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matematica basica nivel basico para universitarios
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Lógica Proposicional
Introducción
Bosquejamos y desarrollamos a lo largo de esta unidad la llamada “lógica de primer orden ” que es un campo en general, no polémico de la misma y aceptado universalmente como los cimientos o, por lo menos, los cimientos para adentrarse en otros. Trelles, O. (2000).
Desarrollo del tema
1.1. Competencias a desarrollar:
Identifica y aplica las propiedades del lenguaje lógico, elaborando un esquema básico de demostración que facilite la expresión del propio pensamiento para justificar y presentar resultados y conclusiones de forma clara y coherente, mostrando tolerancia y respeto a los demás. a. Contenido del tema: La Lógica Proposicional Es una parte de la Lógica que estudia las forman es que se relacionan unas proposiciones con otras y, sobretodo la relación que se da entre las proposiciones que comparten un razonamiento. Arnaz (2007)
Enunciado
Se llama enunciado a toda oración que no expresa un pensamiento completo. Arnaz (2007)
Proposición
Se llama proposición a toda oración declarativa de la que se puede determinar su veracidad (V) o falsedad (F). Arnaz (2007) Ejemplos:
No son proposiciones Refranes y proverbios Creencias religiosas Supersticiones Dudas, súplicas, deseos y órdenes Enunciados interrogativos Apreciaciones personales
Conectivos lógicos
Se llaman también operadores lógicos, a las palabras que enlazan dos o más proposiciones, o cambian el valor de verdad de una proposición. (A. Bustamante, 2009) Los conectivos lógicos de mayor uso son:
Proposición Simple y Compuesta Una proposición simple o atómica es aquella que no posee conectivos lógicos. Ejemplos:
Una proposición compuesta o molecular es aquella que presenta uno o más conectivos lógicos.
Ejemplos:
Ejemplos:
Agrupamiento de Proposiciones Para obtener la tabla de verdad, se inicia con el conectivo lógico de menor jerarquía y se concluye con el de mayor jerarquía. La jerarquía de los conectivos lógicos cuando no hay signos de colección, de mayor a menor es:
Nota. Toda proposición simple se escribe en forma afirmativa, nunca en forma negativa.
Tautología, Contradicción y Contingencia
Para obtener la tabla de verdad, se inicia con el conectivo lógico de menor jerarquía y se concluye con el de mayor jerarquía. La jerarquía de los conectivos lógicos cuando no hay signos de colección, de mayor a menor es: ; ; ( ; ; ) y ~
Nota. Toda proposición simple se escribe en forma afirmativa, nunca en forma negativa.
Tautología, Contradicción y Contingencia
Una proposición compuesta se dice que es una tautología si el valor de verdad o resultado global de la tabla es verdadero. A las tautologías se les llama también leyes o principios lógicos. Una proposición compuesta se dice que es una contradicción , si el valor de verdad o resultado global de la tabla es falso. Una proposición compuesta se dice que es una contingencia si en el resultado final hay valores verdaderos y falsos. Ejemplos:
La proposición [ ( p q ) p ] q es una tautología porque el valor de verdad es V
La proposición [ ~ ( p q ) p ] q es una ……………………….. porque el valor de verdad es …………..……..
1.3 Preguntas de aplicación:
1. Determine cuáles de los siguientes expresiones son proposiciones lógicas, y su valor de verdad colocando un aspa “x” en el recuadro correspondiente:
p q (^) [ ~ ( p q ) p ] q V V F V V V V F V F V F F F V F V V F F V F F
Esquema lógico
02 Proposición Fernando no trabaja en el sector público, por ello no puede hacer uso de las instalaciones del tren eléctrico. Formalización
Esquema lógico
03 Proposición El fiscal dictó prisión preventiva para el ex alcalde de Kimbiri de ser acusado de violación por eso la familia está más tranquila Formalización
Esquema lógico
04 Proposición En el segundo ciclo llevaré el curso de Estadística a menos que lleve Deporte. Formalización
Esquema lógico
05 Proposición Defensa Civil gastará en la reconstrucción la suma de 4 millones de soles tras la tragedia de los huaycos en Chosica, sin embargo, esto se dará luego de recibir del Ministerio de economía este desembolso. Formalización
Esquema lógico
b. p ( p q ) t. [ V ( V ……. ) V [ …… …….. V ……. …….. ………… La proposición es ……………….
