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Monografia
MATEMÁTICAS: APLICACIONES E INTERPRETACIÓN
Nivel medio
Comparación de la precisión, estabilidad y eficiencia computacional de los métodos de integración numérica (Euler y Runge-Kutta) al resolver ecuaciones diferenciales que modelan un circuito RL. Pregunta de investigación: ¿Cómo se compara la precisión y eficiencia computacional de los métodos de integración numérica (Euler y Runge-Kutta) al resolver ecuaciones diferenciales ordinarias derivadas de un circuito RL? Código personal: lmk Número de palabras: 4000 Convocatória: 002998-
- Introducción.................................................................................................................................
- Capítulo I: Fundamentaciones y Consideraciones Teóricas...................................................
- 1.1Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).......................................................................
- 1.2Métodos de Integración Numérica......................................................................................
- 1.2.1 Metodo Runge Kutta.................................................................................................
- 1.2.2 Metodo de Euler........................................................................................................
- 1.2.3 Metodo Euler-Crommer............................................................................................
- 1.3 ¿Qué es Python?...............................................................................................................
- Capítulo 2: Aplicación experimental..........................................................................................
- Resoluciones iterativos con métodos de integración numérica.............................................
- 2.1 Metodo RK2.....................................................................................................................
- 2.2 Metodo Euler...................................................................................................................
- 2.3 Metodo Euler-Cromer......................................................................................................
- 2.4 Código en Python............................................................................................................
- 2.5 Análisis e Interpretación de resultados............................................................................
- Capítulo 3: Conclusiones..........................................................................................................
- Bibliografia.................................................................................................................................
Capítulo I: Fundamentaciones y Consideraciones Teóricas
1.1Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) son matemáticamente herramientas básicas utilizadas para analizar fenómenos que presentan cambios continuos entre variables relacionadas mediante un modelo matemático cuya función desconocida 𝑓 𝑥( )y su derivada con respecto a 𝑥. Su forma más general es:
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, …, 𝑦(𝑛)) = 0, donde 𝑦 = 𝑓 𝑥( ) es la función incógnita, 𝑥es la variable independiente, y
𝑦′, 𝑦′′, …, 𝑦(𝑛) son las derivadas de^ 𝑦.
Figura 1
Gráfico tomado de Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Vol. 1: Ecuaciones Diferenciales p(42) por Dennis G. Zill
La solución de una ecuación diferencial ordinaria puede ser una solución explícita o una solución implícita. Se llama explícita una solución que expresa de manera directa la función desconocida 𝑓 𝑥( ), se llama implícita la solución que puede involucrar la relación entre 𝑓 𝑥( ) y 𝑓´ 𝑥( ), pero no puede resolver de forma directa 𝑓 𝑥( ). Para problemas más elaborados que no se pueden resolver analíticamente se utilizan métodos aproximados. Hay 2 métodos básicos para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias: analíticos y numéricos. Ambos presentan ventajas y limitaciones por lo que la elección del método de resolución depende de las mismas ecuaciones y los objetivos que se sigan. Los métodos analíticos encuentran expresiones exactas que resuelvan la EDO. Estas soluciones suelen estar expresadas en términos de funciones que se conocen, como pueden ser polinomios, exponenciales, funciones trigonométricas o funciones especiales (funciones de Bessel, funciones de Legendre, etc.). ● Separación de Variables: Utilizado cuando la ecuación puede reescribirse como: 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Lo que permite integrar ambos lados.
● Factores Integrantes:Se utiliza en ecuaciones lineales de primer orden para convertir la ecuación a forma integrable. 𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)𝑦' + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)
● Transformada de Laplace: Permite resolver convirtiendo lineal ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas en el dominio de transformada.
RK2 proporciona una precisión de segundo orden y es relativamente sencillo de implementar, lo que lo hace adecuado para una amplia gama de problemas sin incurrir en los altos costos computacionales de métodos de orden superior.
La fórmula general de RK2 es: 𝑘 1 = ℎ⋅𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝑘 2 = ℎ⋅𝑓(𝑥𝑛 + ℎ 2 , 𝑦𝑛 + 𝑘 21 )
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑘 2
Este método mejora la precisión mediante la utilización de una evaluación intermedia de la función 𝑓 𝑥, 𝑦( )lo que reduce significativamente el error de truncamiento en comparación con el método de Euler. Con una mayor cantidad de evaluaciones de la función, RK2 logra un equilibrio entre precisión y eficiencia, permitiendo obtener soluciones más exactas con un número moderado de pasos de integración. Es especialmente útil en problemas donde se requiere una mejor aproximación sin incurrir en el alto costo computacional de métodos de orden superior, como RK4.
Las principales ventajas del método de Runge-Kutta de segundo orden incluyen su mejora en la precisión respecto al método de Euler y su bajo costo computacional en comparación con RK4. Sin embargo, aunque RK2 es más preciso que Euler, sigue siendo menos exacto que RK4 en problemas donde se requiere minimizar el error global con pocos pasos. Aun así, debido a su menor carga computacional y su capacidad para proporcionar soluciones
relativamente precisas, sigue siendo una de las opciones más populares en aplicaciones donde se necesita un balance adecuado entre precisión y eficiencia.
