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Fundamentos de Matem´atica - 2022-A

Cap´ıtulo 1: L´ogica

Preparado por:

la C´atedra de Fundamentos de Matem´atica - EPN

Cap´ıtulo 1

L´ogica

Resultados de aprendizaje del cap´ıtulo

Conocimientos:

1. Reconocer una proposici´on.
2. Identificar las conectivas.
3. Reconocer una tautolog´ıa.
4. Reconocer una equivalencia l´ogica.
5. Reconocer una deducci´on l´ogica.
6. Explicar la diferencia entre tautolog´ıa y equivalencia l´ogica.
7. Explicar la diferencia entre deducci´on l´ogica y equivalencia l´ogica.
8. Enunciar las propiedades de las conectivas mediante equivalencias l´ogica.

Destrezas:

1. Determinar el valor de verdad de una proposici´on.
2. Demostrar que una proposici´on es una tautolog´ıa.
3. Demostrar que dos proposiciones son l´ogicamente equivalentes.
4. Demostrar propiedades de las conectivas l´ogicas.

Introducci´on

Los Fundamentos de la Matem´atica es el estudio de los conceptos fundamentales de las diversas teor´ıas que, en su conjunto, componen lo que se denomina Matem´atica. Por su parte, cada una de estas teor´ıas es, fundamentalmente, una colecci´on de conceptos y

de la teor´ıa se deducen de los axiomas y, por este hecho, se las considera verdaderas. A estas proposiciones se las denomina teoremas. Cuando se estudia o desarrolla una teor´ıa matem´atica, es justamente la L´ogica ma- tem´atica la teor´ıa que nos provee los conceptos y procedimientos (o m´etodos) necesarios para deducir las proposiciones a partir de sus axiomas. Un concepto que no se define de ninguna manera no es de utilidad alguna. Por ello, aunque los conceptos primitivos no se definen expl´ıcitamente, s´ı se los define impl´ıcita- mente mediante los axiomas. Es decir, los axiomas son proposiciones que describen las propiedades o caracter´ısticas b´asicas o fundamentales de los conceptos primitivos; por ello, decimos que los axiomas definen impl´ıcitamente los conceptos primitivos. Este es el segundo papel que juegan los axiomas. Veamos algunos ejemplos^1.

Ejemplos: Teor´ıas matem´aticas

1. N´umeros reales: esta teor´ıa se desarrolla a˜nadiendo axiomas y conceptos primitivos a los de la teor´ıa de Conjuntos (a m´as de los axiomas de la L´ogica). En esta teor´ıa se estudian, entre otros, los conceptos de: n´umero real, suma, producto, resta, divisi´on, el cuadrado de un n´umero, inverso aditivo, inverso del producto, neutro aditivo, neutro multiplicati- vo, igual a, mayor que, menor que, mayor o igual que, menor o igual que, positivo, negativo, ra´ız cuadrada. Los conceptos primitivos propios de esta teor´ıa son: n´umero real, suma, producto, mayor que, neutro de la suma o cero, neutro de la multiplicaci´on o uno, inverso aditivo e inverso multiplicativo. Los siguientes ejemplos muestran conceptos definidos: C 1 : La resta de a y b es la suma de a y el inverso aditivo de b. Este concepto se define mediante los conceptos primitivos: n´umero real, suma e inverso aditivo. C 2 : La divisi´on de a y b, donde b es distinto de cero, es el producto de a y el inverso multiplicativo de b. Este concepto se define mediante los conceptos primitivos: n´umero real, pro- ducto, cero e inverso multiplicativo. C 3 : El cuadrado de un n´umero real es el producto de ese n´umero y el mismo n´umero. Este concepto se define mediante los conceptos primitivos: n´umero real y pro- ducto. C 4 : Un n´umero real es positivo si es mayor que 0.

(^1) El objetivo de estos ejemplos es ilustrar el otro papel que juegan los axiomas: ser la base de las proposiciones a partir de las cuales se deducen todas las dem´as proposiciones de la Geometr´ıa. Por ello, en estos ejemplos no nos ocuparemos de demostrar por qu´e son teoremas.