las artes y las letras. Así, la investigación constituye una labor de vital importancia y se concibe en estrecha relación con la docencia y la proyección social. Para muchos estudiosos de la educación superior, la verdadera universidad debe estar inmersa en la producción de conocimiento, el cual, desde un enfoque integral e interdisciplinario, permita analizar y resolver los problemas que actualmente están presentes en la sociedad, así como proveer estrategias para la construcción de una sociedad más justa, responsable y solidaria, que sea capaz de erradicar la pobreza, las enfermedades, la violencia, el analfabetismo, y dinamizar los avances tecnológicos. En la sociedad del conocimiento, la universidad debe favorecer la formación de los recursos humanos e incentivar la investigación, orientando la preparación de expertos que puedan hacer frente a las necesidades de sus sociedades, con miras a resolver sus problemas desde una perspectiva integral tanto de la persona como de la sociedad.
JUAN PABLO II, Cultura, Ciencia y universidad, Roma, 1992. Los constantes cambios, el dinamismo y la complejidad del mundo actual inducen a dar respuestas a nuevos retos y exigencias en las diferentes disciplinas y campos del conocimiento; por lo tanto, la universidad, a través de la investigación, tiene como responsabilidad dar respuesta a esas demandas. Lo anterior no quiere decir que los niveles de investigación, el grado de dedicación de la universidad a ella, el tipo de investigación (básica, aplicada o de punta) y los logros a que aspire tengan que ser los mismos en todas las universidades. En la sociedad actual, la investigación es una exigencia universitaria no sólo por el hecho de ser parte de la naturaleza misma de la universidad, sino también por la responsabilidad social ligada al quehacer universitario. Según la Conferencia Mundial de Educación Superior celebrada en 1998, el desarrollo y el progreso de la humanidad, de la sociedad global y de cada una de las sociedades particulares, están determinados por el avance del conocimiento, de la ciencia y de la tecnología. En la misma conferencia se afirmó que Promover, generar y difundir el conocimiento por medio de la investigación debe ser parte de los servicios que la universidad ha de prestar a la comunidad, para proporcionar las competencias adecuadas para contribuir al desarrollo cultural, social y económico de las sociedades, fomentando y desarrollando la investigación científica y tecnológica, a la par que la investigación en el campo de las ciencias sociales, las humanidades y las artes creativas. En este sentido vale la pena recordar que, por lo ya expresado, toda la investigación que se realice debe ser responsable, ya que debe tomar en cuenta que en sí misma tiene que estar al servicio del ser humano y, por lo tanto, el investigador necesita estar consciente de
las consecuencias tanto del empleo de sus métodos como de los resultados de sus investigaciones.
GACEL-Ávila, Jocelyne, Internacionalización de la educación superior en América Latina y el Caribe: reflexiones y lineamientos, México, OUI, IGLU y AMPELI, 1999,p. 21.
II. Fuentes de información
1.1 Bibliografía:
La Función Proposicional También es conocida como enunciado abierto o proposición abierta. Una función proposicional, es una generalización de una proposición simple que contiene una o más variables y que toma los valores de V o F. Arnaz (2007) Las funciones proposicionales se representan por letras mayúsculas y con minúsculas a las variables x, y, z,..., los objetos o entes desconocidos.
Si una función proposicional contiene la variable x se denota por P(x). Si contiene variables x e y se denota por P(x;y).
Ejemplos:
Para x: Universidad Wiener entonces P (Universidad Wiener) es verdadero.
Para z = 51 entonces Q (51) es verdadero. Para z = 37 entonces Q (37) es falso.
Para y = 3 se tiene R (3) es verdadero. Para y = 0 se tiene Q (0) es falso.
