no paramétricos, Apuntes de Idioma Español

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Curso de Modelos no Param´etricos

Pedro Delicado

Departament d’Estad´ıstica i Investigaci´o Operativa

Universitat Polit`ecnica de Catalunya

14 de septiembre de 2008

• 1. Contrastes no param´etricos cl´asicos Prefacio V
  • 1.1. Introducci´on
  • 1.2. Contrastes de bondad de ajuste
    • 1.2.1. La funci´on de distribuci´on emp´ırica
    • 1.2.2. El contraste de Kolmogorov-Smirnov
    • 1.2.3. Bondad de ajuste a un modelo param´etrico.
  • 1.3. Contrastes de localizaci´on
    • 1.3.1. El test del signo
    • 1.3.2. Test de Wilcoxon de los rangos signados
  • 1.4. Comparaci´on de dos muestras independientes
    • 1.4.1. Test de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras
    • 1.4.2. Test de Mann-Whitney-Wilcoxon
  • 1.5. Comparaci´on de m´as de dos muestras
    • 1.5.1. Muestras independientes: Test de Kruskal-Wallis
    • 1.5.2. Muestras relacionadas: Test de Friedman
  • 1.6. Medida de la dependencia
    • 1.6.1. Coeficiente τ de Kendall
    • 1.6.2. Coeficiente de correlaci´on de rangos de Spearman
  • 1.7. Comentarios finales
• 2. Introducci´on a los m´etodos de suavizado
  • 2.1. Introducci´on
  • 2.2. Usos de los m´etodos de suavizado.
• 3. Estimaci´on no param´etrica de la densidad
  • 3.1. La estimaci´on de la densidad
  • 3.2. El histograma y el pol´ıgono de frecuencias
    • 3.2.1. Motivaci´on del histograma
  • 3.2.2. Caracter´ısticas del histograma ii ´INDICE GENERAL
  • 3.2.3. Propiedades locales del estimador histograma
  • 3.2.4. Propiedades globales del estimador histograma
  • 3.2.5. Elecci´on del par´ametro de suavizado b
  • 3.2.6. El pol´ıgono de frecuencias
  • 3.2.7. Comportamiento asint´otico del pol´ıgono de frecuencias
• 3.3. Estimador n´ucleo de la densidad - densidad 3.3.1. Comportamiento asint´otico del estimador n´ucleo de la
  • 3.3.2. Problemas de los estimadores n´ucleo y algunas soluciones
• 3.4. Selecci´on autom´atica del par´ametro de suavizado
  • 3.4.1. Regla de referencia a la normal
  • 3.4.2. Sobresuavizado
  • 3.4.3. Validaci´on cruzada por m´ınimos cuadrados
  • 3.4.4. Plug-in directo
  • 3.4.5. Validaci´on cruzada por m´axima verosimilitud
  • 3.4.6. Otros m´etodos
• 3.5. Estimaci´on de la densidad multivariante
  • 3.5.1. Elecci´on de la matriz ventana
  • 3.5.2. Representaci´on de densidades tri-variantes
  • 3.5.3. La maldici´on de la dimensionalidad
• 3.6. Inferencia basada en la estimaci´on de la densidad
  • 3.6.1. Bandas de variabilidad
  • 3.6.2. Contraste de normalidad
  • 3.6.3. Bandas de referencia normal
  • 3.6.4. Contraste de independencia
  • 3.6.5. Bootstrap en la estimaci´on de la densidad
  • 3.6.6. Contraste de igualdad de distribuciones
    • de la densidad 3.6.7. Discriminaci´on no param´etrica basada en estimaci´on
• 3.7. Otros estimadores de la densidad
  • 3.7.1. Los k vecinos m´as cercanos
  • 3.7.2. Desarrollos en series de funciones ortogonales
  • 3.7.3. M´axima verosimilitud penalizada
  • 3.7.4. Verosimilitud local
  • 3.7.5. Representaci´on general
• 3.8. Software
  • 3.8.1. Estimaci´on de la densidad en R
  • 3.8.2. Estimaci´on de la densidad en MATLAB
• 4. Estimaci´on de la funci´on de regresi´on ´INDICE GENERAL iii
  • 4.1. El modelo de regresi´on no param´etrica
  • 4.2. Estimadores n´ucleo y polinomios locales
    • 4.2.1. Derivaci´on directa del estimador n´ucleo de la regresi´on
    • 4.2.2. Expresi´on matricial del estimador por polinomios locales
      • locales 4.2.3. Propiedades locales de los estimadores por polinomios
    • 4.2.4. Comportamiento en la frontera del soporte de x
    • 4.2.5. Elecci´on del grado del polinomio local
  • 4.3. Elecci´on del par´ametro de suavizado
    • 4.3.1. Error de predicci´on en una muestra test
    • 4.3.2. Validaci´on cruzada
    • 4.3.3. Validaci´on cruzada generalizada.
    • 4.3.4. Plug-in
    • 4.3.5. Comportamiento asint´otico de selectores de h
    • 4.3.6. Ventana variable
  • 4.4. Verosimilitud local - naria local 4.4.1. Discriminaci´on no param´etrica mediante regresi´on bi-
    • 4.4.2. Modelo de verosimilitud local
  • 4.5. Inferencia en el modelo de regresi´on no param´etrica
    • 4.5.1. Bandas de variabilidad
    • 4.5.2. Contraste de ausencia de efectos
    • 4.5.3. Contraste de un modelo lineal
    • 4.5.4. Contraste de un modelo lineal generalizado
    • 4.5.5. Igualdad de curvas de regresi´on
• 5. Estimaci´on por splines
  • 5.1. Estimaci´on m´ınimo cuadr´atica penalizada
  • 5.2. Splines y splines c´ubicos. Interpolaci´on por splines
  • 5.3. Suavizado por splines
  • 5.4. Propiedades del estimador spline de m(x)
  • 5.5. B-splines
  • 5.6. Ajuste de un modelo no param´etrico general
• 6. Regresi´on m´ultiple y modelo aditivo generalizado
  • 6.1. Regresi´on m´ultiple
  • 6.2. Modelos aditivos
  • 6.3. Regresi´on projection pursuit
  • 6.4. Modelos aditivos generalizados
  • 6.5. Modelos semiparam´etricos