Este concepto se define mediante los conceptos primitivos: n´umero real, mayor que y cero. Las siguientes proposiciones son algunos de los axiomas de los N´umeros reales:

A 1 : La suma de dos n´umeros reales es un n´umero real. Este axioma define impl´ıcitamente los conceptos primitivos n´umero real y suma.

A 2 : Si a y b son n´umeros reales, entonces ab = ba. Este axioma define impl´ıcitamente los conceptos primitivos n´umero real y produc- to.

A 3 : Si a, b y c son n´umeros reales, entonces a(bc) = (ab)c.

A 4 : Existe un n´umero real 0 tal que para todo n´umero real a, a + 0 = a. Este axioma define impl´ıcitamente los conceptos primitivos n´umero real, suma y elemento neutro de la suma o cero.

A 5 : Para todo n´umero real a, existe otro n´umero real −a tal que a + (−a) = 0. Este axioma define impl´ıcitamente los conceptos primitivos: n´umero real, suma, inverso aditivo y cero.

A 6 : Para todo n´umero real a distinto de 0 , existe otro n´umero real a−^1 tal que aa−^1 = 1. Este axioma define impl´ıcitamente los conceptos primitivos: n´umero real, producto, inverso multiplicativo y uno.

A 7 : Para todo n´umero real a, todo n´umero real b y todo n´umero real c, a(b + c) = ab + ac.

A 8 : Si a y b son n´umeros mayores que cero, entonces a + b y ab tambi´en son n´umeros mayores que cero. Las siguientes se deducen de uno o varios axiomas de la teor´ıa de los N´umeros reales:

T 1 : Si a = b, entonces ac = bc. Esta proposici´on se deduce del axioma x = x y del axioma de sustituci´on (de la teor´ıa de Conjuntos).

T 2 : El producto de un n´umero real y 0 es igual a 0. Este teorema se deduce de los axiomas A 4 , A 5 y A 7.

T 3 : Si el producto de dos n´umeros reales es igual a cero, entonces uno de los dos es igual a cero. Este teorema se deriva de los siguientes axiomas: A 3 , A 4 , A 5 , A 6 y A 7.

T 4 : Si a, b y c son n´umeros reales tales que a = b y b = c, entonces a = c.

T 5 : El cuadrado de todo n´umero real es mayor o igual que cero.

T 6 : La ra´ız cuadrada de un n´umero positivo es un n´umero positivo.

T 7 : Si el producto de dos n´umeros reales es positivo, entonces, o bien ambos son posi- tivos, o bien ambos son negativos.

T 8 : Si a, b y c son n´umeros reales tales que a > b y b > c, entonces a > c.

T 9 : Si a, b y c son n´umeros reales y a = b, entonces a + c = b + c.

1.2 Proposiciones

La mayor´ıa de las proposiciones vistas en los ejemplos anteriores pertenecen a la L´ogica de predicados. Sin embargo, el modo en el que est´an formuladas oculta la presencia de estos, con lo cual se resaltan las caracter´ısticas de la L´ogica de proposiciones. Ahora bien, en estos ejemplos, sobresalen dos de las caracter´ısticas fundamentales de una proposici´on:

1. Una proposici´on necesariamente tiene que ser o verdadera o falsa. A esta carac- ter´ıstica se le conoce con el nombre Principio del tercero excluido.
2. Una proposici´on no puede ser verdadera y falsa. A esta caracter´ıstica se le conoce con el nombre Principio de no contradicci´on.

Una tercera caracter´ıstica de las proposiciones (que es menos aparente en los ejem- plos anteriores), es el hecho de que una proposici´on se puede expresar mediante otras proposiciones. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos: Proposiciones expresadas mediante otras proposiciones