1.2.2 Metodo de Euler
El método de Euler es uno de los métodos más simples. y se basa en una aproximación de la solución EDO utilizando la pendiente del punto inicial. Su precisión es lineal, esto significa que el error de truncamiento es proporcional al tamaño del paso. Esto lo hace menos adecuado para tareas que requieren alta precisión, especialmente aquellas con intervalos largos. Además, el método de Euler puede resultar inestable si el tamaño del paso no se elige con cuidado. El método de Euler puede fallar en problemas donde la solución exhibe un comportamiento rígido, lo que limita su uso.
𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ⋅𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
donde 𝑦𝑛 representa la solución aproximada en el punto 𝑥𝑛, ℎes el tamaño del
paso, y 𝑓 𝑥, 𝑦( ) es la función que determina la derivada de la solución de este problema diferencial. El método es explícito y de primer orden, lo que significa que el error acumulado total es proporcional al tamaño del paso ℎ. La sencillez del método de Euler lo convierte en una buena introducción al análisis numérico, pero también tiene limitaciones que condicionan su uso en problemas más complicados (Burden & Faires, 2011).
A diferencia del método de Euler estándar, en Euler-Cromer la posición 𝑥𝑛+
se actualiza utilizando la velocidad corregida 𝑣𝑛+1, lo que introduce una mejora en la estabilidad
numérica (Stöckl et al., 2010). Esto lo hace especialmente útil en la simulación de osciladores y sistemas físicos donde la energía debe conservarse a lo largo del tiempo (Hairer, Lubich & Wanner, 2006).
Las ventajas del método de Euler-Cromer incluyen su mayor estabilidad en comparación con Euler estándar y su capacidad para manejar sistemas oscilatorios con menos
error numérico acumulado. Sin embargo, su precisión sigue siendo del orden 𝑂(ℎ), lo que significa que sigue siendo un método de primer orden y puede requerir pasos pequeños para obtener resultados aceptables (Press et al., 2007).
1.3 ¿Qué es Python?
Python es un lenguaje de programación de alta importancia que es famoso por lo fácil que es de interpretar en comparación a otros lenguajes que existen en la actualidad como lo podría ser el lenguaje C++ , Javascript , Java ,PHP ,R entre otros
Capítulo 2: Aplicación experimental
Dentro de lo que conviene a esta monografía ambos tipos de ecuaciones se pueden usar para resolver circuitos inductivos lo que permite calcular la precisión que muestran estos y su tiempo de computación dentro de programas de integración numérica con la intención de ahorrar tiempo y evitar el error humano.
Figura 2
Circuito RL
Gráfico tomado de Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Vol. 1: Ecuaciones Diferenciales p(293) por Dennis G. Zill
Esta imagen es extraída del libro de ingeniería de zill este circuito fue recreado en de forma real con un voltaje de 5 voltios, resistencia con 27 , 51 y 1000 ohmios respectivamente y dos bobinas de 560 y 680 microhenrios para poder realizar este experimento.
𝑑^12 𝑑𝑡𝑖1 =− 1833. 9286𝑖 1 + 1785. 7142𝑖 3 + 8. 9285
− 1000𝑖 2 + 0. 680 𝑑 𝑑𝑡𝑖3 + 51𝑖3 = 0
− 1000𝑖 1 + 1000𝑖 3 + 0. 680 𝑑 𝑑𝑡𝑖3 + 51𝑖3 = 0
− 1000𝑖 1 + 1051𝑖 3 + 0. 680 𝑑 𝑑𝑡𝑖3 = 0
- 680 𝑑 𝑑𝑡𝑖3 = 1000𝑖 1 − 1051𝑖 3 𝑑𝑖 𝑑𝑡 =^
1000𝑖 1 0.680 −^
1051𝑖 3
𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 1470. 5882𝑖 1 − 1545. 5882𝑖 3 Luego, usando el método de resolución para EDO del libro de Zill se puede calcular ambas corrientes y usar métodos iterativos para hallar el porcentaje del circuito elaborado.