Prefacio

Modelos param´etricos versus no param´etricos

Sea X variable aleatoria con distribuci´on de probabilidad dada por la funci´on de distribuci´on F. Diremos que la v.a. X sigue un modelo pa- ram´etrico si su distribuci´on de probabilidad F pertenece a una familia de distribuciones indexada por un par´ametro θ de dimensi´on finita:

X ∼ F ∈ FΘ = {Fθ : θ ∈ Θ ⊆ Rk}.

La familia de distribuciones FΘ recibe el nombre de modelo estad´ıstico param´etrico. Diremos que la v.a. X sigue un modelo estad´ıstico no param´etrico si sobre su distribuci´on F ´unicamente se suponen algunas condiciones de regularidad. Algunos ejemplos de estas condiciones son los siguientes:

F es una funci´on de distribuci´on absolutamente continua,

F es sim´etrica en torno a su mediana,

F tiene funci´on de densidad f con dos derivadas continuas.

Las restricciones impuestas sobre F indican que esta distribuci´on pertenece a un subconjunto de todas las posibles distribuciones de probabilidad, pero este subconjunto tiene dimensi´on infinita (no se puede indexar por un par´ametro de dimensi´on finita).

M´etodos no param´etricos

Son m´etodos de inferencia estad´ıstica v´alidos cuando no se hacen hip´otesis param´etricas sobre la distribuci´on de los datos. Distinguiremos dos familias de m´etodos. La primera fue desarrollada principalmente en las d´ecadas de los 40 y 50 del siglo XX, y la segunda en el ´ultimo tercio de ese siglo.

v

vi PREFACIO

M´etodos no param´etricos cl´asicos

Tienen por objetivo hacer inferencia sobre la distribuci´on de probabilidad F de X o sobre alguna caracter´ıstica suya que est´e bien definida sea cual sea la distribuci´on F (por ejemplo, la mediana o el rango intercuart´ılico de F ). Como no se conoce la distribuci´on F los m´etodos que se proponen se basan en estad´ısticos cuya distribuci´on en el muestreo no depende de F. Por ello se conocen como m´etodos libres de la distribuci´on de los da- tos, o m´etodos de distribuci´on libre (una mala traducci´on del t´ermino distribution-free en ingl´es). Estos son los m´´ etodos que trataremos en el Cap´ıtulo 1. Concretamente nos centraremos en contrastes de hip´otesis no param´etricos.