1. Si dos lados de un tri´angulo son congruentes, entonces los ´angulos opuestos a estos lados tambi´en son congruentes. Esta es una proposici´on que se expresa a trav´es de dos proposiciones: i) los dos lados de un tri´angulo son congruentes; y ii) los ´angulos opuestos a los dos lados congruentes son tambi´en congruentes. Y estas dos proposiciones se relacionan mediante las palabras Si, entonces y una coma: Si los dos lados de un tri´angulo son congruentes, entonces los ´angulos opues- tos a los dos lados congruentes son tambi´en congruentes.
2. Si el producto de dos n´umeros reales es igual a 0 , entonces uno de los dos es igual a 0. En este caso, las proposiciones mediante las que se expresa la proposici´on original son: i) el producto de dos n´umeros reales es igual a 0 ; ii) uno de los n´umeros es igual a 0 ; y iii) el otro n´umero es igual a 0. Adem´as de las palabras: Si, entonces, la coma y la palabra o: Si el producto de dos n´umeros reales es igual a 0 , entonces uno de los n´umeros es igual a 0 o el otro es igual a 0.
3. Dos rectas paralelas no se intersecan. Esta proposici´on se expresa mediante la proposici´on Dos rectas paralelas se intersecan.

con la ayuda de la palabra no: Dos rectas paralelas no se intersecan. Aunque no es frecuente, esta proposici´on suele escribirse diferente pero conservando el mismo sentido: No es verdad que dos rectas paralelas se intersequen. En este caso, se utiliza la frase no es verdad que la cual significa lo mismo que el simple no utilizado en la proposici´on original.

4. El cuadrado de un n´umero real es igual a 0 si y solo si el n´umero es igual a 0. En este caso, esta proposici´on se expresa mediante las proposiciones: i) el cuadrado de un n´umero real es igual a 0 ; y ii) el n´umero real es igual a 0 , y con ayuda de las palabras si y solo si: El cuadrado de un n´umero real es igual 0 si y solo si el n´umero real es igual a 0.
5. Si a y b son n´umeros reales positivos, entonces a < b si y solo si a^2 < b^2. En este caso, las proposiciones mediante las que se expresa la proposici´on original son: i) a y b son n´umeros reales positivos; ii) a < b; y iii) a^2 < b^2 , y con ayuda de las palabras si y entonces, la coma y la frase si y solo si: Si a y b son n´umeros reales positivos, entonces a < b si y solo si a^2 < b^2.

Los ejemplos que siguen nos presentan proposiciones que no se expresan mediante otras proposiciones, y tambi´en proposiciones que se expresa a trav´es de otras pero que no utilizan ´unicamente una o varias de las palabras si, entonces, y, o, no, sino otras que son tambi´en relevantes para la matem´atica, pero que no estudiaremos en este cap´ıtulo, sino en el siguiente.

Ejemplos: Proposiciones

1. La proposici´on Todo tri´angulo equil´atero es is´osceles puede interpretarse de la siguiente manera: Si un tri´angulo es equil´atero, entonces tambi´en es is´osceles. En este caso, se ajusta al tipo de proposiciones que se expresan mediante las palabras si

anteriormente. Respecto de la tercera caracter´ıstica, solo nos ocuparemos de las proposiciones sin predicados. Las palabras mediante las cuales se expresa una proposici´on a trav´es de otras que ele- giremos son: no, y, o, si-entonces, si y solo si^2. Para estas cinco palabras, los conceptos primitivos correspondientes son negaci´on, conjunci´on, disyunci´on, implicaci´on y doble implicaci´on.

1.2.1 Conceptos primitivos y el primer axioma

Los conceptos primitivos son: proposici´on, verdadero, falso, valor de verdad de una proposici´on, negaci´on, conjunci´on, disyunci´on, implicaci´on y doble implicaci´on. Mediante el siguiente axioma, definimos impl´ıcitamente estos conceptos primitivos:

Axioma 1.1 (Principios fundamentales) Los axiomas que definen los conceptos primitivos son:

1. Principio del tercero excluido: El valor de verdad de toda proposici´on o bien es verdadero o bien es falso.
2. Principio de no contradicci´on: Si el valor de verdad de una proposici´on es verda- dero, no puede ser tambi´en falso; y si es falso, su valor de verdad no puede ser verdadero.
3. Conectivas: Hay proposiciones que se expresan mediante otras proposiciones y de una o m´as de las siguientes palabras (a las que se les denomina conectivas): negaci´on, conjunci´on, disyunci´on, implicaci´on o doble implicaci´on.
4. Proposiciones simples: Hay proposiciones (denominadas simples) que no se expre- san mediante otras proposiciones.
5. Proposiciones: Toda proposici´on es, o bien simple, o bien se expresa ´unicamente mediante otras proposiciones y una o varias de las conectivas negaci´on, conjun- ci´on, disyunci´on, implicaci´on o doble implicaci´on.