Para (x = 4 ; y = 7) entonces T(4;7) es verdadera Para (x = 2 ; y = 3) entonces T(2;3) es falsa.
Cuantificadores
Son operadores lógicos que transforman proposiciones abiertas en concretas. Son de dos formas:
1. Cuantificador Universal “Para Todo” ,“ ”
xDP / P(x) equivale también xDp : P(x) Se lee: “Para todo elemento x del dominio de la proposición, se verifica P(x)”. Una función proposicional cuantificada universalmente es verdadera si y solo si son verdaderas todas las proposiciones particulares.
2. Cuantificador Existencial “Existe”, “ ”
xDp / P(x) equivale también xDp : P(x) Se lee: “Existen elementos x del dominio D, tales que se verifica P(x)”.
Una función proposicional cuantificada existencialmente es verdadera si y solo si al menos una de las proposiciones particulares es verdadera. Ejemplos: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
Inferencias notables
A. MODUS PONENDO PONENS (Afirmando lo afirmado) Esquema lineal I 1 : ABA B ; I 2 : ABA B Esquema vertical:
2
2
Ejemplo:
Si Luis gana el concurso, entonces viajara a España. Luis ganó el concurso. Por lo tanto ….. Solución: P1: Luis gana el concurso, entonces viajará a España P2: Luis gana el concurso C: Luis viajará a España.
Esquema vertical:
2
B. MODUS TOLLENDO TOLLENS (Negando lo negado) Esquema lineal: II 1 :^ ^ ABB A II 2 :^ ABB A
Esquema vertical:
2
2
1
Ejemplo: Apruebas el curso o dejas la Universidad. Si apruebas el curso entonces disfrutas de tus vacaciones Si dejas la Universidad, tendrás que conseguir trabajos con mala paga Por lo tanto, disfrutas de tus vacaciones o tendrás que conseguir trabajos con mala paga
1.3 Preguntas de aplicación
a. Todos los habitantes de Lima consideran que la principal problemática de la ciudad es la inseguridad ciudadana. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………
b. Algunos abogados presentes en la VI Sala Penal participaran en el encuentro sobre “Factores que influyen en la identidad de la justicia”. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………
c. Algunos de los actuales ministros no tienen el perfil apropiado para asumir con eficiencia sus respectivos cargos. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………
d. Todos los inversionistas realizan operaciones de compra-venta con valores a través de un intermediario en la Bolsa de valores de Lima ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. Formalizar y determinar si los esquemas propuestos son equivalentes: 1.1 A: No es cierto que, Miriam sea nominalista y realista. B: Miriam no es, nominalista o es realista. 1.2 A: Desaprobé el examen porque no estudié.
B: Estudié o desaprobé el examen. 1.3 A: La música es agradable solo sí te relaja. B: La música no te relaja, por eso no es agradable. 1.4 A: Martha estudia enfermería y trabaja en una posta médica B: Martha no trabaja en una posta médica salvo que estudie enfermería
3. Determinar si los esquemas forman una relación de Implicación Lógica
3.1. A: Es un buen abogado dado que no es objetivo. B: No es un buen abogado o no es objetivo.
3.2.A: O dices la verdad o es necesario que investiguemos los papeles. B: No investigamos los papeles porque dices la verdad. 3.3.A: Aprobaré el examen si y solo si estudio responsablemente. B: Estudio responsablemente o desaprobaré el examen.
5.1 xU / x + 21 = 2x 5.2 xU / (x + 2) U
Dado que el sector de confección textil se ha visto afectado por la presión tributaria de la SUNAT, la oferta de empleos en dicho sector ha disminuido de manera significativa. Al haber una disminución significativa de la oferta laboral en el sector de confección textil, entonces la oferta de prendas de vestir ha visto incrementado sus costos. Por lo cual… Formalización Ley aplicada
Conclusión:
O las bacterias son beneficiosas o son perjudiciales para la salud. Las bacterias no son beneficiosas para la salud. Por lo tanto: Formalización Ley aplicada