Estimaci´on no param´etrica de curvas

Son t´ecnicas que permiten estimar funciones relacionadas con la distri- buci´on de probabilidad de los datos. Por ejemplo se puede tener inter´es en estimar la funci´on de distribuci´on F (x), la funci´on de densidad f (x), la tasa de fallo λ(x) = f (x)/(1 − F (x)), la funci´on de regresi´on m(x) = E(Y |X = x) o la varianza condicional σ^2 (x) = V (Y |X = x). A estas t´ecnicas se dedicar´an los restantes cap´ıtulos.

2 CAP´ITULO 1. CONTRASTES NO PARAM ETRICOS CL ´ ASICOS´

Para ello se dispone de una muestra aleatoria simple (m.a.s.) X 1 ,... , Xn de X. Tambi´en consideramos las hip´otesis alternativas unilaterales H 1 : F (x) > F 0 (x) para todo x, o H 1 : F (x) < F 0 (x) para todo x. Vamos a estudiar el contraste de Kolmogorov-Smirnov (existen otras for- mas de realizar contrastes de bondad de ajuste, por ejemplo los contrastes de la χ^2 , basados en la categorizaci´on de los datos). El contraste de Kolmogorov-Smirnov se basa en calcular una distancia entre la funci´on de distribuci´on emp´ırica de los datos, Fn, y la funci´on de distribuci´on F 0 postulada bajo H 0. Recordemos la definici´on y propiedades de la funci´on de distribuci´on emp´ırica.

1.2.1. La funci´on de distribuci´on emp´ırica

Sea la variable aleatoria X con funci´on de distribuci´on F. Consideramos una muestra aleatoria simple de tama˜no n de X, es decir, X 1 ,... , Xn v.a.i.i.d. con distribuci´on dada por F. Sea x 1 ,... , xn una realizaci´on de esa m.a.s. Se llama funci´on de distribuci´on emp´ırica a la funci´on

Fn(x) =

n

#{xi ≤ x : i = 1... n} =

n

∑^ n

i=

I(−∞,x](xi),

donde

I(−∞,x](xi) =

1 , si xi ≤ x 0 , si xi > x,

que a cada n´umero real x le asigna la proporci´on de valores observados que son menores o iguales que x. Es inmediato comprobar que la funci´on Fn as´ı definida es una funci´on de distribuci´on:

1. Fn(x) ∈ [0, 1] para todo x ∈ R.
2. Fn es continua por la derecha.
3. Fn es no decreciente.
4. l´ımx−→−∞ Fn(x) = 0.
5. l´ımx−→∞ Fn(x) = 1.

Concretamente, Fn es la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria discreta (que podemos llamar Xe) que pone masa 1/n en cada uno de los n puntos xi observados:

1.2. CONTRASTES DE BONDAD DE AJUSTE 3

xi x 1 x 2 · · · xn pi = P(Xe = xi) 1 /n 1 /n · · · 1 /n

A la distribuci´on de Xe se le llama distribuci´on emp´ırica asociada al conjunto de valores {x 1 ,... , xn}. Obs´ervese que si fijamos el valor de x y dejamos variar la muestra, lo que obtenemos es una variable aleatoria. En efecto, se tiene entonces que

Fn(x) =

n

∑^ n

i=

I(−∞,x](Xi),

donde

I(−∞,x](Xi) =

1 , si Xi ≤ x 0 , si Xi > x

y, por lo tanto, cada t´ermino I(−∞,x](Xi) es una variable aleatoria de Bernoulli con probabilidad de ´exito

p = P(I(−∞,x](Xi) = 1) = P(Xi ≤ x) = F (x).

De ah´ı se deduce que Fn es una variable aleatoria y que nFn(x) tiene distri- buci´on binomial con par´ametros n y p = F (x). De lo anterior se sigue que la funci´on de distribuci´on emp´ırica es un pro- ceso estoc´astico: si consideramos un espacio probabil´ıstico (Ω, A, P ) donde est´an definidas las sucesiones de variables aleatorias {Xn}n≥ 1 a partir de las cuales definiremos la funci´on de distribuci´on emp´ırica, tenemos que

Fn : (Ω, A, P ) × (R, B) −→ [0, 1] (ω, x) −→ Fn(x)(ω) = (^1) n

∑n i=1 I(−∞,x](Xi(ω)).

Fijado x, Fn(x)(·) : (Ω, A, P ) −→ [0, 1] es una variable aleatoria. Fijado ω, Fn(·)(ω) : R −→ [0, 1] es una funci´on de distribuci´on (en la notaci´on usual se omite la dependencia de ω ∈ Ω). Por lo tanto, la funci´on de distribuci´on emp´ırica es una funci´on de distribuci´on aleatoria. El siguiente teorema recoge algunas de las propiedades de la funci´on de distribuci´on emp´ırica.