Este axioma no define completamente los conceptos primitivos; m´as adelante, esta- bleceremos otros para completar la definici´on. Como se indic´o, las proposiciones de una teor´ıa matem´atica son aquellas proposiciones que consideramos verdaderas, y las consideramos verdaderas porque se pueden deducir de los axiomas de dicha teor´ıa. Por ello, en la siguiente subsecci´on, abordaremos el axioma que nos permitir´a estudiar el concepto primitivo valor de verdad de una proposici´on. (^2) En el espa˜nol hay variantes gramaticales de estas palabras que se usan frecuentemente. Por ejemplo: no es cierto que es una variante de no; siempre y cuando, variante de si y solo si; o bien-o bien, variante de o, entre otras.

1.2.2 Valor de verdad de una proposici´on

Una caracter´ıstica de la Matem´atica a partir del siglo XVI es el simbolismo. El uso de signos con significados le permiti´o a la Matem´atica desarrollar teor´ıas m´as abstractas y generales, al punto de convertirse, en la actualidad, en una herramienta poderosa para resolver problemas que afectan o ayudan a las personas. Esta caracter´ıstica se ve reflejada en todo el desarrollo de las teor´ıas matem´aticas a partir del siglo XVII. Y la L´ogica no es la excepci´on. Por ello, en el enunciado de axiomas y teoremas, en la presentaci´on de los conceptos primitivos y en las definiciones de los conceptos que no son primitivos, introduciremos tambi´en los signos que los representar´an y las reglas para el uso de dichos signos. A los signos con los significados que representan les llamaremos s´ımbolos y a las reglas para el uso de dichos s´ımbolos, sintaxis.

Sintaxis de la L´ogica

A continuaci´on, presentamos los signos que utilizaremos para representar los conceptos primitivos de la L´ogica y las reglas que los rigen.

1. Letras caligr´aficas may´usculas del alfabeto espa˜nol se utilizar´an como signos para representar proposiciones. Es decir, las letras A , B, C ,... , P, Q, R, etc´etera.
2. Para las conectivas negaci´on, conjunci´on, disyunci´on, implicaci´on y doble impli- caci´on, utilizaremos los siguientes signos, respectivamente:

¬, ∧, ∨, ⇒ y ⇔.

3. Las reglas para el uso de las letras que representan las proposiciones y los signos para las conectivas son las siguientes:

(a) La conectiva negaci´on se escribe como prefijo de un signo que representa una proposici´on. Por ejemplo: ¬A. Por el punto 3 del axioma 1.1 (de los Principios fundamentales), ¬P tambi´en representa una proposici´on que llamaremos la negaci´on de P. (b) Las conectivas conjunci´on, disyunci´on, implicaci´on y doble implicaci´on se escriben entre dos signos que representan proposiciones. Por ejemplo:

A ∧ B, A ∨ B, A ⇒ B y A ⇔ B.

Nuevamente, por el punto 3 del axioma 1.1, estos signos tambi´en representan proposiciones, a las que llamaremos la conjunci´on de A y B, la disyunci´on de A y B, la implicaci´on de A y B y la doble implicaci´on de A y B, respectivamente. En el caso de la implicaci´on A ⇒ B, la proposici´on A es denominada ante- cedente y la proposici´on B, consecuente de la implicaci´on.

Por ello, para definir impl´ıcitamente el valor de verdad de una proposici´on, es sufi- ciente con indicar los valores de verdad de cada una de las cinco proposiciones anteriores, seg´un el valor de verdad de las proposiciones A y B. Y esto es lo que establece el siguiente axioma.

Axioma 1.2 (Valor de verdad de una proposici´on) Si A y B representan proposiciones, entonces:

1. Axioma de la negaci´on: El valor de verdad de la negaci´on de una proposici´on es el valor de verdad opuesto de dicha proposici´on. As´ı, el valor de verdad de ¬A es el valor de verdad opuesto al de A. En otras palabras,

• si el valor de verdad de A es v, entonces el valor de verdad de ¬A es f; y,
• si el valor de verdad de A es f, el de ¬A es v.

