¡Descarga Métodologia Quantitativa I: Normas Elementales de Cálculo - Prof. Alarcón y más Exámenes selectividad en PDF de Sociología y ética solo en Docsity!
Eines Matemàtiques i Informàtiques
NORMES ELEMENTALS DE CÀLCUL
1. O PERACIONS AMB FRACCIONS
Sumes i restes quan les fraccions tenen el mateix denominador
ࢇ ࢈
Mínim comú múltiple de dos o més nombres (m.c.m.) és el menor dels múltiples comuns a tots ells (diferent del zero).
Màxim comú divisor de dos o més nombres (m.c.d.) és el major dels divisors comuns a tots ells (diferent del 1).
Càlcul del mínim comú múltiple i del màxim comú divisor:
o Es factoritzen els nombres (és a dir, s’expressen com a productes de potències de nombres primers) o El mínim comú múltiple és el producte del tots els factors elevats al major dels exponents. o El màxim comú divisor és el producte dels factors comuns a tots els nombres elevats al menor dels exponents.
Exemple: En factoritzar obtenim 24 = 2 3 ∙ 3 ; 36 = 2 2 ∙ 32 i 40 = 2 3 ∙ 5
m.c.m.(24, 36, 40) = 2 3 ∙ 3 2 ∙ 5 = 360 i m.c.d. .(24, 36, 40) = 22 = 4
Sumes i restes quan les fraccions no tenen el mateix denominador:
o Calcula el mínim comú múltiple dels denominadors o Transforma les fraccions per tal que totes tinguin com a denominador el mínim comú múltiple (multiplicant el numerador i el denominador de cada una d’elles pels factors que li falten al denominador). o Suma o resta aplicant la norma per a les fraccions que tenen el mateix denominador.
Exemple:
ଶସ ^
ଷ െ^
ସ ൌ^
ଷ ^
ଷ െ^
ଷ ൌ^
ଷ ൌ^
Eines Matemàtiques i Informàtiques
Simplificació de fraccions
o Calcula el màxim comú divisor del numerador i del denominador o Divideix el numerador i el denominador pel seu màxim comú divisor.
Exemple: Es verifica que m.c.d(24, 36) = 12
ଷ ൌ^
ଷ:ଵଶ ൌ^
Racionalització de fraccions
Racionalitzar una fracció és transformar‐la en una fracció equivalent sense radicals en el denominador.
o
࢈√ (^) ൌ^
࢈√ (^) ࢈√ (^) షൌ^
o
࢈ା√ࢇ√^
ൌ
൫√ࢇା√࢈൯ሺ√ࢇି (^) ሻ࢈√ ൌ^
2. CÀLCUL AMB POTÈNCIES
Definicions. Sigui a un nombre real i n i m nombres naturals:
o ࢇ^ ൌ ࢇ∙ ࢇ ࢇ ∙∙∙ณ
o ࢇ^ ൌ
o ିࢇ ^ ൌ ࢇ
o ࢇ
Producte, quocient i potència de potències
o ࢇ ^ ࢇ ∙ ^ ࢇ ൌ ା
o ࢇ ^ ࢇ : ^ ࢇ ൌ ି
o ࢇሺ ^ ሻ ^ ࢇ ൌ ∙
o Aquestes normes també s’apliquen a exponents que siguin negatius, zero o fraccionaris.
Potència d’un binomi. Siguin a i b nombres reals i n i p nombres naturals:
o ሺ ࢇ ࢈ሻ ^ ࢇ ൌ ^ ࢈ ࢈ࢇ
Eines Matemàtiques i Informàtiques
3. RESOLUCIÓ D’EQUACIONS
Definició:
Una equació és una igualtat entre dues expressions algebraiques formades per números, lletres i símbols matemàtics. A les lletres les anomenem incògnites. o Resoldre una equació és trobar els valors de les incògnites que fan certa la igualtat. o Direm que l’equació té tantes incògnites com lletres diferents intervenen en la seva expressió. o El grau d’una equació amb una sola incògnita és el màxim exponent de la incògnita que hi ha en l’equació.
Equacions de primer grau
o Es realitzen les operacions indicades que hi ha a cada un dels dos membres, de tal manera que a cada banda de l’equació hi hagi tant sols un terme amb incògnita i un altre terme sense incògnita. o Per canviar un terme de membre cal canviar el signe (el que suma passa restant i el que resta passa sumant). Passa els termes amb incògnita a l’esquerra i els termes sense incògnita a la dreta de l’equació i agrupa’ls, de manera finalment només et quedi un terme amb la incògnita igual a una constant. o Aïlla la incògnita, passant a l’altre membre el nombre que multiplica a la incògnita a dividir i el que la divideix a multiplicar.
Exemple: ଶଷ ሺ ݔെ 5ሻ 4 ݔൌ 3ሺ ݔെ 2ሻ 4 ⇒ ݔ 3 െ
3 4 ݔൌ 3 ݔെ 6 4^ ⇒
3 ൌ 3 ݔെ 2^ ⇒
3 3^ ⇒
Eines Matemàtiques i Informàtiques
Equacions de segon grau
o S’apliquen les mateixes normes que es fan servir per a les equacions de primer grau per tal d’aconseguir una expressió simplificada consistent en un polinomi de segon grau igual a zero, és a dir, una expressió del tipus:
ܽݔ ଶ^ ݔ ܾ ܿൌ 0
o Per a trobar les solucions s’aplica la següent fórmula:
െ ࢈േ √࢈^ ࢉࢇ െ
Si l’expressió ࢈^ ࢉࢇ െ és negativa no hi ha solucions. Si és zero només n’hi ha una (que és doble) i si és positiva n’hi ha dues.
Exemple: ሺ ݔെ 2ሻ ଶ^ 6 ൌ 3 ݔ 5 ⇒ ݔ ଶ^ െ 4 ݔ 4 6 ൌ 3 ݔ 5 ⇒ ݔ ଶ^ െ 7 ݔ 5 ൌ 0 ⇒
ൌ ݔ
2 ≅ 6,19݅^ ݔ^ ଶ^ ൌ
Sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites
o S’apliquen les normes de resolució d’equacions de primer grau per tal de simplificar les dues equacions de tal manera que quedin expressades així:
ܽ ଵ ܾ ݔ (^) ଵ ܿൌ ݕ (^) ଵ ܽ ଶ ܾ ݔ (^) ଶ ܿൌ ݕ (^) ଶ
o Es pot resoldre el sistema per substitució , aïllant la x de la primera equació i substituint‐la en la segona. Llavors la segona queda amb una sola incògnita, fet que permet calcular la y. Substituint el valor de la y en la primera equació es calcula la x. o Es pot resoldre el sistema per igualació , aïllant la x en les dues equacions i igualant els membres de la dreta. Aquesta igualtat permet calcular la y. La x es troba substituint el valor de la y en qualsevol de les dues equacions. o Es pot resoldre el sistema per reducció , multiplicant les dues equacions pel nombre necessari per tal que els coeficients de x siguin iguals al mínim comú múltiple de a 1 i a 2 i de signe contrari. Després es sumen les dues