Teorema 1.1 Sea {Xn}n≥ 1 , sucesi´on de variables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas definidas en el espacio de probabilidad (Ω, A, P ) con funci´on de distribuci´on com´un F. Se denota por Fn la funci´on de distri- buci´on emp´ırica obtenida de las n primeras variables aleatorias X 1 ,... , Xn. Sea x ∈ R. Se verifica lo siguiente:

(a) P(Fn(x) = jn ) =

(n j

F (x)j^ (1 − F (x))n−j^ , j = 0,... , n.

1.2. CONTRASTES DE BONDAD DE AJUSTE 5

y los sucesos de A siguientes:

Ajk = Axjk = {w ∈ Ω : Fn(xjk) −→ F (xjk)}

Bjk = Bxjk = {w ∈ Ω : Fn(x− jk) −→ F (x− jk)}

Dk =

⋂^ k

j=

(Ajk ∩ Bjk), D =

⋂^ ∞

k=

Dk.

Dk es el suceso definido por la condici´on de que la funci´on de distribuci´on emp´ırica converja a la te´orica para todos los puntos xjk (y tambi´en para los l´ımites por la izquierda), para un k fijo. D es el suceso en que esto ocurre simult´aneamente para todo k. Seg´un la ley fuerte de los grandes n´umeros, P(Ajk) = P(Bjk) = 1 para todo j y todo k, luego P(Dk) = 1 para todo k y, por tanto, P(D) = 1. Obs´ervese que si x ∈ [xjk, x(j+1)k), por ser F y Fn funciones de distribu- ci´on se tiene que

F (xjk) ≤ F (x) ≤ F (x− (j+1)k), y Fn(xjk) ≤ Fn(x) ≤ Fn(x− (j+1)k).

Como adem´as F (x− (j+1)k) − F (xjk) ≤ 1 /k,

Fn(x) − F (x) ≤ Fn(x− (j+1)k) − F (xjk) ≤ Fn(x− (j+1)k) − F (x− (j+1)k) +

k

y

Fn(x) − F (x) ≥ Fn(xjk) − F (x− (j+1)k) ≥ Fn(xjk) − F (xjk) −

k

con lo cual, si δ( nk )es la mayor entre todas las diferencias |Fn(xjk) − F (xjk)| y |Fn(x− jk) − F (x− jk)| (para n y k fijos), se tiene que

Fn(x) − F (x) ≤ δ( nk )+

k

y Fn(x) − F (x) ≥ −δ n(k )−

k

As´ı, para cualquier k ∈ IN,

sup x∈R

|Fn(x) − F (x)| ≤ δ( nk )+

k

Obs´ervese que si se verifica el suceso D, para cualquier k ∈ IN y cualquier ε > 0, se tiene que δ( nk )< ε a partir de un cierto n, de forma que

sup x∈R

|Fn(x) − F (x)| < ε +

k

6 CAP´ITULO 1. CONTRASTES NO PARAM ETRICOS CL ´ ASICOS´

a partir de cierto n. Por lo tanto,

sup x∈R

|Fn(x) − F (x)| −→n 0

siempre que se verifique D. Como P(D) = 1, se sigue que

sup x∈R

|Fn(x) − F (x)| −→n 0 casi seguro.

2

Ejemplo 1. En la figura siguiente se muestra la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria N (0, 1) y la funci´on de distribuci´on emp´ırica de dos muestras de esa variable aleatoria una de tama˜no n = 10 (la m´as alejada de la te´orica) y la otra de tama˜no n = 100. Se aprecia que cuando n crece la proximidad entre la funci´on de distribuci´on emp´ırica y la te´orica es cada vez mayor.

−3 −2 −1 0 1 2 3

F.distr. de la N(0,1) y f.distr.emp. de dos muestras (n=10, n=100)

x

Fx

8 CAP´ITULO 1. CONTRASTES NO PARAM ETRICOS CL ´ ASICOS´

Si X ∼ F 0 entonces F 0 (X) ∼ U ([0, 1]).

Si U ∼ U ([0, 1]) entonces F 0 − 1 (U ) ∼ F 0.

