

x

1

x

1

x

1

x

2

x

2

x

2

RPTA: Necesitará producir 4 millares de unidades o 1 millar de unidades

producidas.

17. PBI.

El producto bruto interno (PBI) de un país está proyectado en: t

2

• 2 t + 50

miles de millones de dólares, donde “t” se mide en años a partir del año en curso.

Determine el instante en que el PBI del país sea igual o exceda a $58 mil millones.

t

2

• 2 t + 50 ≥ 58

t

2

• 2 t − 8 ≥ 0

Factorizamos:

( t − 2 )( t + 4 ) ≥ 0

t ≤ − 4 o t ≥ 2

← ∞ , − 4 ¿ U ¿

RPTA: Como t debe ser positivo, se considera t ≥ 2, es decir que el PBI será igual o

excederá por primera vez a los $58 mil mollones dentro de 2 años.

18. Compra de acciones.

La gerencia de un gran consorcio, ha estimado que necesita x miles de dólares para

adquirir: 100000 (− 1 + √

1 +0.001 x ) acciones de la compañía de comunicaciones

Teleclaro. Determinar el dinero que necesita el consorcio para adquirir un mínimo de

100000 acciones de Teleclaro.