2. Axioma de la conjunci´on: El valor de verdad de la conjunci´on de dos proposi- ciones es verdadero ´unicamente si el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. As´ı, el valor de verdad de A ∧ B es verdadero ´unicamente si los valores de verdad de A y B son ambos verdadero. En otras palabras,

• si los valores de verdad de A y B son ambos v, el valor de verdad de A ∧ B es v.
• En cambio, si los valores de verdad de A y B son opuestos o ambos son f, el valor de verdad de A ∧ B es f.

3. Axioma de la disyunci´on: El valor de verdad de la disyunci´on de dos proposiciones es falso ´unicamente si el valor de verdad de ambas proposiciones es falso. Luego, el valor de verdad de A ∨ B es falso ´unicamente si los valores de verdad de A y B son ambos falso. En otras palabras,

• si los valores de verdad de A y B son ambos f, el valor de verdad de A ∨ B es f.
• En cambio, si los valores de verdad de A y B son opuestos o ambos son v, el valor de verdad de A ∨ B es v.

4. Axioma de la implicaci´on: El valor de verdad de implicaci´on de dos proposiciones es falso ´unicamente si el valor de verdad del antecedente es verdadero y el del consecuente, falso. Es decir, el valor de verdad de A ⇒ B es falso ´unicamente si el valor de verdad de A es verdadero y el de B es falso. En otras palabras,

• si el valor de verdad de A es v y el de B es f, el valor de verdad de A ⇒ B es f.
• En cambio, si el valor de verdad de A es f, el valor de verdad de A ⇒ B es v, independientemente del valor de verdad de B; y,
• si los valores de verdad de A y B son ambos v, el valor de verdad de A ⇒ B tambi´en es v.

Se puede ver tambi´en que el valor de verdad de A ⇒ B es:

• el valor de verdad de B si el valor de verdad de A es verdadero;
• si A es falso, el valor de verdad de A ⇒ B es verdadero (independientemente del valor de verdad de B); y
• si B es verdadero, el valor de verdad de A ⇒ B es verdadero (independien- temente del valor de verdad de A ).

5. Axioma de la doble implicaci´on: El valor de verdad de la doble implicaci´on de dos proposiciones es verdadero ´unicamente si las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Luego, el valor de verdad de A ⇔ B es verdadero ´unicamente si los valores de verdad de A y B son iguales. En otras palabras,

• si los valores de verdad de A y B son ambos v o son ambos f, el valor de verdad de A ⇔ B es v.
• En cambio, si los valores de verdad de A y B son opuestos, el valor de verdad de A ⇔ B es f.

Ejemplos: Valores de verdad de las proposiciones

1. Si A es v y B es f, el valor de verdad de A ∨ B es v porque (gracias al axioma de la disyunci´on) el valor de verdad de la disyunci´on de dos proposiciones es f ´unicamente si el valor de verdad de las dos proposiciones es f, que no es el caso.
2. Si A es f, el valor de verdad de A ⇒ B es v (independientemente del valor de verdad de B), porque el ´unico caso en que una implicaci´on es f es cuando el valor de verdad del antecedente es v y el del consecuente es f, que no es el caso.
3. Si el valor de verdad de A ⇒ B es f y el de A es v, el valor de verdad de B es f, porque este es el ´unico caso en que la implicaci´on es f.
4. El valor de verdad de A ∨ ¬A es v independientemente del valor de verdad de A. En efecto, si A es v, por el axioma de la disyunci´on, el valor de verdad de A ∨ ¬A es v (la disyunci´on es falsa ´unicamente si los valores de verdad de ambas proposiciones es falso). Si A es f, por el axioma de la negaci´on, ¬A es v; por tanto, por el axioma de la