Observar que la funci´on de distribuci´on emp´ırica puede reescribirse as´ı:

Fn(x) =

n

∑^ n

i=

I(−∞,x](Xi) =

n

∑^ n

i=

I(−∞,x](F 0 − 1 (Ui)) =

n

∑^ n

i=

I(−∞,F 0 (x)](Ui) = Fn U (F 0 (x)),

donde U 1 ,... , Un es una m.a.s. de una U ([0, 1]) y F (^) nU es su funci´on de distri- buci´on emp´ırica. As´ı,

Dn = sup x∈R

|Fn(x) − F 0 (x)| = sup x∈R

|F (^) nU (F 0 (x)) − F 0 (x)| = sup u∈[0,1]

|F (^) nU (u) − u|,

que es el valor del estad´ıstico de Kolmogorov-Smirnov calculado a partir de una m.a.s. de una U ([0, 1]). Por lo tanto la distribuci´on de Dn no depende de F 0. An´alogos argumentos pueden hacerse para D+ n y D− n. 2

Distribuci´on exacta. La distribuci´on exacta de Dn, D+ n y D− n puede calcularse para cualquier ta- ma˜no muestral n utilizando t´ecnicas est´andar de c´alculos de probabilidades a partir de la funci´on de densidad conjunta de la variable aleatoria multi- variante (U 1 ,... , Un). Tambi´en pueden aproximarse esas distribuciones me- diante simulaci´on. Estas distribuciones est´an tabuladas en muchos libros de estad´ıstica (ver Gibbons 1997 o Hollander y Wolfe 1999, por ejemplo). Obs´ervese que la distribuci´on de D− n coincide con la de D n+ para cualquier tama˜no muestral.

Distribuci´on asint´otica. Si el tama˜no muestrral n es grande (en la pr´actica, n ≥ 30 es suficiente), la distribuci´on de los estad´ısticos Dn, D+ n y D n− bajo H 0 puede aproximarse seg´un indica la sigiente proposici´on.

Proposici´on 1.2 1. Para z > 0

l´ım n−→∞

P (

nDn ≤ z) = 1 − 2

∑^ ∞

i=

(−1)i−^1 e−^2 i^2 z^2.

2. Para z > 0 nl´−→∞ım P^ (

nD n+ ≤ z) = 1 − e−^2 z^2.

1.3. CONTRASTES DE LOCALIZACI ON´ 9

3. Para tama˜nos muestrales n grandes

4 n(D n+ )^2 ≈ χ^22.

4. Para tama˜nos muestrales n grandes y α = 0, 05

Dn,α ≈

n

, D+ n,α = D− n,α ≈

n

1.2.3. Bondad de ajuste a un modelo param´etrico.

Se trata de contrastar

H 0 : F = Fθ para alg´un θ ∈ Θ, frente a H 1 : F 6 = Fθ para ning´un θ ∈ Θ.

Sea θˆ el estimador m´aximo veros´ımil de θ calculado a partir de la muestra observada. El estad´ıstico del contraste de Kolmogorov-Smirnov queda modi- ficado como sigue: Dˆn = sup x∈R

|Fn(x) − Fθˆ(x)|.

La distribuci´on de este estad´ıstico no coincide con la de Dn. Adem´as esa dis- tribuci´on depende de la familia param´etrica que se especifica en la hip´otesis nula. Algunos casos concretos est´an tabulados (por ejemplo, en el caso de contrastar normalidad este test se conoce como test de Lilliefors).

1.3. Contrastes de localizaci´on en una mues-

tra o en dos muestras apareadas

En sta secci´on nos planteamos contrastar si la mediana de una muestra es un valor dado, y si la diferencia entre los datos de dos muestras tiene mediana igual a 0. Sea X 1 ,... , Xn m.a.s. de X ∼ F. Sea M = mediana(F ), desconocida, y sea M 0 un valor conocido. Se desea contrastar

H 0 : M = M 0 frente a H 1 : M 6 = M 0 (o H 1 : M > M 0 , o H 1 : M < M 0 ).

En el caso de datos apareados, (X 1 , Y 1 ),... , (Xn, Yn) es una m.a.s. de (X, Y ) y se desea contrastar la hip´otesis nula

H 0 : MD = M 0 ,

donde MD es la mediana de la variable diferencia D = X − Y. En este caso el valor M 0 que se contrasta usualmente es M 0 = 0.

1.3. CONTRASTES DE LOCALIZACI ON´ 11

se asigna un signo + a cada observaci´on Xi > M 0 , y un signo - si Xi < M 0. Se usa como estad´ıstico del contraste

S = n´umero de signos +.