Resoluciones iterativos con métodos de integración numérica
2.1 Metodo RK
En cuanto el método de RK2 para encontrar el valor de ambas corrientes:
𝑘2𝑖1 = ℎ⋅𝑓(𝑡𝑛 + ℎ 2 , 𝑖1𝑛 + 𝑘 2 𝑖1 , 𝑖3𝑛 +^ 𝑘 2 𝑖3𝑛 )
Para calcular 𝑘 1
𝑘1𝑖1 = ℎ⋅(− 1833. 9286𝑖 1 + 1785. 7142𝑖 3 + 8. 9285)
𝑘1𝑖1 = 0. 0001⋅(− 1833. 9286(0) + 1785. 7142(0) + 8. 9285)
𝑘1𝑖1 = 0. 0001⋅(8. 9285) = 0. 00089285
𝑘1𝑖3 = ℎ⋅(1470. 5882𝑖 1 − 1545. 5882𝑖 3 )
𝑘1𝑖3 = ℎ⋅(1470. 5882𝑖 1 − 1545. 5882𝑖 3 )
𝑘1𝑖3 = 0. 001⋅(1470. 5882⋅0 − 1545. 5882⋅0) = 0
Para calcular 𝑘 2
Para calcular 𝑘 2
𝑘2𝑖1 = ℎ⋅(− 1833. 9286(𝑖 1 + 𝑘1 2 𝑖1 ) + 1785. 7142(𝑖 3 + 𝑘1 2 𝑖3 ) + 8. 9285)
𝑘2𝑖1 = ℎ⋅(− 1833. 9286(0. 000810923 + 0.0007559445 2 ) + 1785. 7142(0. 000065639 + 0.000108958 2 ) + 8. 9285)
𝑘2𝑖1 = 0. 0001⋅(− 1833. 9286⋅0. 001188895 + 1785. 7142⋅0. 000120118 + 8. 9285)
𝑘2𝑖1 = 0. 0001⋅(− 2. 17925 + 0. 21452 + 8. 9285)
𝑘2𝑖1 = 0. 0001⋅6. 96377 = 0. 000696377
𝑘2𝑖3 = ℎ⋅(− 1470. 5882(𝑖 1 + 𝑘1 2 𝑖1 ) + 1545. 5882(𝑖 3 + 𝑘1 2 𝑖3 ))
𝑘2𝑖3 = 0. 0001⋅(1470. 5882⋅0. 001188895 − 1545. 5882⋅0. 000120118)
Los valores obtenidos son: 𝑡 1 = 0. 0001 , 𝑖1(1) = 0. 000810923, 𝑖3(1) = 0. 000065639
𝑡 2 = 0. 0002 , 𝑖1(2) = 0. 0015073, 𝑖3(2) = 0. 000221876
2.2 Metodo Euler
Para el método de Euler 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ⋅𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝑖1(𝑛+1) = 𝑖1𝑛 + ℎ⋅𝑓(𝑡𝑛, 𝑖1𝑛, 𝑖3𝑛)
𝑖3(𝑛+1) = 𝑖3𝑛 + ℎ⋅𝑔(𝑡𝑛, 𝑖1𝑛, 𝑖3𝑛)
Para la primera iteración: 𝑖1(𝑛+1) = 𝑖1𝑛 + ℎ⋅𝑓(𝑡𝑛, 𝑖1𝑛, 𝑖3𝑛)
2.3 Metodo Euler-Cromer
Los valores obtenidos con Euler son: 𝑡 1 = 0. 0001 , 𝑖1(1) = 0. 00089285, 𝑖3(1) = 0
𝑡 1 = 0. 0002 , 𝑖1(2) = 0. 001621924, 𝑖3(2) = 0. 000131325
Resolviendo usando el método de Euler-Crommer: 𝑖1(𝑛+1) = 𝑖1𝑛 + ℎ · 𝑓(𝑡𝑛, 𝑖1𝑛, 𝑖3𝑛)
𝑖3(𝑛+1) = 𝑖3𝑛 + ℎ · 𝑔(𝑡𝑛, 𝑖1𝑛, 𝑖3𝑛)
La primera iteración con el método de Euler-Crommer: 𝑖1(𝑛+1) = 𝑖1𝑛 + ℎ⋅𝑓(𝑡𝑛, 𝑖1𝑛, 𝑖3𝑛)
𝑖1(1) = 0 + 0. 0001⋅(− 1833. 9286⋅0 + 1785. 7142⋅0 + 8. 9285)
𝑖1(1) = 0 + 0. 0001⋅8. 9285 = 0. 00089285
𝑖3(𝑛+1) = 𝑖3𝑛 + ℎ⋅𝑔(𝑡𝑛, 𝑖1𝑛, 𝑖3𝑛)
La segunda iteración con el método de Euler-Crommer: 𝑖1(𝑛+1) = 𝑖1𝑛 + ℎ⋅𝑓(𝑡𝑛, 𝑖1𝑛, 𝑖3𝑛)
𝑖1(2) = 0. 00089285 + 0. 0001⋅(− 1833. 9286⋅0. 00089285 + 1785. 7142⋅0 + 8. 9285)
𝑖1(2) = 0. 00089285 + 0. 0001⋅(− 1. 63776 + 8. 9285)
𝑖1(2) = 0. 00089285 + 0. 0001⋅7. 29074
𝑖1(2) = 0. 00089285 + 0. 000729074
𝑖1(2) = 0. 001621924
𝑖3(𝑛+1) = 𝑖3𝑛 + ℎ⋅𝑔(𝑡𝑛, 𝑖1𝑛, 𝑖3𝑛)
𝑖3(2) = 0 + 0. 0001⋅(1470. 5882⋅0. 00089285 − 1545. 5882⋅0)
𝑖3(2) = 0 + 0. 0001⋅1. 31325
𝑖3(2) = 0. 000131325