Respuesta. Esta proposici´on es la disyunci´on de A ⇒ B y de B ⇒ A. Por tanto, para determinar el valor de verdad de la proposici´on en cuesti´on, si el valor de verdad A es f y el de B es v, tenemos que determinar antes los valores de verdad de: (a) A ⇒ B; (b) B ⇒ A ; y (c) la disyunci´on de A ⇒ B y de B ⇒ A. Procedamos: (a) Como el valor de verdad de A es f, sabemos que, independientemente del valor de verdad de B, el valor de verdad de A ⇒ B es v. (b) Por el axioma del valor de verdad de la implicaci´on, el ´unico caso en que el valor de verdad de B ⇒ A es f es si el valor de verdad de B es v y el de A es f. Y este es el caso. Por tanto, el valor de verdad de B ⇒ A es f. (c) El valor de verdad de la disyunci´on de A ⇒ B y B ⇒ A es v porque los valores de verdad de estas dos proposiciones son opuestos. El procedimiento que acabamos de realizar se puede resumir de la siguiente manera:

A B A ⇒ B B ⇒ A (A ⇒ B) ∨ (B ⇒ A ) f v v f v

2. ¿Cu´al es el valor de verdad de la proposici´on

((A ⇒ B) ∧ B) ⇒ A

si el valor de verdad de A es falso?

Respuesta. Esta proposici´on es la implicaci´on de la conjunci´on de la implicaci´on de A y B, y de B y de A. Por tanto, si el valor de verdad de A es f, antes debemos determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones, tanto si el valor de verdad de B es v como si es f: (a) A ⇒ B; (b) (A ⇒ B) ∧ B; y (c) la implicaci´on de (A ⇒ B) ∧ B y de A. Procedamos: (a) El valor de verdad de A es f; as´ı, independientemente del valor de verdad de B, el valor de verdad de A ⇒ B es v (el axioma de la implicaci´on asegura que el ´unico caso en que el valor de verdad de la implicaci´on de dos proposiciones es f es cuando el valor de verdad del antecedente es v y el consecuente es f, que no es el caso).

Resumamos este procedimiento de la siguiente manera:

A B A ⇒ B (A ⇒ B) ∧ B ((A ⇒ B) ∧ B) ⇒ A f v v f f v

(b) El valor de verdad de A es f. Si el valor de verdad de B es v, el valor de verdad de la conjunci´on (A ⇒ B) ∧ B es v (por el axioma de la conjunci´on); y si el valor de verdad de B es f, ser´a f (por el axioma de la conjunci´on):

A B A ⇒ B (A ⇒ B) ∧ B ((A ⇒ B) ∧ B) ⇒ A f v v v f f v f

(c) El valor de verdad de A es f. Entonces, si el valor de verdad de B es v, el valor de verdad de ((A ⇒ B) ∧ B) ⇒ A es f, ya que el valor de verdad del antecedente es verdadero y el del consecuente es falso. Si el valor de verdad de B es f, el valor de verdad de ((A ⇒ B) ∧ B) ⇒ A es v (por el axioma de la implicaci´on):

A B A ⇒ B (A ⇒ B) ∧ B ((A ⇒ B) ∧ B) ⇒ A f v v v f f f v f v En resumen: Si A es f, el valor de verdad de

((A ⇒ B) ∧ B) ⇒ A

es f si el valor de B es v, y es v si el valor de verdad de B es f.

3. Sean A y B dos proposiciones tal que B es falsa, entonces i. si A es v, entonces A ∨ B tambi´en lo es; y ii. si A es f, entonces A ∨ B tambi´en lo es; en ambos casos, por el axioma de la disyunci´on, por lo tanto, las proposiciones A ∨ B y A tienen el mismo valor de verdad para los mismo valores de verdad de A.
4. Sean A y B dos proposiciones tal que B es verdadera, entonces i. si A es v, entonces A ∧ B tambi´en lo es; y ii. si A es f, entonces A ∧ B tambi´en lo es; en ambos casos, por el axioma de la conjunci´on, por lo tanto, las proposiciones A ∧ B y A tienen el mismo valor de verdad para los mismo valores de verdad de A.

Como se ha indicado ya (y los ejemplos anteriores lo ilustran claramente), el valor de verdad de una proposici´on que se puede expresar mediante otras proposiciones depende del valor de verdad de dichas proposiciones y de las conectivas a trav´es de las que se expresa.