Obs´ervese que bajo H 0

Yi = I{Xi > M 0 } ∼ Bernoulli(p = 0,5)

y que

S =

∑^ n

i=

Yi ∼ B(n, p = 0,5),

con lo que queda perfectamente determinada la distribuci´on exacta del estad´ıstico del contraste para cualquier tama˜no muestral. Obs´ervese que esta distribuci´on es independiente de la distribuci´on F de los datos: el test del signo es de distribuci´on libre. Para n grande (n > 20 es suficiente) se puede aproximar la distribuci´on exacta de S por la distribuci´on normal de par´ametros μ = n/2 y σ^2 = n/4. Es recomendable usar una correcci´on por continuidad en esta aproximaci´on asint´otica:

P (S ≤ r) ≈ P

Z ≤

r − n/2 + 0, 5 √ n/ 4

donde Z ∼ N (0, 1). La siguiente tabla resume la forma de llevar a cabo el test del signo:

Hip´otesis Hip´otesis nula alternativa Rechazar H 0 si ... p-valor M = M 0 M > M 0 SObs grande P (S ≥ SObs) M = M 0 M < M 0 SObs peque˜no P (S ≤ SObs) M = M 0 M 6 = M 0 SObs lejos de n/ 2 2 m´ın{ 1 / 2 , P (S ≥ SObs), P (S ≤ SObs)}

Vale la pena mencionar que el test del signo puede adaptarse trivialmente para contrastar si el cuantil p de la distribuci´on F , al que llamaremos Qp(F ), es igual a un valor dado Q 0 frente a que es ditinto, mayor o menor que Q 0. El caso de la mediana corresponde a p = 0,5. Por ´ultimo se˜nalemos que en el caso (muy improbable, al suponerse F absolutamente continua) de que alguna observaci´on sea igual a M 0 , se elimina ´esta y se reduce el tama˜no muestral n consecuentemente.

12 CAP´ITULO 1. CONTRASTES NO PARAM ETRICOS CL ´ ASICOS´

1.3.2. Test de Wilcoxon de los rangos signados

El test del signo s´olo utiliza la informaci´on de si cada dato es mayor o menor que la mediana M 0 propuesta bajo H 0 , pero desaprovecha la informa- ci´on relativa a la magnitud de la diferencia entre las observaciones y M 0. El test de Wilcoxon de los rangos signados s´ı tiene en cuenta esa informaci´on. Para poder aplicarlo se requiere una hip´otesis adicional: la distribuci´on F de X ha de ser sim´etrica alrededor de su mediana M. La hip´otesis de simetr´ıa de X alrededor de su mediana permite reexpresar esta variable como X ∼ M + (2Z − 1)A,

donde Z ∼ Bernoulli(1/2), A ∼ |X − M |, y Z y A son variables aleatorias independientes. Observar que (2Z − 1) toma los valores 1 y −1 con probabi- lidades 1/2. Dada la muestra X 1 ,... , Xn de X ∼ F , que se supone absolutamente continua y sim´etrica alrededor de su mediana M , y planteada la hip´otesis nula H 0 : M = M 0 , se descompone la informaci´on contenida en cada Xi en dos partes:

Se asigna un signo + a cada observaci´on Xi > M 0 , y un signo - si Xi < M 0 , como en el test del signo. De forma equivalente se puede definir Zi = I{Xi > M 0 }.

Se calcula Ai = |Xi − M 0 |.

Bajo la hip´otesis nula, Ai y Zi son independientes y, por lo tanto, es como si los signos + y - se hubiesen asignado aleatoriamente, sin guardar relaci´on con el tama˜no de Ai. Por el contrario, si H 0 es falsa (para fijar ideas podemos suponer que M > M 0 ) los signos + tender´an a acompa˜nar a valores grandes de Ai y los signos - corresponder´an a valores peque˜nos de Ai. As´ı, tiene sentido basar el contraste de H 0 en los siguientes estad´ısticos:

T +, definido como la suma de los rangos de los Ai a los que corres- ponden signos +.

T −, definido como la suma de los rangos de los Ai a los que corres- ponden signos -.

En estas definiciones, el rango de un valor Ai = |Xi − M 0 | es el lugar que ocupa este valor en la lista ordenada de los valores A 1 ,... , An. M´as formalmente, sea A(1) < A(2) < · · · < A(n)